1、刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的平行移动刚体的平行移动 刚体的转动规律、刚体上各点的运动规律、刚体及其上各点的速度和加速度的矢量表示法。刚体的基本运动刚体的基本运动5 5 点的合成运动点的合成运动5.2 速度合成定理速度合成定理5.1 绝对运动、相对运动与牵连运动绝对运动、相对运动与牵连运动5.3 加速度合成定理加速度合成定理5 点的合成运动点的合成运动 本章的任务是要建立同一物体相对不同参考系的运动之间的关系。1 固定坐标系固定坐标系 建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。定系固结在地面上。2动坐标系动坐标系 动坐标系指建
2、立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，动坐标系指建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，简称动系。有时可称为载体系。简称动系。有时可称为载体系。一、动点一、动点研究对象研究对象 动点是指相对于定系和动系均有运动的点。动点是指相对于定系和动系均有运动的点。二、两个坐标系二、两个坐标系三、三种运动三、三种运动绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动1 绝对运动：动点相对于定系的运动。绝对运动：动点相对于定系的运动。2 相对运动：动点相对于动系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。3 牵连运动：动系相对于定系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。例例1.动点动点:车轮上的M,定系
3、定系:地面,动系动系:车箱。M相对运动相对运动:绝对运动绝对运动:牵连运动牵连运动:园周运动旋轮线(摆线)运动平动例例2.动点动点:小虫M,定系定系:地面,动系动系:园柱.相对运动相对运动:M绝对运动绝对运动:牵连运动牵连运动:直线运动螺旋线运动定轴转动例例3.动点动点:套筒M,定系定系:地面,动系动系:CD.绝对运动绝对运动:ACBDM直线运动相对运动相对运动:直线运动牵连运动牵连运动:平动uABM例例4.动点动点:滑块上的M,定系定系:地面,动系动系:AB.绝对运动绝对运动:直线运动相对运动相对运动:直线运动牵连运动牵连运动:定轴转动ABM例例5.动点动点:园盘中心M,定系定系:地面,动系
4、动系:AB.绝对运动绝对运动:园周运动相对运动相对运动:直线运动牵连运动牵连运动:定轴转动四、三种速度和三种加速度四、三种速度和三种加速度 1、动点的绝对速度和绝对加速度、动点的绝对速度和绝对加速度 （1）绝对运动：动点相对于定系的运动。）绝对运动：动点相对于定系的运动。（3）绝对加速度：动点绝对运动的加速度，用）绝对加速度：动点绝对运动的加速度，用aa表示。表示。（2）绝对速度：动点绝对运动的速度，用）绝对速度：动点绝对运动的速度，用va表示。表示。2动点的相对速度和相对加速度动点的相对速度和相对加速度 （1）相对运动：动点相对于动系的运动。）相对运动：动点相对于动系的运动。（2）相对速度：
5、动点相对运动的速度，用）相对速度：动点相对运动的速度，用vr表示。表示。（3）相对加速度：动点相对运动的加速度，用）相对加速度：动点相对运动的加速度，用ar表示。表示。(t)fz,(t)fy,(t)fx321相对运动方程相对运动方程tzv,tyv,txvzyxddddddrrrkjivzyxvvvrrrr22r22r22rddddddtza,tya,txazyxkjiazyxaaarrrryMrrxyzrOOOxzr=xi+yj+zkr=xi+yj+zk上式通常称为相对矢径r对时间的相对导数相对导数,即认为动系不动时r对时间的变化率。记为ddt rvr=?同理有t ddarv kjivtzty
6、txddddddrkjirvzyxtd/drkjivrazyxtt d/dd/d22rkjitztytxddddddtztytxddddddkji3动点的牵连速度和牵连加速度动点的牵连速度和牵连加速度 （1）牵连运动：动系相对于定系的运动。）牵连运动：动系相对于定系的运动。（2）牵连点的概念）牵连点的概念 定义：任一瞬时，动系上定义：任一瞬时，动系上与动点重合的点即为此瞬时动与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。点的牵连点。（3）牵连速度）牵连速度 定义：某瞬时牵连点的速定义：某瞬时牵连点的速度称为动点的牵连速度。用度称为动点的牵连速度。用ve表示。表示。（4）牵连加速度）牵连加速度 定义：某
7、瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用定义：某瞬时牵连点的加速度称为动点的牵连加速度，用ae表示。表示。uv rvv e 定理定理：某瞬时动点的：某瞬时动点的绝对速度等于该瞬时动点绝对速度等于该瞬时动点的相对速度和牵连速度之的相对速度和牵连速度之矢量和。即矢量和。即reavvvMM1M 证明：证明：MMMMMM11tMMtMMtMM11tMMtMMtMMttt10100limlimlimreavvvvavevrvavevrtt+tbABOrArBb=rB rA 证证:设A、B相对于参考点O的矢径分别为 rA 和 rB,如图有而 vA=rA,b=(rB rA)=vB vAvB=rB=b 泊松
8、公式泊松公式 如图所示，刚体作定轴转动，其角速度为 ，设 b 是固结于刚体上的任意矢量,试证：bbBA brr 特别是对于固结在定轴转动刚体上的动系的基矢量有di/dt=idj/dt=jdk/dt=k泊松公式jikf(t)=fxi+fyj+fzk (*)考虑一个在上述转动坐标系中的变矢量f(t)在动系中对时间的相对导数相对导数定义为即认为动系不动时认为动系不动时 f(t)对时间的变化率对时间的变化率。为了找出相对导数与绝对导数之间的关系,对(*)式两边求时间的绝对导数。ddddddddyxzfffttttfijk 变矢量的相对导数和绝对导数变矢量的相对导数和绝对导数f(t)=fx i+fy j
9、+fz k (*)ddddddddddddddxxyzyzfftttffffttttfiijkjkddddddddyxzxyzfffttttffffijkijk上式给出了变矢量的绝对导数与相对导数之间的关系。当动系作平动动系作平动时,=0,上式简化成 df/dt=(df/dt)即即当动系相对于定系作平动时当动系相对于定系作平动时,变矢量的绝对导变矢量的绝对导数与相对导数相等数与相对导数相等。df/dt=(df/dt)+f+(fxi+fyj+fzk)ddddddddyxzfffttttfijk 牵连运动为平动时点的速度合成牵连运动为平动时点的速度合成因为r=rO+r注意到MrrxyzrOOOxy
10、zddddddOtttrrrddatrv 此外,因为动系作平动,显然还有因此va=ve+vrddOetrv ddddrttrrv 牵连运动为定轴转动时的速度合成牵连运动为定轴转动时的速度合成如图所示,因为r=rO+rOOrOrMrddddddOatttrrrv 式中 roddOOtrv rddddttrr=vr+rva=(rO+r)+vr va=ve+vr 上述结果表明,无论牵连运动为平动还是定轴转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连速度的矢量和速度的矢量和。即va=vr+ve这一结论称为点的速度合成定理速度合成定理。注意事项注意事项:1.上述结论可以推
11、广,实际上定理适用于任何形式的相对运动和牵连运动。2.注意公式的矢量性和瞬时性。3.在定理的应用中常用几何法,作速度合成图,最后归结为解三角形。vavevrvavrvevavrvevavrvevavrveva vrvevavrvevavrvevavrveOuMAB例例1.正弦平动机构如图示,已知u,OM=R。求:=45时OM的角速度。解解:动点动点:滑块M,定系定系:地面,动系动系:AB。速度合成图如图示,ve=u,故va=ve/cos =u2=va/R=u/R2vevavr 例例2、曲柄、曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕固绕固定定O 轴转动。设曲柄长轴转动。设曲柄长OA=r，两，两轴间的距离
12、轴间的距离OO1=l。求当曲柄在水。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度平位置时摇杆的角速度 1。解：取曲柄端点解：取曲柄端点A为动点，为动点，动系动系 固定在摇杆固定在摇杆O1B上。作速上。作速度矢图，如图所示。度矢图，如图所示。2122rlr O1AOBvavrve1sinaevv 其中其中22sinrlr，rv a摇杆的角速摇杆的角速度为度为:所以所以222erlrv 例例3、凸轮半径为、凸轮半径为R、偏心距为、偏心距为e，角速度为角速度为 ，杆，杆AB的端点的端点A 始终与始终与凸轮接触，且凸轮接触，且OAB 成一直线。求在成一直线。求在图示位置时杆的速度。图示位置时杆的速度。解：取杆解：
13、取杆AB的端点的端点A作为动点，作为动点，动系随凸轮一起绕动系随凸轮一起绕O轴转动。轴转动。根据速度合成定理，作出速度根据速度合成定理，作出速度矢图，如图所示。矢图，如图所示。eOAeOAvvctgeaABOCevavrve 由三角关系求得杆的绝对速度由三角关系求得杆的绝对速度为为ABOCevavr 解：取杆解：取杆AB的端点的端点A作为动作为动点，取以点，取以C为原点的平动坐标系为原点的平动坐标系为动系。为动系。vereavvv由由投影可得投影可得0rvevvea 应用点的合成运动理论解决实际应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和问题时，其关键是正确地选择动点和动系。选
14、择原则因具体情况不同而略动系。选择原则因具体情况不同而略有区别。常见的问题有三种题型。有区别。常见的问题有三种题型。1两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。动点和动系的选择动点和动系的选择原则：动点和动系分别属于两原则：动点和动系分别属于两个物体。个物体。例、汽车例、汽车A沿半径为沿半径为R的圆形轨道行驶，汽车的圆形轨道行驶，汽车B沿直线行沿直线行驶，如图驶，如图(a)所示。已知图示位置之所示。已知图示位置之vA和和vB。试分析。试分析A车相对于车相对于B车上观察者的相对速度车上观察者的相对速度vAB和和B车相对于车相对于A车上观察者的相对车上观察者的
15、相对速度速度vBA。ABvAvBvAvBvAB22BAABvvv(va)(ve)(vr)2运动物体（载体）上有一动点作相对运动。运动物体（载体）上有一动点作相对运动。动点和动系选择动点和动系选择原则：动系固结于载体上，动原则：动系固结于载体上，动点即取有相对运动的点点即取有相对运动的点。例、管例、管BOA以等角速度以等角速度 绕绕O轴转动，起始瞬时管与轴转动，起始瞬时管与Ox轴重合，如图所示。管内的轴重合，如图所示。管内的M点以点以x1 1=bcos=bcos t t(mm)的规的规律相对于管运动，求律相对于管运动，求t=/6（s）瞬时）瞬时M点的速度。点的速度。ABOMxyx1tbxvsin
16、1r vrveva6/t当 时bxv211r OMve2e2ravvv 3机构传动机构传动 （1）主动件与从动件的连接处存在持续连接点）主动件与从动件的连接处存在持续连接点 动点和动系的选择动点和动系的选择原则：原则：动点和动系应分别属于两个物体，以保证有动点和动系应分别属于两个物体，以保证有相对运动；相对运动；动点的相对运动轨迹应易于根据约束条件直动点的相对运动轨迹应易于根据约束条件直观判断其形状；观判断其形状；为实现为实现，通常取持续连接点为动点。，通常取持续连接点为动点。例、在滑道连杆机构中，长为例、在滑道连杆机构中，长为r的曲柄的曲柄OA以以等角速度等角速度 绕绕O轴转动。滑块轴转动。
17、滑块A可在滑道内滑动，可在滑道内滑动，滑道倾角为滑道倾角为，如图所示。求任一瞬时滑道连杆，如图所示。求任一瞬时滑道连杆的速度。的速度。（2）主动件与从动件的连接点是时变点（即随）主动件与从动件的连接点是时变点（即随时间改变）时间改变）动点和动系选择动点和动系选择原则：原则：动点和动系分别属于两个物体；动点和动系分别属于两个物体；动点不必是连接点，但应根据约束条件确定动点不必是连接点，但应根据约束条件确定其相对运动轨迹。其相对运动轨迹。例、半径为例、半径为r的圆轮以等角速度的圆轮以等角速度 绕绕O轴转动，轴转动，从而带动靠在轮上的杆从而带动靠在轮上的杆AB绕绕A轴摆动，如图所示。轴摆动，如图所示。已知已知AO=3r，试求图示位置，试求图示位置AB杆的角速度。杆的角速度。ABMOvavrverv asin2)90sin(eoavvsin2aevv 510sin2aervAMvA课后作业：课后作业：5.4、5.6、5.8、5.11、5.12
