1、xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn第三章初等函数第三章初等函数xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn 1 1 函数的概念函数的概念函数的几种定义方式函数的几种定义方式1.1.函数的传统定义函数的传统定义定义定义1 1：设在某
2、个变化过程中有两个变量：设在某个变化过程中有两个变量x x和和y,y,如果对于如果对于x x在某一范围内的每一个确定的值在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系按照某个对应关系,y,y都有唯一都有唯一 确定的值和它对应，那么就把确定的值和它对应，那么就把y y叫做叫做x x的函数的函数,x x叫做自变量叫做自变量.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn2.2.函数的近代定义函数的近代定义定义定义2 2：给
3、定两个集合：给定两个集合A A和和B,B,如果按照某一确定的对应法如果按照某一确定的对应法则则f,f,对于集合对于集合A A内的每一个元素有唯一的一个内的每一个元素有唯一的一个 元素与它相对应元素与它相对应,那么就是确定在集合那么就是确定在集合A A上的函数上的函数.集合集合A A称为称为y y的定义域的定义域,集合集合A A中的任一元素中的任一元素x x根据法则根据法则f f所对应所对应的的，记作，记作yB()fxx的函数值，全体函数值的集合的函数值，全体函数值的集合()(),f Ay yf x x AB的函数值，全体函数值的集合的函数值，全体函数值的集合称为函数称为函数 的值域的值域fxn
4、+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn3.3.函数的现代定义函数的现代定义fXY定义定义3 3：设：设.如果还满足如果还满足的关系，即的关系，即f是集合是集合XY与集合与集合12yy,则则1112(,),(,)x yfx yff是集合是集合XY到集合到集合，那么，那么的函数的函数.三、反函数的概念三、反函数的概念定义定义4 4：如果确定函数：如果确定函数y=f(x)y=f(x)的映射的映射f:ABf:AB是是f(x
5、)f(x)的的定义域定义域A A到值域到值域 (B(B上的一上的一-映射映射,:BA:BA所确定的函数所确定的函数x=fx=f1(y)(y)叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的的1那么这个映射的逆映射那么这个映射的逆映射f f反函数反函数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn2 2。基本初等函数。基本初等函数定义定义5 5：形如：形如y=cy=c的函数叫做常量函数的函数叫做常量函数,这里这里c c是常数
6、是常数.一，常量函数一，常量函数二、幂函数二、幂函数常量函数的定义域是一切实数常量函数的定义域是一切实数,值域是值域是c.c.yx定义定义6 6：形如：形如的函数叫做幂函数的函数叫做幂函数,这里这里是给定的实数是给定的实数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn定义定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，并且只用一个解析式并且只用一个解析式3.初等函数及
7、其分类初等函数及其分类一、初等函数的概念一、初等函数的概念表示的函数叫做初等函数表示的函数叫做初等函数.12定义定义10：由基本初等函数：由基本初等函数f(x)=x和和f(x)=c经过有限次代数运算所得到的初等函数经过有限次代数运算所得到的初等函数,叫做初等代数函数或代数显函数叫做初等代数函数或代数显函数.非初等代数函数的初等函数非初等代数函数的初等函数,叫做初等超越函数叫做初等超越函数.12定义定义11：由基本初等函数：由基本初等函数f(x)=x和和f(x)=c经过有限次四则运算所得到的初等代数经过有限次四则运算所得到的初等代数函数函数,叫做有理函数叫做有理函数.非有理函数的初等代数函数非有
8、理函数的初等代数函数,叫做无理函数叫做无理函数.12定义定义12：由基本初等函数：由基本初等函数f(x)=x和和f(x)=c经过有限次加、减、乘的运算所得到的经过有限次加、减、乘的运算所得到的有理函数有理函数,叫做有理整函数叫做有理整函数.非有理整函数的有理函数非有理整函数的有理函数,叫做有理分函数叫做有理分函数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn-1-10,()()()nnnnp x yp x ypx y
9、p x()0npx 是关于是关于三、代数函撤三、代数函撤定义定义13：凡是能作为代数方程：凡是能作为代数方程(,)0p x y 的解的函数都叫做代数函数的解的函数都叫做代数函数,其中其中的非零多项式的非零多项式,x y即若以即若以的各个解就是以的各个解就是以x为自变量的代数函数为自变量的代数函数.(,)0p x y 作未知数作未知数,则代数方程则代数方程y定理定理1:无理指数的幂函数无理指数的幂函数yx0,x(是无理数是无理数)是超越函数是超越函数0,1xyaaa定理定理2:指数函数指数函数是超越函数是超越函数.定理定理3：对数函数：对数函数0,1logxaaay是超越函数是超越函数.定理定理
10、4:三角函数是超越函数三角函数是超越函数.定理定理5：反三角函数是超越函数：反三角函数是超越函数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn4 4用初等方法讨论初等函数用初等方法讨论初等函数函数的定义域就是使函数有意义的自变量的可取值集合函数的定义域就是使函数有意义的自变量的可取值集合.一、函数的定义域和值域一、函数的定义域和值域1.1.函数的定义域函数的定义域确定初等函数定义域的规则是确定初等函数定义域的规则是:
11、(1)(1)如果如果()f x是整式是整式,则定义域是全体实数集合则定义域是全体实数集合.(2)(2)如果如果是分式是分式,则分式的分母不为零则分式的分母不为零.()f x logf xg x 0,1,0g xg xf x(4)(4)对于式子对于式子,则则*2kf xkN 0f x(3)(3)对于式子对于式子,则则.2fxkfxkkZ a或(5)(5)对于对于tantan()f x()f x(或或ctgctg,则则)1fx(6)(6)对于对于arcsinarcsin.()f x，则，则()f x,arccosxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+
12、yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn通过对函数定义域和性质的观察通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析再结合对函数解析式的分析,可以求得可以求得函数的值域函数的值域.2.函数的值域函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合函数的值域就是函数值组成的集合.这个集合是对于定义域内的自变量这个集合是对于定义域内的自变量,通过对应关系而得到的函数值的全体通过对应关系而得到的函数值的全体.这里介绍一些求函数值域的方法这里介绍一些求函数值域的方法.(1)观察法观察法(2)反函数法反函数法如
13、果如果求函数求函数()yf x的反函数存在的反函数存在,由函数由函数解得解得()yf x1()xfy1()xfy的定义域的定义域,以确定函数以确定函数()yf x的值域的值域.由此可以求得函数的值域由此可以求得函数的值域.(3)判别式法判别式法如果函数式如果函数式0()yf x可化为关于可化为关于x的二次方程的二次方程,那么在方程有实数解时那么在方程有实数解时,判别式判别式xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn
14、(4)(4)最值法最值法如果函数在如果函数在,a b,m M上连续上连续,它的最大值和最小值分别是它的最大值和最小值分别是Mm和和,那么函数的值域是那么函数的值域是 把求代换法的基本思想，在于把代数函数的值域问题把求代换法的基本思想，在于把代数函数的值域问题化为三角函数的值域问题化为三角函数的值域问题,在在(5)(5)三角代换法三角代换法代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范围相一致范围相一致.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znx
15、n+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn二、函数的性质二、函数的性质1.有界性有界性在定义域在定义域(或其子集或其子集)内的一切内的一切x值值,都有都有定义定义14:如果存在正数如果存在正数 fxMM对于函数对于函数()f x不存在不存在,那么这个函数是无界的那么这个函数是无界的.这个条件的正数这个条件的正数成立成立,那么函数那么函数()f x叫做在定义域叫做在定义域(或其子集或其子集)上的有界函数上的有界函数.如果适如果适xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+
16、yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn2.奇偶性奇偶性定义定义15:对于函数对于函数()f x()()fxf x()f x()f xx在定义域内的任意一个在定义域内的任意一个值值,如果都有如果都有那么函数那么函数成立成立,叫做奇函数叫做奇函数;如果都有如果都有()()fxf x成立成立,那么函数那么函数叫做偶函数叫做偶函数.(4)奇奇(或偶或偶)函数的倒数函数的倒数(分母不为零分母不为零)仍为奇仍为奇(或偶或偶)函数函数.定理定理6:(1)两个奇两个奇(或偶或偶)函数的代数和仍是奇函数的代数和仍是奇(或偶或偶)函数函数.(2)两个奇两个奇(或
17、偶或偶)函数的积是偶函数函数的积是偶函数;一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数.(3)如果奇函数的反函数存在如果奇函数的反函数存在,且定义在对称于原点的数集上且定义在对称于原点的数集上,那么这个反函数那么这个反函数也是奇函数也是奇函数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn3.单调性单调性叫做在这个区间上单调叫做在这个区间上单调 12f xf x 12f xf x时时,都有都有(
18、或或)成立成立,那么函数那么函数()f x12,x x12xx,如果当如果当在给定区间上的自变量在给定区间上的自变量x的任意两个值的任意两个值()f x定义定义16：对于函数：对于函数递增递增(或递减或递减).在某一区间内单调递增在某一区间内单调递增(或递减或递减)的函数统称为单调函数的函数统称为单调函数,这个区间称为单调区间这个区间称为单调区间.12xx 12f xf x 12f xf x如果当如果当时时,都有都有(或或内严格单调递增内严格单调递增(或递减或递减).()f x)成立成立,那么函数那么函数叫做在区间叫做在区间()f x()cf x(2)单调函数单调函数定理定理7：(1)单调函数
19、单调函数f(x)与函数与函数()f xcc是常量是常量)依同向变化依同向变化.(时时,依反向变化依反向变化 c与函数与函数(0c 0c 是常量是常量),当当时时,依同向变化依同向变化;当当2()fx1()f x12()()f xfx(3)如果两个单调函数如果两个单调函数和和依同向变化依同向变化,那么函数那么函数也和它们依也和它们依 同向变化同向变化.同向同向(或反向或反向)变化变化.(4)如果两个正值如果两个正值(或负值或负值)单调函数单调函数和和依同向变化依同向变化,那么函数那么函数1()f x2()fx12()()f xfx与它们依与它们依xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znx
20、n+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn(5)单调函数单调函数()f x1()f x与函数与函数()f x不等于零的同号区间里依反向变化不等于零的同号区间里依反向变化.(6)单调函数单调函数依同向变化依同向变化.和它的反函数和它的反函数()f x1()fx()yf g x是单调递增是单调递增(或递减或递减)的的.(7)如果单调函数如果单调函数()yf u()ug x和单调函数和单调函数依同向依同向(或反向或反向)变化变化,那么那么复合函数复合函数xn+yn=zn
21、xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn4.周期性周期性,对于任何对于任何,有有xM定义定义17：如果：如果是定义在数集是定义在数集M()f x上的函数上的函数,若存在常数若存在常数0T()f x的一个周期的一个周期.xTM,且且总成立总成立,那么就称那么就称()()f xTf x是数集是数集()f xM上的周期函数上的周期函数.常数常数称为称为TM定理定理8:如果如果()f x上的周期函数上的周期函数,它的最小正周期是它的最小
22、正周期是是定义在集合是定义在集合T,那么那么,k c0k 为常数为常数,且且()kf xc(1)函数函数MT为为 最小正周期的周期函数最小正周期的周期函数;上以上以)是在是在(2)函数函数()kf x上以上以T()0,x f xxMk为非为非0常数常数)是在是在(为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数;Ta为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数.0,aaxbM(3)函数函数)是以是以()f axb(时时,那么复合函数那么复合函数xSS当当()g xM()f g x是集合是集合上的周期函数上的周期函数定理定理9:如果如果()f u是定义在集合是定义在集合()ug x是定义在集合是定义
23、在集合上的函数上的函数,而而MS上的周期函数上的周期函数,Mxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn1T2T12TT1T2T和和,若若是有理数是有理数,那么它们的和、差与积也是定义在那么它们的和、差与积也是定义在和和的公倍数是它们的和、差与积的一个周期的公倍数是它们的和、差与积的一个周期.M 1fx 2fx 定理定理10:如果如果和和都是定义在集合都是定义在集合M上的周期函数上的周期函数,它们的正周期分别为它们的
24、正周期分别为上的周期函数上的周期函数.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn5.初等函数图象的作法初等函数图象的作法根据函数解析式根据函数解析式y=f(x)绘制函数图象的大致步骤如下绘制函数图象的大致步骤如下:(1)确定函数的定义域确定函数的定义域:如果函数的定义域为如果函数的定义域为(a,b),则其图象必介则其图象必介x=a和和x=b0 x=x时无意义时无意义,则图象在这一点处间断则图象在这一点处间断.函数在
25、某点函数在某点(2)研究函数的有界性研究函数的有界性:如果函数有界如果函数有界,必必有有 f xM如果函数有上界如果函数有上界,即即f(x)0),则函数图象在直线则函数图象在直线y=M和和y=-M之间之间;如果函数有下界如果函数有下界,即即f(x)M,则函数图象在直线则函数图象在直线y=M的上方的上方.(3)研究函数的奇偶性研究函数的奇偶性:如果函数是奇如果函数是奇(或偶或偶)函数函数,可以先作出自变量为非负可以先作出自变量为非负图象图象,然后再作关于原点然后再作关于原点(或或y轴轴)的对称图象的对称图象.(4)研究函数的单调性研究函数的单调性:如果函数在某个区间内单调递增如果函数在某个区间内
26、单调递增(或递减或递减),则函数图象在这个则函数图象在这个区间里由左向右上升区间里由左向右上升(或下降或下降).之间之间;如果如果负值时的函数负值时的函数xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn*(5)研究函数的周期性研究函数的周期性:如果函数是周期函数如果函数是周期函数,可以先作出长度等于一个最小可以先作出长度等于一个最小正周期正周期T的的N)个单位个单位,从而作出全部图象从而作出全部图象函数图象函数图象,然后
27、再向左、右平移然后再向左、右平移 kT(k(6)确定函数的特殊点确定函数的特殊点:如函数图象与坐标轴的交点如函数图象与坐标轴的交点,函数的极值点等函数的极值点等.(7)讨论函数的自变量在某些特殊值的邻域里讨论函数的自变量在某些特殊值的邻域里,或绝对值无限增大时函数的或绝对值无限增大时函数的变化趋势变化趋势.(8)如果函数有渐近线如果函数有渐近线,须把函数的水平渐近线须把函数的水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线等垂直渐近线和斜渐近线等求出来求出来.(9)描点作图描点作图.xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn
28、xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znab定理定理11：(1)函数函数y=f(x)的图象沿的图象沿x轴方向平移距离轴方向平移距离(2)函数函数y=f(x)叫的图象沿叫的图象沿y轴方向平移距离轴方向平移距离个单位个单位(当当 bO时时,向上平移向上平移;个单位个单位(当当a0时时,当当a0时时,向左平移向左平移),就能得到就能得到 y=f(x-a)的图象的图象.当当bO时时,向下平移向下平移),就能得到就能得到y=f(x)+b的图象的图象.(3)函数函数y=f(x)的图象和函数的图象和函数y=-f(-x)的图象关于原点中心对称的图象关于原点中心对称.定理定理12:(1)函数函数y=f(x)的图象和函数的图象和函数y=-f(x)的图象关于的图象关于x轴对称轴对称.(2)函数函数y=f(x)的图象和函数的图象和函数y=f(-x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称.向右平移向右平移;xn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn谢谢大家谢谢大家
