1、第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用(2)(2)一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件三、三、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积四四、小结、小结yxo例例.计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0,1(A)1,1(B2xy2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxy
2、xABdd2210d)102(yy11G Gy yx xo o 1LQdyPdx一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义:2LQdyPdx1L2LB BA A如果在区域如果在区域G G内有内有 如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成121200LLLLPdxQdyPdxQdyPdxQdy DL1ABL2L2xy12LLPdxQdyPdxQdy 定理定理2.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyx
3、udd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLP xQ y21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明(2)(3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),()
4、,(00dd),(yxyxyQxPyxu(,)(,)xuu xx yu x y则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxP(,),01P xx yx同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明(4)(1)设L为D中任一分段
5、光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕yx说明说明:根据定理2,若在某区域内,PQyx则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;x
6、xyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解:.1523 yA xoL例例7.计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段,()AO 补边法D它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D,则3864例例8.验证在xoy平面内yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数。证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyx
7、xyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例例9.验证22ddyxxyyx在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yxoxy)0,(x)0,1(),(yx),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122
8、d或),1(y)0(arctanxxy重要结论重要结论:dd(,)LBP xQ yu x yA函数与路径无关,只与起止点有关，记起点),(),(yxQyxP具有一阶,连续偏导数,若D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 LyQxPdd为A,止点为B,则(,)u x y 有，在 D 内存在某一函数设D 是单连通域,xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解一解一:.1523 解法二：解法二：内容小结内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有
9、设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习思考与练习1.设,4:,1:222412yxlyxL且都取正向,问下列计算是否正确?Lyxxyyx22d4d)1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ)1(yPxQ)2(2.设,)56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422
10、C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0,0(yxC作业作业P213 1(1);2(1)(2)3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)CCCDyxoaaC 备用题备用题 1.设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点),0(a依逆时针),0(a的半圆,计算解解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点D2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到Dyxdd2点B(3,4),到原点的距离,解解:由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd)1(3122锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy)1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功.(90考研),),(xyFF 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo
