1、1第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分概念的引入概念的引入第一类曲面积分的定义第一类曲面积分的定义第一类曲面积分的计算法第一类曲面积分的计算法小结小结 思考题思考题 作业作业第四节第四节 第一类曲面积分第一类曲面积分2实例实例解解 第一步第一步:将将分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以dS为为代表代表,dS的质量为的质量为:MMd 第二步第二步:求和取极限求和取极限 SzyxMd),(则则Szyxd),(,d),(Szyx 取取 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转
2、动切平面也连续转动.光滑光滑的的,是是若曲面若曲面 它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数),(zyx 求它的质量求它的质量.第一类曲面积分第一类曲面积分一、概念的引入一、概念的引入31.定义定义iS(上上为为设设点点iiiiS ),(,),(iiiiSf ,),(1iiiniiSf ,0时时 iS 函数函数 f(x,y,z)在在上上任意取定的点任意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在,则则的最大值的最大值第一类曲面积分第一类曲面积分二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义 第第i 小块曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作
3、乘积设曲面设曲面是光滑的是光滑的,同时也表示同时也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小块小块xyOz),(:yxzz ),(iii iS 4),(zyxf或或.d),(Szyxf记为记为即即如曲面是如曲面是 曲面面积元素曲面面积元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),(积分曲面积分曲面iiiniiSf ),(1称称极限为数量值函数极限为数量值函数上的曲面积分，在曲面对面积的曲面积分，对面积的曲面积分，第一类曲面积分第一类曲面积分闭曲面闭曲面,第一类曲面积分第一类曲面积分也称为也称为5则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若
4、,21 2.存在条件存在条件在光滑曲面在光滑曲面上上今后今后,假定假定 1d),(Szyxf Szyxfd),(曲面积分存在曲面积分存在.第一类第一类连续连续,),(zyxf当当.),(上连续上连续在在 zyxf第一类曲面积分第一类曲面积分3.第一类曲面积分的性质第一类曲面积分的性质2d),(Szyxf6 补充补充设分片光滑的设分片光滑的 Szyxfd),(x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数.d),(21 Szyxf.0),(:1 zyxx 其中其中 ,0则则曲面曲面关于关于yOz面对称面对称,为为当当),(zyxf为为当当),(zyxf第一类的曲面积分第一类的曲面积分74.第一类曲面积分的
5、几何意义第一类曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面的面积的面积:SAd1 d122 Dyxzz5.第一类第一类曲面积分的物理意义曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数;d),(SzyxM时时，当当1),(zyxf的质量的质量M为为:的光滑曲面的光滑曲面),(zyx第一类曲面积分第一类曲面积分其重心坐标为其重心坐标为:,d),(1 SzyxxMx,d),(1 SzyxyMy.d),(1 SzyxzMz8,yxf Szyxfd),(:若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：思想思想:yxzzSyxdd1d22 化为二重积分计算化为二重积分计算.),
6、(yxzyxzzyxdd122 xyD),(yxzz (1)第一类曲面积分第一类曲面积分三、三、第一类曲面积分的计算法第一类曲面积分的计算法9第一类曲面积分第一类曲面积分 Szyxfd),(,yxf),(yxzyxzzyxdd122 利用上述公式计算第一类曲面积分的步骤：利用上述公式计算第一类曲面积分的步骤：1.求出曲面求出曲面;xyDxOy面上的投影区域在2.将被积函数将被积函数);,(),(yxzzzyxf换为函数中的变量3.将面积微元将面积微元dS换为换为yxzzyxdd122 xyD上计算二重积分。在xyD.410 ,zxf Szyxfd),(则则 ,zyf Szyxfd),(：若若曲
7、曲面面 则则xzDyzD),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx ),(zxyy:若曲面),(zxyzxyyzxdd122第一类曲面积分第一类曲面积分11由参数方程如果曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx),(,),(),(),(给出，给出，此时曲面的面积微元为此时曲面的面积微元为dudvvuxzvuzyvuyxdS222),(),(),(),(),(),(于是，于是，Szyxfd),(uvDvuzvuyvuxf),(),(),(dudvvuxzvuzyvuyx222),(),(),(),(),(),(第一类曲面积分第一类曲面积分12xyzO例例解解yz 5投影域投影域:
8、25|),(22 yxyxDxy5,d)(zySzyx为平面为平面其中其中计算计算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.:曲面曲面 Szyxd)(xyDy 52yxdd故故 )(yxyxzzSyxdd1d22 第一类曲面积分第一类曲面积分 xyDyxxdd)5(2 2125 二重积二重积分的对分的对称性称性 xyDyxdd52yxdd213解解 依依对称性对称性知知 成成立立 1 422yxz|xyz.为为偶偶函函数数、关关于于xy ,d|Sxyz计算计算).10(22 zyxz为抛物面为抛物面其中其中 例例面均对称；面均对称；面、面、关于关于yOzxOz抛物面抛物面有有第一类
9、曲面积分第一类曲面积分被积函数被积函数1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.xyzO14yxyxSdd)2()2(1d22 Sxyzd41 xy4极坐极坐标标 d41sincosd41022220 xyD)(22yx yxyxdd)2()2(122 Sxyz d|投影域：投影域：0,0,1|),(22 yxyxyxDxy d41d2sin2210502 uuud)41(41251 42015125 u第一类曲面积分第一类曲面积分)10(:22zyxz15例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.,dSx计算计算,122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 01zxz及平面第一类曲面积分第
10、一类曲面积分zxyOzxyOzxyO16解解 2d Sx 1 2 3 1d Sx Dyxxdd0 Dyxxdd110 0 z1 xz122 yx投影域投影域1:22 yxD第一类曲面积分第一类曲面积分例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.,dSx计算计算,122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 01zxz及平面对称对称性性zxyO17zxyO(左右两片投影相同左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22 zxxdd112 Sxd1:223 yx 将将投影域投影域选在选在面上面上xOz注注21xy 分成左、右两片分成左、右两片 3d Sx Sxd31 Sxd32 31 2 x2xzDz
11、xxdd112 第一类曲面积分第一类曲面积分 zxxxdd122 01 1x11 xz Sxd 00对称对称性性xzO11 18计算计算,d)(23Szyxx 其中其中为球面为球面222yxaz 之位于平面之位于平面)0(ahhz zxyO因曲面因曲面于是于是 Szd00 x3是是x的奇函数，的奇函数，x2y是是y的奇函数的奇函数.Szyxxd)(23 关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称;解解曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的投影域面上的投影域2222:hayxDxy 222yxaz 2222:hayxDxy 19zxyO2222:hayxDxy )(22haa Szd00 222yx
12、a yxyxaadd222 Szyxxd)(23 222yxaz xyD第一类曲面积分第一类曲面积分xyDdxdya20 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 第一类曲面积分的概念第一类曲面积分的概念第一类曲面积分第一类曲面积分四、小结四、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为化为二重积分计算二重积分计算;曲面方程三种形式的计算公式曲面方程三种形式的计算公式21思考题思考题 定积分、二重积分、三重积分、第一类曲定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可统一表示为线积分、第一类曲面积分可统一表示为是非题是非题 niiiPfPf10|)(limd)(.,)(PPPfii为点函数为点函数其中其中是是第一类曲面积分第一类曲面积分22作作 业业习题习题9-4(1469-4(146页页)2.3.第一类曲面积分第一类曲面积分
