1、ReviewReview1.1.定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2.2.性质性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),()1(21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组组成成由由 ls d)3(l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)Lszyxfd),(),(为常数为常数 szyxgLd),(3.3.计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧,)(,)(,)(:ttytxL Lsyxfd),(对光滑曲线弧对光滑曲线弧,)()(:bxaxyL Lsyxfd),(baxxf)(,(),()(:rrL Lsy
2、xfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧tttd)()(22 xx d)(12 d)()(22rr )(),(ttfFri.Apr.28 2 2 第二型曲线积分第二型曲线积分v第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质v第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算v两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系oxyABL一一 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BAL),(),(),(yxQyxPyxF 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,11111
3、10BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和.),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiiiniirFWW11),(oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 1 1 概念概念iiiiiiiiiiiiiiirFMMnirMMsMMniMMnLLyxQyxPFBAxoyL ),(),(,2,1,.,2,1(.),(
4、),(,1111 做数量积做数量积点点上一上一任取任取的长记为的长记为个有向小弧段个有向小弧段任意分割成任意分割成将将上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 定义定义第二型曲线积分，记作第二型曲线积分，记作的的到到从从沿曲线沿曲线则有限和的极限值为则有限和的极限值为，令，令求和，得求和，得BALyxFsrFininiiii),(0max),(11 上式也可以写成上式也可以写成 LdyyxQdxyxP),(),(向量形式向量形式坐标形式坐标形式 LiniiirdyxFrF),(),(lim10 到到对对质质点点所所作作的的功功。从从沿沿曲
5、曲线线变变力力ALyxF),(物理意义：物理意义：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在续时续时上连上连在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP定理：定理：第二型曲线积分与曲线的方向有关。第二型曲线积分与曲线的方向有关。三维空间的第二型曲线积分：三维空间的第二型曲线积分：),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF RdzQdyPdxrdF对向量场对向量场定义第二型曲线积分：定义第二型曲线积分：2 2 性质性质 BABArdFkrdFk)1 BABABArdQrdFrdyxQyxF),(),()2其其物理意义物理意义可解释为：合力做的功等于每个分可解释为：合力做的功
6、等于每个分力所作的功之和或差。力所作的功之和或差。.,)32121 LLLrdFrdFrdFLLL则则和和分成分成如果把如果把则则方向相反的有向曲线弧方向相反的有向曲线弧是与是与,)4LL 积分路径相反，则第二型曲线积分变号。积分路径相反，则第二型曲线积分变号。LLrdFrdF LrdF点的位置无关，记作：点的位置无关，记作：二型曲线积分的值与起二型曲线积分的值与起后，该封闭曲线上第后，该封闭曲线上第当封闭曲线的方向确定当封闭曲线的方向确定规定规定：正向。正向。方向为方向为人的左侧，则人前进的人的左侧，则人前进的域总在域总在如果闭曲线所围成的区如果闭曲线所围成的区行走时，行走时，正向为：当沿封
7、闭曲线正向为：当沿封闭曲线的的为封闭曲线时，规定为封闭曲线时，规定当当LL 二二 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),
8、()()(),(),(),(且且证明证明:下面先证下面先证tttPd )(),()(t LdxyxP),(根据定义根据定义 LxyxPd),(niiiixP10),(lim 对应参数对应参数设分点设分点ix,it),(ii 点点,i 由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )(对应参数对应参数 LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(lim iit )(niiiP10)(,)(lim iit )()(t 连续连续所以所以)(t 因为因为L 为光滑弧为光滑弧,同理可证同理可证 LyyxQd),(tttQd )(),()(t 特殊情形特殊情形.)(:)1(ba
9、xxyyL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3(终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(例例1.)1,1()1,1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxyd
10、x 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1,1(A)1,1(B的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy.11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1,1(A)1,1(B的一段弧；的一段弧；到到从原点从原点为为其中其中计算计算)1,1(,12lim222AOxyLdxynnxLn 例例2解解dxynnxLn 2212limdxxnnxn 104212lim2arctanlim nn102|arctanlimnxn )1,1(A11oxy的直线；的直线；到到从点从点是是，求，求设设)4,3,3()0,0,1
11、(,3/BALrdFzyxxyFL 例例3解解4321zyx 104321 ttztytxBtAt 1,0直线方程为直线方程为：参数方程为：参数方程为：10)4)(91()3)(21()2(33dtttttttrdFL17)321(10 dtt依增大的方向；依增大的方向；曲线曲线为为，其中，其中计算计算)20(|1|1)()(2222 xxyLdyyxdxyxL例例4解解 21,210,:xxxxyL积分路线如图所示，其方积分路线如图所示，其方程为程为根据曲线积分对路径的可根据曲线积分对路径的可加性知：加性知：112xyo1L2Lxy 2xy dyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyxL
12、LL)()()()()()(22222222222221 212222102222)2()2()()(dxxxxxdxxxxx34)2(22212102 dxxdxx；折线折线；半径为半径为圆弧圆弧为为，其中，其中计算曲线积分计算曲线积分例例AOBABLdyyxdxyxL)2()1()1()()(52222 AB0 xy解：解：(1)AB(1)AB 弧的参数方程为：弧的参数方程为：2,0sincos ttytx，点对应点对应，点对应点对应02 tBtA 0223221)(sinsin(cos)(coscos)(sin dtttttttI 0224)sincoscossin(dttttt 163
13、34 (2)AOB(2)AOB dyyxdxyxAOB)()(2222 BOOAQdyPdxQdyPdx 102012)(dxxdyy32 两条积分路线有两条积分路线有相同的起点和终点相同的起点和终点，但积分，但积分路径不同路径不同，积分值也不同积分值也不同。.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例6解解,sincos:)1(ayaxL，变到变到从从 0)0,(aA)0,(aB 0原式原式 daa)sin(sin22)0
14、,(aA)0,(aB .343a ,0:)2(yL，变到变到从从aax aadx0原式原式.0 问题：问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。积分值与路经有关。03a)(cos)cos1(2 d).1,1(),0,1()0,0(,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,27222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算例例BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy
15、 )0,1(A)1,1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x,10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10,0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上上在在 AB,10,1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB.1 10 原原式式.1
16、)0,1(A)1,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同。径不同而积分结果相同。积分值与路经无关。积分值与路经无关。取顺时针方向。取顺时针方向。轴正向看去，轴正向看去，从从是曲线是曲线，其中，其中计算曲线积分计算曲线积分例例LzzyxyxLdzyxdyzxdxyzL,21)()()(822 解：解：空间曲线积分用参数方程比较方便空间曲线积分用参数方程比较方便.sincos2sincoszyx ddzyxdyzxdxzyL)sin)(cossin(coscos)sin2cos2()sin)(cos2()()()(02 20)
17、12cos2cos2sin2(d 220 d三三 两类曲线积分的关系两类曲线积分的关系第一类曲线积分第一类曲线积分：数量函数数量函数f(x,y)对对弧长的积弧长的积 分，与积分路径的方向无关，化定积分时，分，与积分路径的方向无关，化定积分时，下限总是小于上限；下限总是小于上限；第二类曲线积分：第二类曲线积分：。值值起起点点与与终终点点对对应应之之参参数数限限不不一一定定大大于于下下限限积积分分上上向向有有关关，化化定定积积分分时时，之之和和，与与积积分分路路径径的的方方对对坐坐标标的的积积分分向向量量函函数数)(),(yxFdsyxQyxPdsyxQyxPrdFLLL cos),(cos),(
18、sin),(cos),(,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 其中其中,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）。的长度，的长度，为积分路径为积分路径其中其中试证下面的估计式：试证下面的估计式：上连续，上连续，在光滑曲线在光滑曲线设设22max,(),(QPMLllMQdyPdxyxQyxPLL 例例9证明：证明：ds
19、QPdsQPQdyPdxLLL|coscos|)coscos(22222coscoscos2cos)coscos(QPQPQP 22222coscoscos2cos)coscos(0QPQPQP 222)coscos()coscos()coscos(QPQPQP )cos(cos)cos(cos222222 QP22QP 22coscosQPQP MQPL 22maxMldsMQdyPdxLL 四、小结四、小结1 1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2 2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3 3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系hw：p142 3(2,5,6),4,5,7
20、(2),8.思考题思考题 当曲线当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后之后（例如（例如L：taxcos，taysin，2,0 t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示L的方的方向向（如（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如L：taxcos，taysin，2,0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.一、一、填空题填空题:1 1、对对
21、_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、设设0),(),(dyyxQdxyxPL,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),(dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中,下下 限限对应于对应于L的的_点点,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _.练练 习习 题题二、二、计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分:1 1、Lxydx,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限
22、内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行)；2 2、Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中其中为圆周为圆周 222ayx (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行)；3 3、ydzdydx,其中为有向闭折线其中为有向闭折线ABCD,这里这里 的的CBA,依次为点依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4 4、ABCDAyxdydx,其中其中ABCDA是以是以)0,1(A，)1,0(B,)0,1(C,)1,0(D为顶点的正方形正向边界线为顶点的正方形正向边界线.三、三、设设z轴与重力的
23、方向一致轴与重力的方向一致,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作时重力所作的功的功.四、四、把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对弧长的积分对弧长的积分,L其中其中为为:1 1、在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1).(1,1).练习题答案练习题答案一、一、1 1、坐标；、坐标；2 2、-1-1；3 3、起、起,点；点；4 4、dzRQdyPdx dsRQP)coscoscos(.二、二、1 1、;23a 2 2、2；3 3、21；4 4、0 0.三、三、)(,0,012zzmgWmgF .四四、1 1、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQyxP2),(),(；2 2、LdyyxQdxyxP),(),(LdsxyxxQyxP241),(2),(；3 3、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQxyxPxx),()1(),(22.
