1、 在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力学问题。最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。因此二自由度系统是本章的重要基础部分。u 建立系统微分方程建立系统微分方程u 无阻尼二自由度系统自由振动无阻尼二自由度系统自由振动u 固有频率和主振型固有频率和主振型u2m2f2f1m1u111uc)(212uuc)(212uuk23uk23uc 11uk)(212uuc u1u2c3c2m1k1c1m2k2k3)(212uuk假
2、设：21uu 21uu 1122121221211)()(umucuccukukkf 2212232232122)()(umucuccukkukf 1221212212111)()(fukukkucuccum 2232121223222)()(fukkukucuccum k1、c1拉伸；k2、c2压缩；k3、c3压缩写成矩阵形式：212132222121322221212100ffuukkkkkkuuccccccuumm初始条件：201021)0()0(uuuu201021)0()0(uuuu对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。简写为)()()()(tftKutuCtuM 质
3、量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵位移向量激励向量加速度向量速度向量二自由度微分方程组特点：二自由度微分方程组特点：1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C不是常数，而是矩阵。2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运动的关联称为耦合耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征矩阵形式：212132222121322221212100ffuukkkkkkuuccccccuumm211121 222221 21200100kxxJmlJml lkxlJml lJmlx m1u1u2k1m2k2k3微分方程组：0)()(tKutuM 00)0(,)0(uuuu由于单自由度无阻尼系
4、统自由振动是简谐振动，所以可以设想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同的幅值，所以方程解的形式为：)sin()sin()(21tttudef其中，u(t)为解的二维向量，表示振幅的二维向量。21频率、相位相同，但振幅不同。2100mmM22211211kkkkK将解的形式代入到方程组得到：0)(sin(2MKt要使方程任意时刻成立，必须：0)(2MK即0021222221122111mkkkmk要使方程组有非零解，则它的系数行列式必须为零，即0det222221122111mkkkmk行列式展开得到：0)()(212122211222
5、211122mmkkkmkmk可看作是关于2的二次方程，解得一对根为：212122211211122212111222122,1)(4)(212mmkkkmmkmkmmmkmkm为两个未知数的齐次线性方程组。将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：2111122122因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：)sin()sin()(21rrrrrrrrtttu（r=1,2）说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频率1、2的简谐振动的合成。（1 2）分别将1和2称为系统的第一阶固有频率第一阶固有频率和第二阶固有频第二阶固有频率率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固
6、第一阶固有振动有振动和第二阶固有振动第二阶固有振动。每个根对应一种振动每个根对应一种固有振动0021222221122111mkkkmk222221122111mkkkmkrr21（r=1,2）2rr线性方程组特征矩阵特征值（特征根）与特征值对应的特征向量一些概念：一些概念：将固有频率代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶固有振动时两质量块振幅之比，分别为：121111221111mkksdef122111222122mkksdef定义向量11211s12222s分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型固有振型。反映了二自由度系统作固有振动时的形态。无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的
7、固有模态固有模态，因此固有振型向量也称为模态向量模态向量。n21为固有振型矩阵固有振型矩阵，为所有模态向量组成。无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。系统产生第 r 阶固有振动的运动初始条件为：rrusin)0(rrrucos)0(r=1,2即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。固有振动的初始条件固有振动的初始条件如果系统不满足产生固有振动的初始条件，则自由振动将不再是任一阶固有振动。而是这两种固有振动的线性组合。即其中，常数1、2、1、2由初始条件决定。)sin()sin()
8、()()(222211112211tttututu例题例题:m1u1u2k1m2k2k300.51-1-0.500.51固有振动固有振动自由振动自由振动00.51-1-0.500.51固有振动固有振动自由振动自由振动1111设如图系统物理参数为：m1=m2=m；k1=k2=k3=k；系统运动的初始条件为：确定系统固有振动及自由振动，00)0(,01)0(uu并作出振型图。一阶：二阶：111112振 型 图：节点节点：在系统振动中始终不动的点。二自由度系统的运动解耦由于二自由度系统的运动微分方程是耦合的，因此需要把耦合的方程在一个新的坐标空间内解耦。由于在N自由度无阻尼系统总有N个线性无关的固有
9、振型r，因此可以把它作为基底来张成系统运动空间。模态坐标下的质量矩阵引入坐标变换：qu0)()(tKutuM 代入到：其中：u为物理坐标，q为模态坐标，为固有振型矩阵。得到：0)()(tqKtqM 两边左乘T0)()(tqKtqMTT qTMM其中：模态坐标下的刚度矩阵qTKK均为对角阵第r阶模态质量nqMMMM00000021rTrrMMnqKKKK00000021第r阶模态刚度rTrrKK)1(nr系统方程变成：0)()(tqKtqMqq 由于Mq、Kq是对角阵，所以系统方程已是独立的n个标量函数qr(t)的微分方程。),2,1(0)()(nrtqKtqMrrrr 说明在模态坐标下，系统的
10、运动是解耦的。解耦的系统运动正是它的n个固有振动。),2,1(sincos)(nrtbtatqrrrrr例题例题:已知系统运动微分方程是固有振型为：11110000213222212121uukkkkkkuumm m1u1u2k1m2k2k3kkkk321mmm21要求对系统进行解耦。00600220022121qqkkqqmm 2121qquu求解系统固有振型的一种方法是伴随矩阵法。例：对二自由度系统，系统特征矩阵为：23112特征矩阵的伴随矩阵为：系统特征方程为：023112解得特征根：5.2,12121123取矩阵第一列将代入得到主振型为：5.2,121111122首先求出系统特征矩阵的
11、伴随矩阵。然后取伴随矩阵的任意一列非零向量，将第 i 阶特征根代进去，就可以得到第 i 阶固有振型。（i=1、2.）系统运动微分方程组是首先分析受谐波激励的情况：tFtKutuMsin)()(方程特解为：tUtusin)(21ffF21uuU代入到方程中得到：FUMK)(2定义：MKZdef2)(为系统的动刚度矩阵。其元素zij反映了系统第j个自由度具有单位位移响应sint，而其余坐标不动时，应施加在第i个自由度上的正弦广义力的幅值。定义：121)()()(MKZHdefH()为系统的位移频响函数矩阵。)(r则FHU)(其元素hij()反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励sint后，第i
12、个自由度的稳态位移响应幅值。因此，H()又称为动柔度矩阵。动刚度矩阵Z()或频响函数矩阵H()在频率域反映了系统的全部动态特性。从实验角度来说，多自由度系统的频响函数矩阵比动刚度矩阵易于测取，所以获得广泛应用。f2f1m1u1u2k1m2k2m1、m2上分别作用简谐激励力f1=F1sint 和 f2=F2sint。运动微分方程为11121221()sinm ukk uk uFt 2221222sinm uk uk uFt 二阶常系数线性非齐次微分方程通解为两种固有振动的叠加，特解为稳定的等幅振动，频率与激振力相同。设对应齐次方程的解为tBusin11tBusin22B1、B2待定代入微分方程组
13、得到0021222222121BBmkkkmkk0det222222121mkkkmkk由22 21 2111BB2212BB22211211BBBB（固有振型矩阵）（固有振型矩阵）坐标变换：iiqu（i=1,2）代入原微分方程得到：iiifqKqM 两边左乘 得到：TiTiTiTfqKqM iTiiiifqdiagKqdiagM（i=1,2）（对角阵）（对角阵）解耦解耦)1(1111fqkqmT 2222(2)Tm qk qf（表示矢量Tf的第一项）为在坐标系 q 下的两个单自由度受迫振动的微分方程。坐标q下的运动初始条件：1(0)(0)iiqu)0()0(1iiuq1q2q（利用求解单自由
14、度系统强迫振动的方法）坐标反变换：iiqu（i=1,2）（得到在物理坐标系下的解）将所有的刚度影响系数和阻尼影响系数分别组成矩阵，就得到刚度矩阵和阻尼矩阵。方法介绍：在多自由度系统中，将除了i坐标外其它坐标固定，则质量i产生单位移动后，在质量j上产生的力称为i对j的刚度影响系数kji；nnnnnnkkkkkkkkkK212222111211nnnnnncccccccccC212222111211质量i产生单位速度使得质量j上产生的力称为i对j的阻尼影响系数cji（n为自由度数）为自由度数）m1m2c3c2k1c1k2k3u1，u2，1u 2u)(2111kkk)(2111ccc221kk221cc212kk212cc)(3222kkk)(3222ccc32222122211211kkkkkkkkkkK32222122211211ccccccccccC人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
