1、人教版数学八年级上册人教版数学八年级上册曲周县第二中学李书波第十一章 三角形教材分析教材分析：本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，等。三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于180的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。生活中有许多使用三角形的生活中有许多使用三角形的实例实例你能
2、从下图中找出三角形吗？你能从下图中找出三角形吗？吗？吗？1、三角形的定义、三角形的定义-由三条线段由三条线段首尾顺次连结首尾顺次连结所组所组成的图形，叫做三角形。成的图形，叫做三角形。2、三角形的表示：、三角形的表示：ABC三角形用符号三角形用符号“”表表示示 记作记作“ABC”读作读作“三角形三角形ABC”例例 说出图中有多少个三角说出图中有多少个三角形形,用符号用符号“”表示表示,并指并指出每一个三角形的三条边出每一个三角形的三条边.QFEPGH练习练习:读出图中的各个三角形读出图中的各个三角形.ADBEC 三角形相邻两边的公共端点叫三角形相邻两边的公共端点叫做做三角形的顶点三角形的顶点。
3、如图，三角形如图，三角形ABC有几个顶点？有几个顶点？它们分别是它们分别是 点点A 点点B点点 C 。3、三角形的顶点、三角形的顶点ABC 三角形的形状、大小和位置由三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。它的三个顶点确定。组成三角形的三条线段叫做组成三角形的三条线段叫做三角形的边三角形的边。如图，三角形如图，三角形ABC有几条边？有几条边？它们分别是它们分别是_。4、三角形的边、三角形的边ABCABC的三边的三边,有时也用有时也用a、b、c来表示来表示.一般的顶点一般的顶点A所对的边记作所对的边记作a,顶点顶点B所所对的边记作对的边记作b,顶点顶点C所对的边记作所对的边记作c5、三角形的
4、角、三角形的角:(1)三角形相邻两边所组成的角叫做三角形相邻两边所组成的角叫做三三角形的内角，角形的内角，简称简称三角形的角三角形的角。）(2)三角形的角的一边与另一边的三角形的角的一边与另一边的反反向延长线向延长线组成的角叫做组成的角叫做三角形的外角。三角形的外角。）ABCE 在在 ABC中，中，AB边所对的角是：边所对的角是：A所对的边是：所对的边是：BCACBC再说几个对边与对角的关系试试。再说几个对边与对角的关系试试。ADCBE1.图中有几个三角形？图中有几个三角形？用符号表示这些三角用符号表示这些三角形和各自的边角形和各自的边角2.以以AB为边的三角形有哪些？为边的三角形有哪些？AB
5、C、ABE3.以以E为顶点的三角形有哪些？为顶点的三角形有哪些？ABE、BCE、CDE练习练习4.以以D为角的三角形有哪些？为角的三角形有哪些？BCD、DECABCDEFGHJK12 如图，图中有几个角是如图，图中有几个角是ABC的的外角？说出它们的名称。外角？说出它们的名称。1、2是不是是不是ABC的外角？为什么？的外角？为什么？练习某村庄和小学分别位于两条交叉的大某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）。可是，每年冬天麦田路边（如图）。可是，每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来。你说小弄不好就会走出一条小路来。你说小学生为什么会这样走呢？学生为什么会这样走呢？村庄村庄学校麦麦田田用长度
6、分别为用长度分别为4cm、5cm、6cm、10cm的四根木棒，取其中三根搭成的四根木棒，取其中三根搭成三角形。哪些能，哪些不能？你能三角形。哪些能，哪些不能？你能搭成几个三角形？搭成几个三角形？你发现三角形的边之间有何关系？你发现三角形的边之间有何关系？三角形的三边有这样的关系：三角形的三边有这样的关系：三角形任何两边的和大于第三边三角形任何两边的和大于第三边想一想，两边之差与第三边有何关系想一想，两边之差与第三边有何关系三角形任何两边的差小于第三边三角形任何两边的差小于第三边1.下列长度的三条线段能否组下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？成三角形？为什么？（1）3，4，8 （）（2）2
7、，5，6 （）（3）5，6，10 （）（4）3，5，8 （）不能不能能能能能不能不能判断三条线段能否组成三角形，判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断 方法？方法？思思 考：考：2.小颖要制作一个三角形木架，现有小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为两根长度为8cm和和5cm的木棒，如果的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多有几种选法？第三根的长度可以是多少？少
8、？小颖有小颖有5种选法。种选法。第三根木棒的长度可以是：第三根木棒的长度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm有人说，自己步子大，有人说，自己步子大，一步能走一步能走3米多，你相米多，你相信吗？说说你的理由！信吗？说说你的理由！考考你！考考你！答：不能。如果此人一步能走答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系米多，由三角形三边的关系得，此人两腿得长度和大于得，此人两腿得长度和大于3米多，这与实际情况相矛盾，米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走所以它一步不能走3米多。米多。草原上的四口油井，草原上的四口油井，位于如图所示的位于如图所示的A、B、C、D四个位置，四个位
9、置，现在要建立一个维现在要建立一个维修站修站H，问，问H建在建在何处，才能使它到何处，才能使它到四个油井的距离之四个油井的距离之和和HA+HBHC+HD为最小？为最小？说明理由。说明理由。拓展与应用！拓展与应用！ADCBHH1.你认为这个你认为这个H应该在什么应该在什么位置？大胆设想！位置？大胆设想！2.到到A、C距离和最小的距离和最小的点在哪儿？到点在哪儿？到B、D?2.2.（20132013，长沙）已知三角形的两边长是，长沙）已知三角形的两边长是3cm3cm和和8cm8cm，则第，则第三边长可能是（三边长可能是（）A.4cm B.5cm C.6cm D.13cmA.4cm B.5cm C.
10、6cm D.13cm3.3.（20132013，宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A.1A.1、2 2、6 B.26 B.2、2 2、4 4 C.1 C.1、2 2、3 D.23 D.2、3 3、4 4CC866、4或5、516或17通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？1.1.三角形的边三角形的边、角角、顶点顶点,表示方法；表示方法；2.三角形三边关系三角形三边关系及运用及运用.布置作业：布置作业：课本课本8页习题页习题11.1 1、2、6
11、、7 预习下一课时内容预习下一课时内容“三角形的高中线角平分线三角形的高中线角平分线”11.1.211.1.2三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线ABCABCABCABCDABCABC3.3.如图，已知如图，已知ADAD、AEAE分别是分别是RtRtABCABC的高和中线，的高和中线，BAC=90BAC=90，AB=6cmAB=6cm，AC=8cmAC=8cm，BC=10cm.BC=10cm.求证：（求证：（1 1）ADAD的长；的长；（2 2）ACEACE的面积；的面积；（3 3）ACEACE和和ABEABE的周长的差的周长的差.ACABADBC2121 SABCABCABC
12、 是RtRtABCABC，BAC=90BAC=9086211021AD3.3.如图，已知如图，已知ADAD、AEAE分别是分别是RtRtABCABC的高和中线，的高和中线，BAC=90BAC=90，AB=6cmAB=6cm，AC=8cmAC=8cm，BC=10cm.BC=10cm.求证：（求证：（1 1）ADAD的长；的长；（2 2）ACEACE的面积；的面积；（3 3）ACEACE和和ABEABE的周长的差的周长的差.521cmBCEC128.452121ADECSACE3.3.如图，已知如图，已知ADAD、AEAE分别是分别是RtRtABCABC的高和中线，的高和中线，BAC=90BAC=
13、90，AB=6cmAB=6cm，AC=8cmAC=8cm，BC=10cm.BC=10cm.求证：（求证：（1 1）ADAD的长；的长；（2 2）ACEACE的面积；的面积；（3 3）ACEACE和和ABEABE的周长的差的周长的差.21ABCHD EAHBCSABC21，SBFACABC21,12621BF;1246212cm.4cmBF AC20204 4ABCDEH 本课时学习了三角形的高、角平分线、中线的本课时学习了三角形的高、角平分线、中线的定义，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三定义，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三线特征线特征.布置作业：习题布置作业：习题11.1第第4、
14、7、811.1.311.1.3 三角形的稳定性三角形的稳定性A AC CA AA 本课时学习了三角形具有稳定性，四边形具有本课时学习了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性不稳定性.11.2.111.2.1 三角形的内角三角形的内角活动2、议一议从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个角。从中得出：三角形内角和定理三角形内角和定理。活动3、想一想1、如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理三角形内角和定理的正确性呢？2、已知：.求证：.证明：证明：如右图，过点A作直线DE，使DE/BC
15、因为DE/BC，所以B=（）同理C=因为BAC、DAB、EAC组成角，所以BAC+DAB+EAC=（）所以BAC+B+C=（）说明：说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示辅助线通常用虚线表示。3、思考：在图2中，CM与的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理三角形内角和定理的方法吗？ABCDE例题分析如右下图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向，从B岛看A、C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB呢？(先独立解决，再小组合作，教师点评)解：CAB=-=80-50=
16、30由AD/BE,可得：+=180所以ABE=180-=180-80=100ABC=-=100-40=60在ABC中，ACB=180-=180-60-30=90答：。想一想：想一想：你还有其他解法吗？CAB2190 23),3023(,)23xxCx2121B B 本课时学习了三角形内角和定理的证明及应用，本课时学习了三角形内角和定理的证明及应用，直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定.P16.习题习题11.2第第2.3.411.2.211.2.2 三角形的外角三角形的外角D活动2、议一议在图1中，与的内角有什么关系？（1）ACD=+；（2）ACDA，ACDB（填“”）。再画出其他的外角
17、试一试，还会得到这些结论吗？同学用几何语言叙述这个结论：（1）三角形的一个外角等于）三角形的一个外角等于 两个内角两个内角的的 ；（2）三角形的一个外角大于）三角形的一个外角大于 任何一个内任何一个内角。角。D你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？已知：ACD是的外角求证：（1）（2），证明：证明：（1）因为A+B+ACB=180（）.所以A+B=.又因为ACB+ACD=180，所以ACD=.所以ACD=（）.（2）由（1）的证明结果可以得出：，想一想：想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？.21AABC，AACF2121212而O，ABCAO，1212112从而而.211从而得证又因为ABC
18、ABC，AACF2121212ABC，ABC，BD211平分又，AO1211，A1212.21ABOC7:6:57:6:5100100D DD D957075123456 本课时学习了三角形的外角及其性质和三角形本课时学习了三角形的外角及其性质和三角形的外角和等于的外角和等于360.P16习题11.2第5、6、911.3多边形及其内角和11.3.1多边形图中有你认识的多边形吗？图中有你认识的多边形吗？从这些图形你能抽象出什么平面图形？从这些图形你能抽象出什么平面图形？三角形三角形 长方形长方形 六边形六边形 四边形四边形 八边形八边形 在平面内，由若干条不在同一条在平面内，由若干条不在同一条直
19、线上的线段首尾顺次相接所组成的直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形图形叫做多边形。你能仿照三角形的定义给出四边形、你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形五边形的定义吗的定义吗？了解一下了解一下顶点顶点内角内角边边可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或五边形或五边形DCBAEABCDE外角外角：多边形相邻两边组成的角：多边形相邻两边组成的角内角的邻补角内角的邻补角比一比你能说出这两幅图形的异同点吗？（1）（2）凸四边形凸四边形凹四边形凹四边形 在下图中，你能找到哪些多边形？哪些是凸多边形，在下图中，你能找到哪些多边形？哪些是凸多边形，哪些是凹多边形？哪些是凹多边形？想一想：想一想
20、：在平面内，内角都相等，边也都在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做相等的多边形叫做正多边形正多边形等边三角形等边三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形对角线对角线对角线对角线对角线对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段。连接多边形不相邻的两个顶点的线段。ABCDE画出图中所有的对角线画出图中所有的对角线画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数。画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数。01235 你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不行，请画出所你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不行，请画出所有对角线。有对角线。0259 太难画了，能不全画出太难
21、画了，能不全画出对角线而计算出来吗？对角线而计算出来吗？你能告诉我二十边你能告诉我二十边形的对角线条数吗？形的对角线条数吗？五十边形呢？一百边五十边形呢？一百边形呢？形呢？n边形呢？边形呢？20归纳总结归纳总结边数边数34568n从一个顶点出发从一个顶点出发的对角线的条数的对角线的条数上述对角线分成上述对角线分成的三角形个数的三角形个数总的对角线条数总的对角线条数0101222353495620n-3n-2n(n-3)21、已知一个多边形有、已知一个多边形有35条对角线，你能求出它的边数吗？条对角线，你能求出它的边数吗？2、有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期、有一个家庭联谊
22、会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。（1）若参加会议的人数为）若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？，则一共要握手多少次？（2）若一共握手）若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？次，则参加会议的人数是多少？7202)3(nnm 本课时学习了多边形、凸多边形、正多边形及本课时学习了多边形、凸多边形、正多边形及其有关概念其有关概念.布置作业：布置作业：1 1、画出四、画出四 五边形所有对角线。五边形所有对角线。2 2、求、求1010、1212、1616边形的对角线条数？边形的对角线条数？顶点顶点
23、内角内角边边可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或五边形或五边形DCBAEABCDE外角外角：多边形相邻两边组成的角：多边形相邻两边组成的角内角的邻补角内角的邻补角1、在平面内，_ _叫做多边形多边形。2、在多边形中连接_ _ _的线段叫做多边形的对角线对角线。3 3、从、从n n边形的一个顶点可以引条对角边形的一个顶点可以引条对角线线,将将n n边形分成了边形分成了_个三角形。个三角形。4 4、n n边形的对角线一共有边形的对角线一共有 _ _ _条。条。（n-3）（n-2）(3)2nn 温故知新温故知新5 5、三角形的内角和等于、三角形的内角和等于 _,_,外角和等外角和等_。180
24、360由一些线段首尾顺次相接组成的图形由一些线段首尾顺次相接组成的图形多边形不相邻的两个顶点的线段多边形不相邻的两个顶点的线段ACB如图，三角形如图，三角形ABC的的内角和是多少度？内角和是多少度？探索多边形的内角和探索多边形的内角和ABCD四边形的内角和是四边形的内角和是多少度？多少度？图中有几个三角形？图中有几个三角形？探索多边形的内角和探索多边形的内角和ABDCE 五边形的内角和是五边形的内角和是多少度？多少度？图中有几个三角形？图中有几个三角形？探索多边形的内角和探索多边形的内角和ABDCFE六边形的内角和是六边形的内角和是多少度？多少度？图中有几个三角形？图中有几个三角形？探索多边形
25、的内角和探索多边形的内角和多 边 形 的 边 数多 边 形 的 边 数34567n分成三角形的个数分成三角形的个数多边形的内角和多边形的内角和1180 2345360 540 720 900 n2（n2）180 n边形的内角和（边形的内角和（n2）180探索多（探索多（n）边形的内角和）边形的内角和 多了什么？如何处理？ABCDABCDEABCDEF 这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形，故所有三角形的内角和为（n-1）180，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此n边形的内角和为：（n-1）180-180=(n-2)180 ABCDABCDEABCDEF 该图中n边形共有n个三角
26、形，故所有三角形内角和为n180，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角360，因此n边形的内角和为:n180-360=(n-2)180 多了什么？如何处理？得到定理：n边形的内角和等于(n2)180.说明：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；(2)凸多边形的内角的范围：0180。结论:三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180，正方形的，正方形的内角和等于内角和等于360360，那么任意四边形的内角和是，那么任意四边形的内角和是否也等于否也等于360360呢？证明你的结论。呢？证明你的结论。ABCD结论：四边形的内角和等于结论：四边形的内角和等于360
27、360。思考探索多边形的内角和关键是？探索多边形的内角和关键是？把多边形分成几个三角形，再利把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得。用三角形的内角和求得。例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ABCD解：四边形解：四边形ABCDABCD中，中，A A+C C=180=180.A A+B B+C C+D D=360=360，B B+D D=360=360(A A+C C )=360=360180180=180=180.结论：结论：如果四边形的一组对角互如果四边形的一组对角互 补，那么另一组对角也互补。补，那么另一组对角也互补。例2 如图，在六边形的每个顶点处各取
28、一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？123456ABCDEF分析：分析：（1 1）回忆三角形的外角和的求法；）回忆三角形的外角和的求法；（2 2）任何一个外角与它相邻的内角有什么）任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？关系？（3 3）六边形的）六边形的6 6个外角加上与它们相邻的内角，个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？所得总和是多少？（4 4）上述总和与六边形的内角和、外角和）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？有什么关系？解：解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于都等于180180。因此六边形的因此
29、六边形的6 6个外角加上与它们相邻的内个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于角，所得总和等于6 6180180。这个总和就是六边形的外角和加上内角和。这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于：所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于：6 6180180-（6-26-2）180180=2=2180180=360=360例例3 3 三角形、六边形的外角和都是三角形、六边形的外角和都是360360，那，那么么n n边形的外角和（边形的外角和（n是不小于是不小于3 3的任意整数）的任意整数）还是还是360360吗？若是，证明你的结论；若不是，吗？若是，证明你
30、的结论；若不是，请说明你的理由请说明你的理由3601802180)2(180nn结论：多边形的外角和等于结论：多边形的外角和等于360360归纳：多边形的外角和的推导方法归纳：多边形的外角和的推导方法 多边形的内角和多边形的内角和+外角和外角和=边数边数1801801 1一个多边形的内角和是外角和的一个多边形的内角和是外角和的3 3倍，它倍，它是几边形？是几边形？解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n n，根据题意，得（根据题意，得（n n2 2）180=3180=3360.360.解这个方程，得解这个方程，得n n=8.=8.答：这个多边形是八边形答：这个多边形是八边形.感悟：方
31、程思想解决几何问题的优越性感悟：方程思想解决几何问题的优越性2、求八边形的内角和的度数。、求八边形的内角和的度数。解：（解：（n2）180（82）180 1080答：八边形的内角和为答：八边形的内角和为1080。3、一个正多边形的每个内角比相邻外角、一个正多边形的每个内角比相邻外角大大36求这个多边形的边数。求这个多边形的边数。解：设一个外角为解：设一个外角为x，则内角为（则内角为（x36）根据题意得：根据题意得：x+x+36180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。答：这个正多边形为正五边形。1 1、n n 边形的内角和等于边形的内角和等于（n n2 2）180180。3 3、利用、利用类比归纳、转化类比归纳、转化的学习方法，可以把的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决多边形问题转化为三角形问题来解决;外角问题外角问题转化为内角来解决。转化为内角来解决。4 4、方程的数学思想在几何中有重要的作用、方程的数学思想在几何中有重要的作用.本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？2 2、n n 边形的外角和等于边形的外角和等于360360。布置作业：布置作业：P24P24习题习题11.3211.32、5 5、6 6
