1、第 10 章 多元线性回归10.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 10.2 回归方程的拟合优度回归方程的拟合优度10.3 显著性检验显著性检验10.4 多重共线性多重共线性10.5 哑变量回归哑变量回归10.6 非线性回归非线性回归学习目标1.回归模型、回归方程、估计的回归方程回归模型、回归方程、估计的回归方程2.回归方程的拟合优度回归方程的拟合优度3.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验4.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测5.非线性回归非线性回归6.用用 SPSS 进行回归分析进行回归分析10.1 多元线性回归模型10.1.1 多元回归模型与回归方程多元回归模型与
2、回归方程10.1.2 估计的多元回归方程估计的多元回归方程10.1.3 参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计多元回归模型与回归方程多元回归模型(multiple regression model)1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归2.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型3.涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为多元回归模型(基本假定)1.误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=02.对于自变量x1，x2，xk的所有值，的方差 2都相同3.误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0,2)，且相互独立多元回归方程(multiple
3、regression equation)1.描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1，x2，xk的方程2.多元线性回归方程的形式为 E(y)=0+1 x1+2 x2+k xk二元回归方程的直观解释估计的多元回归方程估计的多元回归的方程估计的多元回归的方程(estimated multiple regression equation)(estimated multiple regression equation)1.用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程2.由最小二乘法求得3.一般形式为参数的最小二乘估计参数的最小二乘法参数的最小二乘法(例题分析)10.2 10.2 回
4、归方程的拟合优度回归方程的拟合优度10.2.1 多重判定系数多重判定系数10.2.2 估计标准误差估计标准误差多重判定系数多重判定系数(multiple coefficient of determination)1.1.回归平方和占总平方和的比例回归平方和占总平方和的比例2.2.计算公式为计算公式为3.3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例所解释的比例 在样本容量一定的条件下，不断向模型中在样本容量一定的条件下，不断向模型中增加自变量，即使新增的变量与增加自变量，即使新增的变量与Y Y不相关，不相关，模型的模型的R R2 2也可能上
5、升，至少不会下降。也可能上升，至少不会下降。在实际应用中，研究人员更欢迎简单的模在实际应用中，研究人员更欢迎简单的模型，这样的模型更简单和易于解释。如果型，这样的模型更简单和易于解释。如果根据根据R R2 2来选择模型，显然会倾向于复杂的来选择模型，显然会倾向于复杂的模型。模型。更常用的指标是更常用的指标是“修正后的修正后的R Ra a2 2”。修正的判定系数修正的判定系数修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination)1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 2.计算公式为3.避免增加自变量而高估 R24.意义与 R2类似5
6、.数值小于R2估计标准误差 Se1.对误差项的标准差 的一个估计值2.衡量多元回归方程的拟合优度3.计算公式为12.3 显著性检验12.3.1 线性关系检验线性关系检验12.3.2 回归系数检验和推断回归系数检验和推断线性关系检验线性关系检验1.检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著2.也被称为总体的显著性总体的显著性检验3.检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用应用 F 检验检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系线性关系检验1.1.提出假设提出假设H H0 0：1 1 2 2 k
7、 k=0 =0 线性关系不显著线性关系不显著H H1 1：1 1，2 2，k k至少有一个不等于至少有一个不等于0 0回归系数检验和推断回归系数检验和推断 回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因变量变量Y Y的影响都重要的影响都重要,因此需要进行检验：因此需要进行检验：回归系数检验的必要性回归系数检验的必要性回归方程显著回归方程显著每个回归系每个回归系数都显著数都显著回归系数的检验回归系数的检验(步骤步骤)1.提出假设H0：i=0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系)H1：i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)2.计算检验的统计量
8、 t回归系数的推断(置信区间)回归系数在(1-)%置信水平下的置信区间为 10.4 多重共线性10.4.1 多重共线性及其所产生的问题多重共线性及其所产生的问题10.4.2 多重共线性的判别多重共线性的判别10.4.3 多重共线性问题的处理多重共线性问题的处理多重共线性及其产生的问题多重共线性及其产生的问题多重共线性多重共线性1.1.回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关2.2.多重共线性带来的问题有多重共线性带来的问题有t t检验值会减小、系数的显著性下降。检验值会减小、系数的显著性下降。对于一组存在高度多重共线性的自变量，很难对单对于一组存在高度多
9、重共线性的自变量，很难对单个系数进行解释。个系数进行解释。有可能导致各回归系数的符号同我们的预期相反有可能导致各回归系数的符号同我们的预期相反 。多重共线性的识别多重共线性的识别多重共线性的识别多重共线性的识别1.1.检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数中各对自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检验进行显著性检验 若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之间相关，存在着多重共线性的自变量之间相关，存在着多重共线性2.2.如果出现下列情况，暗
10、示存在多重共线性如果出现下列情况，暗示存在多重共线性 模型中各对自变量之间显著相关模型中各对自变量之间显著相关 当模型的线性关系检验当模型的线性关系检验(F F检验检验)显著时，几乎所有回显著时，几乎所有回归系数的归系数的t t检验却不显著检验却不显著 回归系数的正负号与预期的相反回归系数的正负号与预期的相反多重共线性(例题分析)【例】【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关矩阵贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关矩阵多重共线性(例题分析)【例】【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性相关系数的检验统计量相关系数的检验统计
11、量多重共线性(例题分析)1.t (25-2)=2.0687，所有统计量，所有统计量t t (25-2)=2.0687，所以均拒绝原假设，说明这所以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显个自变量两两之间都有显著的相关关系著的相关关系2.由 表 中 的 结 果 可 知，回 归 模 型 的 线 性 关 系 显 著由 表 中 的 结 果 可 知，回 归 模 型 的 线 性 关 系 显 著(Significance-F1.03539E-06=0.05)。这也暗示了模型中存。这也暗示了模型中存在多重共线性在多重共线性3.固定资产投资额的回归系数为负号固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193
12、)，与预，与预期的不一致期的不一致多重共线性问题的处理多重共线性问题的处理多重共线性(问题的处理)1.1.将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关使保留的自变量尽可能不相关2.2.如果要在模型中保留所有的自变量，则应如果要在模型中保留所有的自变量，则应 避免根据避免根据 t t 统计量对单个参数进行检验统计量对单个参数进行检验 对因变量值的推断对因变量值的推断(估计或预测估计或预测)的限定在自的限定在自变量样本值的范围内变量样本值的范围内多元回归中的变量筛选多元回归中的变量筛选 在多元回归中，预先选定的自变量不一定都对在多元回归中，
13、预先选定的自变量不一定都对Y Y有显著的影响。有一些统计方法可以帮助我们有显著的影响。有一些统计方法可以帮助我们从众多可能的自变量中筛选出重要的自变量。从众多可能的自变量中筛选出重要的自变量。SPSSSPSS软件提供了多种筛选自变量的方法：软件提供了多种筛选自变量的方法：“向前引入法（向前引入法（ForwardForward）”“向后剔除法（向后剔除法（BackwardBackward）”“逐步引入逐步引入剔除法（剔除法（StepwiseStepwise）”变量选择过程1.1.在建立回归模型时，对自变量进行筛选在建立回归模型时，对自变量进行筛选2.2.选择自变量的原则是对统计量进行显著性检验选
14、择自变量的原则是对统计量进行显著性检验将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和得残差平方和(SSESSE)有显著的减少。如果增加一个自变量使有显著的减少。如果增加一个自变量使SSESSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型确定引入自变量是否使确定引入自变量是否使SSESSE有显著减少的方法，就是使用有显著减少的方法，就是使用F F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中
15、增加一统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量个自变量，还是从模型中剔除一个自变量3.3.变量选择的方法主要有：变量选择的方法主要有：逐步回归、向前选择、向后剔除逐步回归、向前选择、向后剔除向前选择(forward selection)1.1.从模型中没有自变量开始从模型中没有自变量开始2.2.对对k k个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模型，共有型，共有k k个，然后找出个，然后找出F F统计量的值最高的模型统计量的值最高的模型及其自变量，并将其首先引入模型及其自变量，并将其首先引入模型 3.3.分别拟
16、合引入模型外的分别拟合引入模型外的k k-1-1个自变量的线性回归模个自变量的线性回归模型型 4.4.如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显著性为止著性为止向后剔除(backward elimination)1.1.先对因变量拟合包括所有先对因变量拟合包括所有k k个自变量的回归模型。然后考察个自变量的回归模型。然后考察p p(p p k k)个去掉一个自变量的模型个去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有的这些模型中每一个都有的k k-1-1个自变量个自变量)，使模型的，使模型的SSESSE值减小最少的自变量被挑选出值减小最少的自变量被挑选出来
17、并从模型中剔除来并从模型中剔除2.2.考察考察p-1p-1个再去掉一个自变量的模型个再去掉一个自变量的模型(这些模型中在每一个这些模型中在每一个都有都有k k-2-2个的自变量个的自变量)，使模型的，使模型的SSESSE值减小最少的自变量被值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除挑选出来并从模型中剔除3.3.如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一个自变量不会使个自变量不会使SSESSE显著减小为止显著减小为止逐步回归的思想逐步回归的思想 将变量逐一引入回归方程，先建立与将变量逐一引入回归方程，先建立与y y相关最密相关最密切的一元
18、线性回归方程，然后再找出第二个变量，切的一元线性回归方程，然后再找出第二个变量，建立二元线性回归方程，建立二元线性回归方程，。在每一步中都要对引入变量的显著性作检验，仅在每一步中都要对引入变量的显著性作检验，仅当其显著时才引入，而每引入一个新变量后，对当其显著时才引入，而每引入一个新变量后，对前面已引进的变量又要逐一检验，一旦发现某变前面已引进的变量又要逐一检验，一旦发现某变量变得不显著了，就要将它剔除。量变得不显著了，就要将它剔除。这些步骤反复进行，直到引入的变量都是显著的这些步骤反复进行，直到引入的变量都是显著的而没有引入的变量都是不显著的时，就结束挑选而没有引入的变量都是不显著的时，就结
19、束挑选变量的工作。变量的工作。可以设定引入和删除变量的条件。可以设定引入和删除变量的条件。10.5 10.5 哑变量回归哑变量回归 10.5.1 10.5.1 在模型中引进哑变量在模型中引进哑变量 10.5.2 10.5.2 含有一个哑变量的回归含有一个哑变量的回归10.5.1 在模型中引进哑变量哑变量(dummy variable)也称虚拟变量。用数字代码表示的定性自变量哑变量可有不同的水平只有两个水平的哑变量比如，性别(男，女)有两个以上水平的哑变量贷款企业的类型(家电，医药，其他)哑变量的取值为0，1在回归中引进哑变量1.回归模型中使用哑变量时，称为哑变量回归2.当定性变量只有两个水平时
20、，可在回归中引入一个哑变量比如，性别比如，性别(男，女男，女)3.一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归中模型中引进k-1个哑变量在回归中引进哑变量(例题分析)例例为研究考试成绩与性别之间的关系，从某大学商学院随机抽取男女学生各8名，得到他们的市场营销学课程的考试成绩如右表 10.5.2 含有一个哑变量的回归 在回归中引进哑变量(例题分析)哑变量回归(例题分析)引进哑变量时，回归方程表示为引进哑变量时，回归方程表示为E E(y y)=)=0 0+1 1x x男男(x x=0)=0)：E E(y y)=)=0 0男学生考试成绩的期望值男学生考试成绩的期望值女女(x x=1)=1)：E E
21、(y y)=)=0 0+1 1女学生考试成绩的期望值女学生考试成绩的期望值注意：当指定哑变量注意：当指定哑变量0 0，1 1时时 0 0总是代表与哑变量值总是代表与哑变量值0 0所对应的那个分类变量水平的所对应的那个分类变量水平的平均值平均值 1 1总是代表与哑变量值总是代表与哑变量值1 1所对应的那个分类变量水平的所对应的那个分类变量水平的平均值与哑变量值平均值与哑变量值0 0所对应的那个分类变量水平的平所对应的那个分类变量水平的平均值的差值，即均值的差值，即 平均值的差值平均值的差值 =(=(0 0+1 1)-)-0 0=1 1哑变量回归(例题分析)考试成绩与性别的回归男学生考男学生考试
22、分 数 的试 分 数 的平均值平均值女学生与女学生与男 学 生 平男 学 生 平均 考 试 分均 考 试 分数的差值数的差值用SPSS进行哑变量回归(有一个哑变量和有一个数值变量)第第1步：步：选择【Analyze】，并选择【General Linear Model-Univaiate】进入主对话框第第2步：步：将因变量(考试成绩)选入【Dependent Variable】，将自变量(性别)选入【Fixed Factor(s)】(模型中还含有一个数值自变量时，将数值自变量选入【Covariate(s)】)第第3步：步：点击【Model】，并点击【Custom】；将性别F选入【Model】(若
23、模型中还含有工作年限自变量时，将工作年限C也选入【Model】；在【Build Term(s)】下选择【Main effects】。点击【Continue】回到主对话框。点击【Options】，在【Display】下选中【Parameter estimates】(估计模型中的参数)。点击【Continue】回到主对话框。点击【OK】哑变量回归哑变量回归(例题分析例题分析只含一个哑变量只含一个哑变量)SPSS的输出结果的输出结果 T Te es st ts s o of f B Be et tw we ee en n-S Su ub bj je ec ct ts s E Ef ff fe ec
24、ct ts sDependent Variable:考试成绩885.063a1885.0635.326.03788357.563188357.563531.731.000885.0631885.0635.326.0372326.37514166.17091569.000163211.43815SourceCorrected ModelIntercept性别ErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared=.276(Adjusted R Squared=.224)a.P Pa ar ra am m
25、e et te er r E Es st ti im ma at te es sDependent Variable:考试成绩81.7504.55817.937.00071.97591.525-14.8756.445-2.308.037-28.699-1.0510a.ParameterIntercept性别=男性别=女BStd.ErrortSig.Lower Bound Upper Bound95%Confidence IntervalThis parameter is set to zero because it is redundant.a.方差分析表：方差分析表：F=5.326，Sig.
26、=0.037，回归模型，回归模型显著显著男男=1，女，女=0。女学生考试成绩的期女学生考试成绩的期望值望值=81.75分；男学分；男学生 比 女 学 生 平 均 低生 比 女 学 生 平 均 低14.875分分哑变量回归(例题分析)【例】【例】为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如右表哑变量回归(例题分析Excel)Excel输出的结果输出的结果哑变量回归(例题分析SPSS)哑变量回归(例题分析SPSS)用工作年限和性别预测的月工资水平及其残差用工作年限和性别预测的月工资水平及其残差 哑变量回归哑变量回归(例题分析例题分析)引进哑变量时，回归方程写为
27、引进哑变量时，回归方程写为 E E(y y)=)=0 0+1 1x x1 1+2 2x x2 2女女(x x2 2=0)=0)：E E(y y|女性女性)=)=0 0+1 1x x1 1男男(x x2 2=1)=1)：E E(y y|男性男性)=()=(0 0+2 2)+)+1 1x x1 1 0 0 的含义表示：女性职工的期望月工资收入的含义表示：女性职工的期望月工资收入(x x1 1=0=0时时)(0 0+2 2)的含义表示：男性职工的期望月工资收入的含义表示：男性职工的期望月工资收入 (x x1 1=0=0时时)1 1含义表示：工作年限每增加含义表示：工作年限每增加1 1年，男性或女性工
28、资的平均增加值年，男性或女性工资的平均增加值 2 2含义表示：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望月工资收含义表示：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望月工资收入之间的差值入之间的差值 (0 0+2 2)-)-0 0=2 2例题分析例题分析【例】【例】某经济学家想调查文化程度对家庭储蓄的某经济学家想调查文化程度对家庭储蓄的影响，在一个中等收入的样本框中，随机调查了影响，在一个中等收入的样本框中，随机调查了13户高等学历家庭与户高等学历家庭与14户中低学历的家庭。因变量户中低学历的家庭。因变量y为为上一年家庭储蓄增加额，自变量上一年家庭储蓄增加额，自变量 为上一年家庭总收为上一年家庭总收
29、入，自变量入，自变量 表示家庭学历。高学历家庭表示家庭学历。高学历家庭 ，低，低学历家庭学历家庭 ，调查数据见下表。，调查数据见下表。1x2x21x 20 x 序号序号 (元元)(万元万元)1234567891011121314152353463654686588671085123612381345236523653256325632562.33.22.83.52.63.22.63.42.22.82.33.74.02.93.80101010101011015882202371124613133018869679723091542115371137403455237210473229101185
30、1326213517846725851985207415171412y1x2xieide序号序号 (元元)(万元万元)161718192021222324252627326535673658458864369047798589509865986610235101404.64.23.73.54.85.04.23.94.84.64.84.211101100000026588261178827252159310820055242431542047402324166928911505453200239471924257822944157y1x2xieideModel Summaryb.938a.879
31、.8691288.563Model1RR SquareAdjustedR SquareStd.Error ofthe EstimatePredictors:(Constant),X2,X1a.Dependent Variable:Yb.ANOVAb2.9E+08214519733187.448.000a4.0E+07241660394.2983.3E+0826RegressionResidualTotalModel1Sum ofSquaresdfMean SquareFSig.Predictors:(Constant),X2,X1a.Dependent Variable:Yb.建立建立 对对
32、的线性回归，并计算残差的线性回归，并计算残差iey12,x xCoefficientsa-7976.8751093.346-7.296.0003826.148304.564.92112.563.000-3701.031513.399-.529-7.209.000(Constant)X1X2Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Dependent Variable:Ya.两个自变量两个自变量 与与 的系数都是显著的，多重判定系数的系数都是显著的，多重判定系数 ，回归方程为，回归方程为1
33、x2x20.879R 12797638263701yxx 该结果表明，中等收入的家庭每增加该结果表明，中等收入的家庭每增加1万元收入，平均万元收入，平均拿出拿出3826元作为储蓄。高学历家庭每年的平均储蓄额元作为储蓄。高学历家庭每年的平均储蓄额少于低学历的家庭，平均少少于低学历的家庭，平均少3701元。元。如果不引入学历定性变量如果不引入学历定性变量 ，用，用 对家庭年收入对家庭年收入 作作一元线性回归，得一元线性回归，得 说明拟合效果不好。说明拟合效果不好。对对 的一元回归残差的一元回归残差 见表中。见表中。2x1x20.618,R yy1xideModel Summaryb.786a.61
34、8.6032246.211Model1RR SquareAdjustedR SquareStd.Error ofthe EstimatePredictors:(Constant),X1a.Dependent Variable:Yb.Coefficientsa-7728.1171904.962-4.057.0003264.366513.239.7866.360.000(Constant)X1Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Dependent Variable:Ya.Coeffic
35、ientsa5059.357928.7415.448.000-2050.7421338.458-.293-1.532.138(Constant)X2Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Dependent Variable:Ya.如果不考虑家庭年收入如果不考虑家庭年收入 ，13户高学历家庭的平均年户高学历家庭的平均年储蓄增加额为储蓄增加额为3008.62元，元，14户低学历家庭的平均年户低学历家庭的平均年储蓄增加额为储蓄增加额为5059.36元，高学历家庭每年的储蓄额元，高学历家庭每
36、年的储蓄额比低学历的家庭平均少比低学历的家庭平均少5059.363008.622050.74元，元，而用前面的回归法算出的值是而用前面的回归法算出的值是3701元，两者并不相等。元，两者并不相等。3701元是在假设两者的家庭年收入相等的基础上的储元是在假设两者的家庭年收入相等的基础上的储蓄差值，反映了学历高低对储蓄额的真实差异。蓄差值，反映了学历高低对储蓄额的真实差异。1x10.6 非线性回归非线性回归10.6.1 双曲线双曲线10.6.2 幂函数曲线幂函数曲线10.6.3 对数曲线对数曲线非线性回归非线性回归1.1.因变量因变量 y y 与与 x x 之间不是线性关系之间不是线性关系2.2.
37、可通过变量代换转换成线性关系可通过变量代换转换成线性关系3.3.用最小二乘法求出参数的估计值用最小二乘法求出参数的估计值4.4.并非所有的非线性模型都可以化为线性并非所有的非线性模型都可以化为线性模型模型双曲线1.基本形式：2.线性化方法令：y=1/y，x=1/x,则有y=+x3.图像幂函数曲线1.基本形式：2.线性化方法两端取对数得：lg y=lg+lg x令：y=lgy，x=lg x，则y=lg+x3.图像对数曲线1.基本形式：2.线性化方法x=lnx,则有y=+x3.图像SPSS中可以进行的曲线回归包括：曲线回归的计算机实现：SpssSpss：analyzeanalyzeregressi
38、oncurve estimation；EviewsEviews：quickquickestimate equation。例题：我国我国1978197820022002年人均年人均GDPGDP数据（数据（19781978年年不变价），试建立人均不变价），试建立人均GDPGDP与时间之间的回归方与时间之间的回归方程程。1 1、画出散点图、画出散点图2 2、计算相关系数、计算相关系数CorrelationsCorrelations1.972*.99852*.98353*.000.000.00025252525.972*1.971*.921*.000.000.00025252525.999*.971*
39、1.986*.000.000.00025252525.984*.921*.986*1.000.000.00025252525Pearson CorrelationSig.(2-tailed)NPearson CorrelationSig.(2-tailed)NPearson CorrelationSig.(2-tailed)NPearson CorrelationSig.(2-tailed)N元，78不变，人均年度序号年度序号二次方年度序号三次方元，78不变，人均年度序号年度序号二次方年度序号三次方Correlation is significant at the 0.01 level(2-t
40、ailed).*.3 3、进行回归、进行回归M Mo od de el l S Su um mm ma ar ry y a an nd d P Pa ar ra am me et te er r E Es st ti im ma at te es sDependent Variable:元，78不变，人均.945398.132123.00026.87084.708.99720 3922.449222.000387.4904.571 3.082.99728 2566.953321.000368.93712.379 2.346.019EquationLinearQuadraticCubicR Sq
41、uareFdf1df2Sig.Model SummaryConstantb1b2b3Parameter EstimatesThe independent variable is 年度序号.3 3、进行回归、进行回归4 4、精细比较、精细比较（1 1）二次曲线：决定系数）二次曲线：决定系数（2 2）三次曲线：决定系数）三次曲线：决定系数M M o o d d e e l l S S u u m m m m a a r r y y.999.997.99694935.415RR SquareAdjustedR SquareStd.Errorof theEstimateThe independent
42、variable is 年度序号.M Mo od de el l S Su um mm ma ar ry y.999.997.99689235.746RR SquareAdjustedR SquareStd.Errorof theEstimateThe independent variable is 年度序号.4 4、精细比较、精细比较（1 1）二次曲线：）二次曲线：F F检验检验（2 2）三次曲线：）三次曲线：F F检验检验A AN NO OV VA A983947424919737.1553922.449.00027593.530221254.251986706824RegressionR
43、esidualTotalSum ofSquaresdfMean SquareFSig.The independent variable is 年度序号.A AN NO OV VA A984023433280077.9432566.953.00026834.011211277.810986706824RegressionResidualTotalSum ofSquaresdfMean SquareFSig.The independent variable is 年度序号.4 4、精细比较、精细比较（1 1）二次曲线：回归系数）二次曲线：回归系数（2 2）三次曲线：回归系数）三次曲线：回归系数C
44、Co oe ef ff fi ic ci ie en nt ts s4.5714.089.0521.118.2763.082.153.94820.190.000387.49023.07016.796.000年度序号年度序号*2(Constant)BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.C Co oe ef ff fi ic ci ie en nt ts s12.37910.936.1421.132.2702.346.967.7212.425.024.019.024.141.771.449368.93733.48611.017.000年度序号年度序号*2年度序号*3(Constant)BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.本章小结本章小结1.1.变量间关系的度量变量间关系的度量2.2.回归模型、回归方程与估计的回归方程回归模型、回归方程与估计的回归方程3.3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.4.回归分析中的显著性检验回归分析中的显著性检验5.5.用用SPSS SPSS 进行回归分析进行回归分析结结 束束
