1、第三章第三章 结构可靠度分析中的若干概念结构可靠度分析中的若干概念第一节第一节 结构可靠度与极限状态结构可靠度与极限状态1.构件与体系构件与体系 体系是由不同的构件组成的，只有知道了构件体系是由不同的构件组成的，只有知道了构件的可靠度才能确定体系的可靠度。因此，构件的的可靠度才能确定体系的可靠度。因此，构件的可靠度分析是关键，是基础。可靠度分析是关键，是基础。当结构整体或者局部超过某一些状态时，结构当结构整体或者局部超过某一些状态时，结构就不能满足设计规定的某一功能的要求，这种状就不能满足设计规定的某一功能的要求，这种状态称之为态称之为极限状态极限状态。极限状态是区分结构工作状。极限状态是区分
2、结构工作状态可靠与不可靠的标志。态可靠与不可靠的标志。2.极限状态极限状态用来衡量工程结构是否完成预定功能的标志用来衡量工程结构是否完成预定功能的标志结构极限状态可分为：结构极限状态可分为：承载能力极限状态承载能力极限状态结构或构件达到了最大承载力或者达到了不能结构或构件达到了最大承载力或者达到了不能继续承载的变形。继续承载的变形。整个结构或者一部分作为刚体失去平衡（如整个结构或者一部分作为刚体失去平衡（如挡土墙或者坝体的滑动、倾覆）挡土墙或者坝体的滑动、倾覆）结构构件或者连接处因超过材料强度而破坏结构构件或者连接处因超过材料强度而破坏（包括疲劳破坏）；或者因很大塑性变形而（包括疲劳破坏）；或
3、者因很大塑性变形而不适于继续承载不适于继续承载结构变为机构，出现塑性铰结构变为机构，出现塑性铰丧失稳定状态丧失稳定状态疲劳极限状态（往复荷载作用）疲劳极限状态（往复荷载作用）断裂极限状态（裂缝不稳定扩展）断裂极限状态（裂缝不稳定扩展）正常使用极限状态正常使用极限状态影响正常使用或者外观的变形（挠度）影响正常使用或者外观的变形（挠度）影响正常使用或者耐久性能的局部损坏（裂缝）影响正常使用或者耐久性能的局部损坏（裂缝）影响正常使用的其它特定状态影响正常使用的其它特定状态影响正常使用的振动影响正常使用的振动结构或者构件达到正常使用和耐久性的各项规结构或者构件达到正常使用和耐久性的各项规定的限定值。主
4、要标志如下：定的限定值。主要标志如下：逐渐破坏极限状态逐渐破坏极限状态 偶然作用包括超过设计烈度的地震、爆炸、车偶然作用包括超过设计烈度的地震、爆炸、车辆撞击以及地基塌陷等辆撞击以及地基塌陷等 指偶然作用后产生的次生灾害限度。偶然作用指偶然作用后产生的次生灾害限度。偶然作用造成局部破坏后，其余部分不致发生连续破坏的造成局部破坏后，其余部分不致发生连续破坏的状态。状态。结构的极限状态一般由功能函数加以描述。当结构的极限状态一般由功能函数加以描述。当有有n n个随机变量影响结构的可靠度时，结构的功个随机变量影响结构的可靠度时，结构的功能函数为：能函数为：Z=g(xZ=g(x1 1,x,x2 2,x
5、,xn n)式中式中x xi i(i(i=1,2,3,n)=1,2,3,n)结构上的作用效应、结构上的作用效应、结构构件的性能等基本量结构构件的性能等基本量 Z Z0 0 结构处于可靠状态结构处于可靠状态 Z=0 Z=0 结构达到极限状态结构达到极限状态 Z Z0 0 结构处于失效状态结构处于失效状态 Z=g(xZ=g(x1 1,x,x2 2,x,xn n)=0)=0 称为结构的极限状态，它称为结构的极限状态，它是可靠度分析的重要依据。是可靠度分析的重要依据。第二节第二节 结构可靠度与失效概率结构可靠度与失效概率当构件功能函数出现小于零当构件功能函数出现小于零(Z0)的概率称为该的概率称为该构
6、件的失效概率构件的失效概率Pf，可以通过下列积分得到。，可以通过下列积分得到。nnZXfdxdxdxxxxfP21210,当功能函数有多个随机变量或者函数为非线性当功能函数有多个随机变量或者函数为非线性时，上述计算十分复杂，甚至难以求解。时，上述计算十分复杂，甚至难以求解。首先推导随机变量呈首先推导随机变量呈正态分布正态分布。设功能函数仅。设功能函数仅与荷载效应与荷载效应S和结构抗力和结构抗力R两个随机变量有关，则两个随机变量有关，则结构承载力的功能函数为：结构承载力的功能函数为：Z=g(R,SZ=g(R,S)=R-S)=R-S，极限，极限状态方程为状态方程为Z=R-S=0Z=R-S=0由于由
7、于R和和S是正态分布的，因此是正态分布的，因此Z也是正态分布也是正态分布的，并且具有均值的，并且具有均值 标准差标准差 SRZ22SRZ 221exp21ZZZZzzf 02002021exp21021exp210dzZzdzzfzPPdzZzdzzfzPPZZZrZZZfP Pf f+P+Pr r=1=1当随机变量为非正态分布时，可以通过积分求当随机变量为非正态分布时，可以通过积分求解结构的可靠度和失效概率。解结构的可靠度和失效概率。Pf=P(z0)=P(R-S)0)失效概率与干涉区的面积相关，但并不等于干失效概率与干涉区的面积相关，但并不等于干涉区的面积涉区的面积第三节第三节 结构可靠度与
8、可靠指标结构可靠度与可靠指标仍以具有两个正态变量仍以具有两个正态变量R、S的极限状态方程的极限状态方程Z=R-S为例。为例。dzZzPzzf2021exp21将非标准的正态分布转换为标准正态分布。将非标准的正态分布转换为标准正态分布。dzZzPzzf2021exp212212zZtfPedtzfZP引入一个符号引入一个符号zZfP是一个没有单位的量，称为可靠指标是一个没有单位的量，称为可靠指标结构的失效计算中，往往先算出可靠指标结构的失效计算中，往往先算出可靠指标，然后再求失效概率，而不是直接进行积分。然后再求失效概率，而不是直接进行积分。是失效概率的度量是失效概率的度量。在某种分布下，在某种
9、分布下，当当Z Z为常量时，为常量时，仅仅随均值变化。当随均值变化。当增增加时，会使加时，会使PDFPDF曲线由曲线由于均值的增加而向右于均值的增加而向右移，从而使失效概率移，从而使失效概率减小，增加可靠度。减小，增加可靠度。当均值为常量时当均值为常量时,随着随着Z Z的减小而增大的减小而增大上述可靠指标上述可靠指标的求解是在正态分布的情况下，的求解是在正态分布的情况下，如果如果R R或或S S非正态分布，但能算出非正态分布，但能算出Z Z的均值和标准的均值和标准差，这时算出的差，这时算出的是近似的，不过仍在工程设计是近似的，不过仍在工程设计时参考。时参考。在基于可靠度理论的结构设计中在基于可
10、靠度理论的结构设计中,的重要程度的重要程度可以同安全系数法设计中的安全系数相媲美。可以同安全系数法设计中的安全系数相媲美。美国的美国的LRFD(load and resistance factor design)规范规范对对的建议：的建议：临时结构临时结构 =2.5=2.5普通建筑物普通建筑物 =3.0=3.0非常重要建筑物非常重要建筑物 =4.5=4.5美国国家标准局对钢筋混凝土构件则采用美国国家标准局对钢筋混凝土构件则采用：抗弯抗弯 =3.0=3.0压弯压弯 =3.5=3.5抗剪抗剪 =3.0=3.0我国建筑结构统一设计标准我国建筑结构统一设计标准：以上可靠指标对静力荷载下设计结构适用，以
11、上可靠指标对静力荷载下设计结构适用，对于含有动力荷载的组合下，目标可靠指标一对于含有动力荷载的组合下，目标可靠指标一般比上述规定值要小。般比上述规定值要小。安全等级破坏类型(重要)(一般)(次要)脆性3.73.22.7延性4.23.73.2第四节第四节 可靠指标可靠指标的两个常用公式的两个常用公式1.两个正态变量两个正态变量R、S的极限状态方程的极限状态方程Z=R-S=022SRZSRZ例题例题3-1.某零件某点的抗力（强度）为某零件某点的抗力（强度）为R、荷载、荷载效应效应S（应力）为（应力）为S。设。设R和和S的均值、标准差分别的均值、标准差分别为：为：现求其可靠度。现求其可靠度。2612
12、2,61224,cmNRR24082,35714,cmNSS例例3.23.2锰钢制成的拉杆，截面积为锰钢制成的拉杆，截面积为A A，设知承受拉，设知承受拉力力Q Q，材料屈服极限，材料屈服极限f fy y，对应的统计参数各自为，对应的统计参数各自为：%97.999997.047.347.34082612235714612242222rSRZPSRZ正态分布正态分布,5.27,443,:,3000,12000,:2mmNffNQQfyyyQ试求在失效概率试求在失效概率P Pf f=4.8=4.81010-7-7下本杆的下本杆的A A值。值。22222217118.651627.0,01519.0
13、109.1780110632017209009.430005.27120004439.49999995.0108.411,1,11mmAAAAAAQRPPPPQRffrf2.两个对数正态变量两个对数正态变量R、S的极限状态方程的极限状态方程Z=lnR-lnS=0-计算计算设设R和和S的统计参数：的统计参数：正态分布正态分布,ln;,:,ln;,:SSSRRRSSSRRR21222122222211ln1ln1ln1ln,1lnSRSRZSSRRVVVVVV由由lnR和和lnS的均值可以得到的均值可以得到Z的均值：的均值：222222222211ln11ln11ln21lnln21ln,21ln
14、SRRSZRSSRSSRRVVVVSRZVVSRSRZSR当当VR0.3以及以及VS0.3时，可靠度指标的公式可时，可靠度指标的公式可以简化为以简化为2221222222ln01ln11ln1ln,1lnSRRSSSRRVVSRVVVVVV第五节第五节 可靠指标的几何涵义可靠指标的几何涵义-*1.两个正态变量两个正态变量R、S的标准差相等的情况的标准差相等的情况均值点均值点M M到失效边界的最短距离就是到失效边界的最短距离就是值，不值，不过是以过是以作为单位去量测。作为单位去量测。245cos22*ZZ2S2RZZMNMPZZSR最短距离：均值点到失效边界上的时，当M点是由点是由S和和R的均值
15、确定的，是设计规定值对的均值确定的，是设计规定值对应的点。应的点。P*称为称为设计验算点，设计验算点，是失效边界上与结构最大是失效边界上与结构最大可能失效概率对应的点，也就是概率运算中可能可能失效概率对应的点，也就是概率运算中可能出现的变量组合值相对应的点，用作校核。出现的变量组合值相对应的点，用作校核。2.两个正态变量两个正态变量R、S的标准差不相等的情况的标准差不相等的情况将坐标原点放在将坐标原点放在M点（均值点），而且经过处理点（均值点），而且经过处理后，后，R R和和S S都变成都变成1 1个单位量。则在新坐标中的个单位量。则在新坐标中的原点到失效边界上的最短距离原点到失效边界上的最短
16、距离OPOP*就是就是值。值。带入上述方程可得：和求解出极限状态方程为：和的均值和方差分别为和明都是常量，因此可以证，由于中的新变量令在新坐标系简单证明如下：SSRZRSRSRRRSSSROSRSRSR.10,*22SR2222S22R*SR0coscos)2(cos;cos0coscos)2(0)1(0POSRSRPOSRSRSRSSRRSRSRSRSRRSSRSR，故，则该式变为：各项同除以将：用直线的法线式表示为或者：由此可见，可靠指标由此可见，可靠指标就是新坐标系中原点到就是新坐标系中原点到失效边界的最短距离，因此求解可靠指标就是求失效边界的最短距离，因此求解可靠指标就是求解长度的解长
17、度的OPOP*问题，问题，P P*就是设计验算点。就是设计验算点。第六节第六节 结构可靠指标与安全系数的关系结构可靠指标与安全系数的关系 基于安全系数的结构设计方法就是抗力不小于基于安全系数的结构设计方法就是抗力不小于荷载效应，其安全度用安全系数来表达。如果用荷载效应，其安全度用安全系数来表达。如果用均值表达单一安全系数均值表达单一安全系数K，则则k=平均结构抗力平均结构抗力/平均荷载效应平均荷载效应=mR/ms，其相，其相应的设计表达式应的设计表达式mRk*ms 从统计学的观点来看，传统的安全系数从统计学的观点来看，传统的安全系数k存在存在着如下两个问题：着如下两个问题：没有定量地考虑抗力与
18、荷载效应的随机性质，没有定量地考虑抗力与荷载效应的随机性质，而是靠经验或工程判断取值，带有人为的因素而是靠经验或工程判断取值，带有人为的因素 从从k的表达形式来看，的表达形式来看，k只与只与R、S的均值有关，的均值有关，这种系数无法反应结构的实际失效情况。这种系数无法反应结构的实际失效情况。2211212121,SRSRRRSSmmkmmkmmmm时当 说明他们的安全说明他们的安全度是一样的，但是度是一样的，但是他们的失效概率却他们的失效概率却相差很远。相差很远。Pf不仅与不仅与fR(r),fS(s)图形面积的中心位置图形面积的中心位置有关有关（用均值来表示），而且还与它们（用均值来表示），而
19、且还与它们图形的离散程图形的离散程度度（可用（可用R R、S S或者或者V VR R、V VS S来表示来表示 ）有关，传）有关，传统的安全系数的明显缺陷就是没有反映随机变量统的安全系数的明显缺陷就是没有反映随机变量的这一特征。而可靠指标中则包含了这两种因素的这一特征。而可靠指标中则包含了这两种因素的影响。的影响。安全系数安全系数k（变量中心值）与结构中各变量的分（变量中心值）与结构中各变量的分布规律、变异系数以及相应的可靠指标布规律、变异系数以及相应的可靠指标相关。相关。或者说，代表结构可靠度的或者说，代表结构可靠度的可靠指标可靠指标不仅与安不仅与安全系数有关，而且还与随机变量的分布规律以及
20、全系数有关，而且还与随机变量的分布规律以及相应的变异系数有关。相应的变异系数有关。2222222222222221111RSRSRSRSRSRSRSRSRVVVVVkVVkkVVmmmmmm第七节第七节 结构可靠指标与分项系数的关系结构可靠指标与分项系数的关系-计算计算 现行设计一般采用分项系数来表达，比如恒载现行设计一般采用分项系数来表达，比如恒载和活荷载组合的设计表达式：和活荷载组合的设计表达式：R Rm mR RG Gm mG G+Q Qm mQ QR R抗力分项系数，抗力分项系数，G G恒载分项系数，恒载分项系数，Q Q活荷载分项系数活荷载分项系数 分项系数就是利用分项系数就是利用分离
21、函数分离函数得到的。分离函数得到的。分离函数的作用就是将分项系数与可靠指标联系起来，把的作用就是将分项系数与可靠指标联系起来，把安全系数加以分离，使其表达为分项系数的形式。安全系数加以分离，使其表达为分项系数的形式。1.林德（林德（Lind）的）的0.75线性分离法线性分离法设设X X1 1,X,X2 2为任意的两个随机变量。令为任意的两个随机变量。令121212221121111,VVXXXXXXV林德指出，当林德指出，当1/31/3 V V1 133时，时，1 1 0.750.75，相对误，相对误差不超过差不超过6%6%。因而有因而有21211222175.0XXXXXX设设R,SR,S为
22、正态分布为正态分布由由 的定义，得的定义，得22sSRRmm再由林德的线性分离法，当再由林德的线性分离法，当1/31/3R R/S S 3 3时，有时，有SRSRSR75.0122SSRRSSRRSRSRSRmVmVVmVmmm75.0175.01 11111整理后，得荷载分项系数抗力分项系数，SRSSRRVV75.01,75.01进一步，设有进一步，设有S SG GQ Q，且，且1/31/3G G/Q Q 3 3，还可进行再，还可进行再次分离，次分离，RRQQGGGQGRRRRRSRsSRVVVVmVmmVmmVmmmmmmR75.01,5625.015625.0175.0175.075.0
23、75.075.075.02Q2QG2G2Q2QG22G进一步分离：或者例：设例：设R R，G G，Q Q均服从正态分布，已知均服从正态分布，已知 2.952.95，k k0 0=2.0=2.0，V VR R0.16,V0.16,VG G0.09,V0.09,VQ Q0.240.24，试求当，试求当=m=mQ Q/m/mG G=1.0=1.0时，抗力的分项系数时，抗力的分项系数 R R和恒载分项系数和恒载分项系数 G G以及活荷载分项系数以及活荷载分项系数 Q 3983.15625.011493.15625.016460.075.013667.209.0124.03496.21282.016.0
24、21282.024.009.0111110222222QQGGRRGQGGQQGQSRSRSRSSRRSRQGQGQGSSsVVVVVmVmVVVkVVmmmVmVVVmmmV到相应的分项系数为：利用二次分离后可以得 2.一般分离法一般分离法一般分离法是通过一定的一般分离法是通过一定的数学变换数学变换，定义分离函，定义分离函数数 i i，然后进行分离，该法适用范围广泛，不但，然后进行分离，该法适用范围广泛，不但可以用于两个变量的情况，也很容易推广到两个可以用于两个变量的情况，也很容易推广到两个非正态变量的情况。非正态变量的情况。设有任意两个变量设有任意两个变量X Xi i，X Xj jXXXX
25、XXXxxxjjijijiiii,2222 i i，j称为分离函数，是小于称为分离函数，是小于1的数。从而有：的数。从而有：正态分布情况正态分布情况niiininiiiiXXXXnixnii1122112,2,1同时有分离函数变为：个变量对于jjiijjjXXXXXXXXiii222222SSRRsSRRmm22若若S=G+QS=G+Q，作两次分离后可得到由恒载，作两次分离后可得到由恒载G G和活荷载和活荷载Q Q产生的效应的分项系数：产生的效应的分项系数：SSRRSSSRRRSSSRRRSSSRRRmmVVmVmVmVmV相应的设计表达式：带入上式可得：及将1,111QQGGRRQQQGGG
26、RRRmmmVVV相应的设计表达式：111ZQQZGGZSSZRSRRR,22相应的分离函数为：一般情况一般情况-没考试题没考试题设极限状态函数设极限状态函数Z Z为一组相互独立的随机变量为一组相互独立的随机变量X Xi i(i(i=1,2,n)=1,2,n)的函数，即的函数，即Z=g(xZ=g(x1 1,x,x2 2,x,xn n)将将Z Z在均值处按在均值处按Taylor级数展开并取一阶：级数展开并取一阶：处的取值表示各偏导数均在的均值；为nimxgxmxgmmmgmXmXiXnixmXiZxxxZxixn,.,2,1,.,i2112221122nixmXiXmXiXXixixiixgxg
27、可定义为：分离函数niXXniXXnixmXixxxnixmXixxxZZniXXnixmXiiiiiixnixniiixxgmmmgxgmmmgmxg1121122,21122,121122.,.,2121为：因此，可靠指标可表示当当g(mg(mx1x1,m,mx2x2,m,mxnxn)为线性函数时，下面以三个变为线性函数时，下面以三个变量为例进行说明。量为例进行说明。设设Z=g(R,G,QZ=g(R,G,Q)=R-G-Q)=R-G-Q，按正态分布，则有：，按正态分布，则有：m mZ Z=mR-mG-mQQQQGGGRRRQQGGRRQGRZQGRQmGmRmVmVmVmmmmmQgGgRg1112222222222移项整理后可得：分离所得相同。与按两个变量进行二次ZQQQZGGGZRRRQQQGGGRRRQGRQGRQGRVVV222222222111
