1、非线性动力学优选非线性动力学Beyond Perturbation Introduction to Homotopy Analysis Method Concept of Homotopy in Topology Basic ideas of Homotopy Analysis method Examples Applications of the theory in solving nonlinear equations Conclusions References“摄动方法”的本质：应用方程中的小（大）物理参数，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题。优点：物理意义明确；简单、易懂；缺点
2、:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参 数时使得摄动展开法面临困难 (2)摄动展开解只在参数比较小的情况下能够给出较好的近似,随着“小参数”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)无法确保解的收敛怎样的近似解析方法？不依赖小参数确保解的收敛性，适用于强非线性问题和 如果对一个非空集合 给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑。具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。两个如果可以通过一系列从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间。设 和 都是拓扑空间，和 是X到Y的连续映 射，如果存在连续映
3、射这里使得对任何，则称 和 是是由的一个同伦 g（x）=H（x,1）H（x,q）Hfg二、二、“同伦分析方法同伦分析方法”简述简述拓扑理论传统的同伦概念：其中，q为嵌入变量.易知，q=0时，H(x;0)=f(x);q=1时，H(x;1)=g(x).因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函数H(x,q)从f(x)连续变化到g(x).这样，H(x,t)建立起从f(x)到和g(x)之间的联系.在拓扑(topology)理论中，这种连续的变化称为同伦(homotopy)，表示为 )()()1(),(tGqtFqqtH(,):H x qfgLiao提出“广义同伦”之概念：)()()1(),(tGqtFqqt
4、H(,)()()()()H t qA q F tB q G tBasic ideas of HAM E1.非线性代数方程 f(x)=0.(构造同伦)设 为已知的初始猜测解,嵌入变量 为一未知的嵌入变量 的函数,我们构造如下的一个单参数的非线性代数方程:(1)当 时,上述方程为线性方程 即0 x0,1,p()X p0,1p0(1)()()(),pf X pf xpf X p 0p 0(0)Xx0(0)()0,f Xf x当 时,方程(1)变为1p(1)0f X则 ,就是原非线性方程f(x)=0的解.(1)Xx因此,当嵌入变量 从0变化到1时,从初始猜测解 变化到非线性代数方程解 ,因此方程(1)
5、构造了一个 的同伦.()X p0 x0 xxpx设 存在无穷阶导数()X p00()mmmpX pxp 01()(0)!kkkxX pXpk则 001!kkxxxk 0kx(2)0(1)()1(1)()df dXf Xpf xdX dp(3)0p 1000()()fx xf x 1000()()f xxfx222222(1)1(1)0df dXd fdXdf d XpdX dpdXdpdX dp(4)(5)0p 211 2000000()2(1)()()()fx xfx xfxx(6)11 220000002(1)()()()()fx xfxxxfx类似地，可以求得k阶变形导数 ，则 0kx
6、001!kkxxxk000()()f xxxfx1 E2.非线性微分方程where is a nonlinear operator,denotes independent variable,is an unknown function,respectively.()0uN0(1)(,)()()(,),ppup Hp /LNN()uWhere 0,1 is the embedding parameter,is a nonzero auxiliary parameter,is an auxiliary function,is an auxiliary linear operator,is an i
7、nitial guess of ,is a unknown function,respectively.p()HL0()u()u(,)p 00L(7)Obviously,when p=0 and p=1,it holds0(,0)(),u(,1)().u Thus as increases from 0 to 1,the solution varies from the initial guess to the solution .p(,)p 0()u()uExpanding in Taylor series with respect to ,one has(,)p p01(,)()()mmm
8、puup where01(,)()!mmmppump(8)If the auxiliary linear operator ,the initial guess ,the auxiliary parameter ,and the auxiliary function are so properly chosen,the series(8)converges at ,one has1p 1()HL0()u01()()(),mmuuuwhich must be one of solutions of original nonlinear equation.As and ,Eq(7)becomes(
9、)1H0(1)(,)()(,)0,ppupp /LN(9)which is used mostly in the homotopy analysis method.Differentiating Eq.(7)m times with respect to the embedding parameter p and then setting p=0 and finally dividing them by m!,we have the so-called m th-order deformation equation01(),(),()nnuuuu(10)01(,)()()mmmpuup It
10、should be emphasized that for is governed by the linear equation(10)with the linear boundary conditions that come from original problem,which can be easily solved by symbolic computation software such as.()mu根据Taylor定理,有的同伦.（D）海洋工程中的应用,the solution of(11)must be expressed in the same form as(12)and
11、the other expressions such as must be avoided.Thus as increases from 0 to 1,the solution varies from the initial guess to the solution .如何求?同伦分析方法应用举例：非线性水波Applications of the theory in solving nonlinear equations(2)Construct mth-order deformation equation三维非定常旋转黏性流动which must be one of solutions of
12、 original nonlinear equation.is an initial guess of ,E3.非线性微分方程求解(1)0,(0)1duuuudAccording to the governing equation and the initial condition(11),the solution can be expressed by a set of base functions(11)e1,2,3,nnin the form1()e,nnnudwhere is a coefficient to be determined，This provides us with th
13、e so-called rule of solution expression,i.e.,the solution of(11)must be expressed in the same form as(12)and the other expressions such as must be avoided.nd(12)emnAccording to(11)and(12),we choose the linear operator(,)(,)(,),ppp /Lwith the property10.ce/LWhere is constant.1cFrom(11),we define a no
14、nlinear operator(,)(,)(1(,)(,),pppp /NAccording to(11)and the rule of solution expression(12),it is straightforward that the initial approximation should be in the form0(),ue0(1)(,)()()(,),ppup Hp /LNThus as increases from 0 to 1,the solution varies from the initial guess to the solution .p(,)p 0()u
15、()u01(,)()()mmmpuup(,)(,)(1(,)(,),pppp /N得到一族解，通过 调节级数收敛二、二、“同伦分析方法同伦分析方法”简述简述“同伦分析方法”特点 毋须任何小参数，可将一个非线性问题转化为无穷多个线性问题！可自由选取辅助线性算子、初始近似:线性子问题中的线性算子毋须与原始非线性方程中的线性算子相同或密切相关！二、二、“同伦分析方法同伦分析方法”简述简述初步形成一个较为完整的理论体系（1）提出三个原则:解表达原则（Rule of solution expression）解存在原则（Rule of solution existence）完备性原则（Rule of co
16、efficient ergodicity）指导辅助线性算子、初始近似、辅助函数之选取（2）证明了“收敛性定理”同伦分析方法之优点同伦分析方法之优点不同于摄动方法，“同伦分析方法”不依赖于小参数的存在，因而适用范围更广；不同于所有其它分析方法，“同伦分析方法”本身提供了一种简单的方法调节或控制解析解级数的收敛区域；“同伦分析方法”提供选择不同基函数之自由，从而能更有效地表达非线性问题的解。二、二、“同伦分析方法同伦分析方法”简述简述广泛应用（1992年-2002年）非线性波浪问题 边界层流动和热传导问题 非线性振动问题 极限环问题 圆球黏性阻力（Navier-Stokes方程）物理、生物及宇宙学
17、方面的非线性问题证明“同伦分析方法”之有效性和潜力(1)不依赖小参数二阶近似在整个区间 内的最大误差仅为0.48%30,(0)1,(0)0uuuu0同伦分析方法之优点同伦分析方法之优点10-210-1100101102Reynolds Number100101102103Dr agCoef f i ci entStokes(1851)Proudman&Pearson(1957)Chester&Breach(1969)Oseen(1910)Van Dyke(1970)S.J.Liao(2001)圆球绕流问题圆球绕流问题应用应用 “同伦分析方法同伦分析方法”,得到得到150150年来与实验结果年来
18、与实验结果吻合得最好的圆球阻力吻合得最好的圆球阻力理论公式理论公式（20022002年）年）。应用应用“同伦分析方法同伦分析方法”求解一些经典非线性难求解一些经典非线性难题题同伦分析方法之优点同伦分析方法之优点(2)确保解的收敛性 解的收敛区域可以 调节和控制(3)有选择基函数之自由 对任何参数 我们都得到如下形式的周期解 0)0(,1)0(,0 3uuuuu0,1cos)(nntnatu同伦分析方法之优点同伦分析方法之优点 Liao,S.and Tan,Y.,“A general approach to obtain series solutions of nonlinear differe
19、ntial equations”,Studies in Applied Mathematics,119:1-58,2007.非牛顿流体边界层流动 非牛顿流体边界层流动三维非定常旋转黏性流动 三维非定常旋转黏性流动 Tan.Y and Liao,S.,ASME J.Applied Mech.74:1011-1018,2007（B）发现新解发现新解(1)可渗透拉伸变形平板边界层流动：21()()()()02FFFF(0),(0)1,()0FFF（B）发现新解发现新解 应用“同伦分析方法”,找到被数值方法遗漏的一个新解!（B）发现新解发现新解(2)Cheng-Minkowycz 流动:2102(0)
20、0,(0)1,()0ff fffff 呈代数衰减的无穷多个解 应用“同伦分析方法”,Liao and Magyari(2006)找到被数值方法遗漏的、呈代数衰减的无穷多个新解！（C C）突破传统思想突破传统思想（C C）突破传统思想突破传统思想 求解非线性问题时，我们求解非线性问题时，我们所拥有的自由，远比我们所拥有的自由，远比我们过去想象的要大得多！过去想象的要大得多！正面意义：提出更好的、求解非线性 问题的解析方法和数值方法许多全新的、有趣的问题有待研究和探索(请见力学进展有关综述论文)（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用 “同伦分析方法”被成功应用于研究海洋工程中的一些基础理论问题
21、，如：非线性波浪；梁的大扰度弯曲；非线性波与非均匀流相互作用；（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用（A）非线性深水行进波（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用（B）具有间断性的孤立波（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用（C）梁的大扰度弯曲（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用（D）非线性波浪与非均匀流相互作用（D D）海洋工程中的应用海洋工程中的应用 非线性波浪与非均匀流相互作用 众多成功的应用实例,证实了“同伦分析方法”求解强非线性问题的有效性;“同伦分析方法”能找到新的、甚至被数值方法忽略的解，说明了“同伦分析方法”的巨大潜力；意义意义 众所周知，流体力学和海洋工程中的
22、非线性问题特别多。“同伦分析方法”的提出和完善，为流体力学和海洋工程中强非线性问题的求解提供了一个全新的、强有力的理论分析工具。同伦分析方法应用举例：非线性水波同伦分析方法应用举例：非线性水波同伦分析方法应用举例：同伦分析方法应用举例：Riemman 问题问题同伦分析方法应用举例：美式期权定价问题同伦分析方法应用举例：美式期权定价问题机遇和挑战机遇和挑战机遇“同伦分析方法”抛弃了小参数假设，为强非线性问题的求解提供了一个新的思路，为一些经典非线性难题的求解提供了一种新的可能性挑战 自然界中的非线性现象千差万别，异常复杂。提出一种普遍有效的方法极为困难。必须不断地完善和改进“同伦分析方法”，使其适用于尽可能多的强非线性问题
