1、1.9 Ritz-Galerkin法伽辽金法基本思想伽辽金法基本思想：伽辽金法是一种变分方法，亦称里兹（Ritz）平均法。基本思想是假设一含待定系数的近似解，代入控制方程后产生偏差（残值），为使偏差最小，用一权函数（变分）乘以该偏差，并使其在一周期内积分为零。从而得到确定待定系数的代数方程组，解此方程组求出待定系数，即得所求近似解。0)(xfx 自治系统自治系统 为待求的圆频率为待求的圆频率 看成静力平衡方程看成静力平衡方程0)(xfx 表示惯性力表示惯性力x)(xf 表示转动力和约束反力表示转动力和约束反力 由虚位移原理：由虚位移原理：0)(xxfx 1Niiix ta w t代入原方程，由
2、于近似解一般不会刚好等于真解，所以会产生不等于零的残值 11()0NNiiiiiiiR aa wfa w&近似解的变分 1Niiixw ta设解为使偏差最小，取这个残值与近似解的变分的乘积，在一周期内积分（也即使偏差在一个周期内平均分布）为零：00111()d0d0TiNNNTiiiiiiiiiR ax ta wfa ww a t&由于ia任意，则：011d0i=0,1,2.NNTiiiiiiia wfa ww t&ia解此代数方程组，求出N个待定系数,代回原方程即得近似解 03cxbxx 例例1 Duffing方程的周期方程的周期3)(cxbxxf1 111()coscosxatata 设设
3、,2,1 0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 0)()()(011111Tdtttafta 231110coscos(cos)cos0 Tatbatc attdt231110coscos(cos)cos0 Taptbatc attdt233110()coscoscos0 Tabtcattdt22234110()coscos0 abcatdt231113 14()402 24 2 2abca22134bca 03cxbxx 例例1 Duffing方程的周期方程的周期11331313()()coscos3coscos3xatatatataa3)(cxbxxf 0)()()(
4、011111Tdtttafta 2,1 0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 2,1 0)()()(011jdtttaftaTjniiiniii 0)(3coscos3cos9cos 0)(3coscos3cos9cos033131013131TTdttaafaadttaafaa2213130cos9cos 3coscos 3cos0.Taptatf atattdt2213130cos9cos 3coscos 3cos 30Tatatf atattdt22323233113301()(43663)208Fdbaacaca aca223221111131301()(4433
5、6)208Fdbaacaca aca a23221111313443360baacaca aca a2323331133436630baacaca aca2322111313232331133333()0442133(9)0424bacaca aca abacaca aca 初始条件初始条件0)0(,1)0(xx120.997093,0.002907,1.03672aattptaptax11036.3cos002907.003672.1cos997093.0 3coscos312322111313232331133333()0442133(9)0424bacaca aca abacaca ac
6、a例2 用伽辽金法求Duffing方程的周期解 03xxx coscosxata=3023202220cos dcoscoscos d31(1)coscos3 cos d044TTTxxxtaaataaat 设解（仅取一项权函数cos ）代入Duffing方程，并令与权函数乘积在一周期内积分0 22200222231 cos21(1)dcos3 cos d04243310144TTatataa 3023202220cos dcoscoscos d31(1)coscos3 cos d044TTTxxxtaaataaat 131322133333332222131313133313221313co
7、scos3coscos3cos9cos3(coscos)coscos 33coscos33coscos 33131(coscos3)(cos3cos9)444433(1cos2)cos322xatataaxaaxaaaaa aa aaaa aa a=+=+=-=+=+=+&322332113131313cos(1cos6)333133()cos()cos3424442aa aa aaaa a（）+=+D设解：3030cos d0cos3 d0TTxxxtxxxt23221111313023233311330333()cos cos d0424133 9()cos cos3 d0424TTaaaa aa ataaaa aat-+=-+=2322111313232331133333(1)0442133(1 9)0424aaa aa aaaa aa2221133232331133333(1)0442133(1 9)0424aa aaaaa aa给定适当参数后，采用C+语言编程求解。
