1、教学重点、难点。教学重点、难点。重点：平面与平面垂直的重点：平面与平面垂直的判定；判定；难点：如何度量二面角的难点：如何度量二面角的大小。大小。问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？题的一些例子吗？拦洪坝拦洪坝水平面水平面这样的角有何特点，该如何表示呢？这样的角有何特点，该如何表示呢？1.1.二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面
2、。半平面半平面ll思考思考:将一条直线沿直线上一点折起，将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为空间图形称为二面角二面角，你能画一个二，你能画一个二面角的直观图吗？面角的直观图吗？思考思考:在平面几何中，我们把角定在平面几何中，我们把角定义为义为“从一点出发的两条射线所组从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角成的图形叫做角”，按照这种定义按照这种定义方式，二面角的定义如何？方式，二面角的定义如何？1.1.二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角从一条从一条直线出发
3、的两个半平面所组直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。二面角二面角lOBA这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。平面角由射线平面角由射线-点点-射线构成射线构成二面角由半平面二面角由半平面-线线-半平面构成半平面构成 lABPQ 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。二面角的表示二面角的表示l二面角QlP二面角 AB二面角QABP二面角这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。导入新知二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(如图)_叫做二面角的棱，_叫做二面角的面记法：_
4、，在，内（棱以外的半平面部分），分别取点 P、Q 时，可记作_；当棱记为 l 时，可记作_或_.两个半平面两个半平面 直线直线AB 二面角的画法二面角的画法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5平卧式直立式思考思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？打开的书打开的书思考思考:异面直线所成的角、直线和平面异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什
5、么共同的特征？所成的角有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角化为二维空间的角,即平面角。即平面角。思考思考:在二面角在二面角-l-的棱上取一点的棱上取一点O O，过点，过点O O分别在二面角的两个面内分别在二面角的两个面内任作两条射线任作两条射线OAOA，OBOB，能否用，能否用AOBAOB来刻画二面角的张开程度？来刻画二面角的张开程度？lO OA AB B思考思考:在上图中如何调整在上图中如何调整OAOA、OBOB的位的位置，使置，使AOBAOB被二面角被二面角-l-唯一确唯一确定？这个角的大小是否与顶点定？这个角的大小是否与顶
6、点O O在棱在棱上的位置有关？上的位置有关？lO OA AB BlO OA AB B思考思考:上面所作的角叫做上面所作的角叫做二面角的平二面角的平面角面角，你能给二面角的平面角下个，你能给二面角的平面角下个定义吗？定义吗？lO OA AB B二面角的大小用它的平面角来度量二面角的度量二面角的度量A O BA1O1B1 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这于棱的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。l ABOO1A1B1？注：二面角的平面角的特点二面角的平面角的特点：3）
7、角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10 lOABAOB(1)(2)思考思考:如图，平面如图，平面垂直于二面角的垂直于二面角的棱棱l，分别与面，分别与面、相交于相交于OAOA、OBOB，则则AOBAOB是二面角的平面角吗？为什是二面角的平面角吗？为什么？么？lA AO OB B注意：平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角二面角的大小的范围二面角的大小的范围:1800小结小结:二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法1、定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出来2、垂面法垂面
8、法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 l PABOB1C1D1A1ABCDMNCABSB1C1D1A1ABCDMN线面、面面垂直的综合问题线面、面面垂直的综合问题 例 3如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a的正方形，侧棱 PDa，PAPC 2a，求证：(1)PD平面 ABCD；(2)平面 PAC平面 PBD；(3)二面角 PBCD 是 45的二面角例例3如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为中，底面是边长为a的正的正方形，侧棱方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：，求证：(1)PD平面平面ABCD；(3)二面角二面角PBCD是
9、是45的二面的二面角角观察观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交面相交,它们所成的二面角及其度数它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。成与水平平面的横边垂直。平面平面与与垂直，记垂直，记作：作：。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互
10、相垂直两个平面互相垂直.面面垂直的定义：面面垂直的定义：(2)(2)日常生活中平面与平面垂直的例子日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)(1)除了定义之外除了定义之外,如何判定两个平面互相垂如何判定两个平面互相垂直呢直呢?aAb 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？大家知道其中的理论根据吗？如果一个平面经过了另一个平面的一条如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
11、那么这两个平面互相垂直垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：猜想：下面我们来验证这个定理下面我们来验证这个定理证明：设证明：设=CD=CD，则，则BCDBCD，在平面在平面内过内过B B点作点作BECDBECD。ABCDABCD，ABBEABBE。ABE=90ABE=90。是二是二面角面角CDCD的平面角，的平面角，二面角二面角CD CD 是直二面角，即是直二面角，即。ABCDE已知：直线已知：直线 ABAB平面平面于于B B点，点，AB AB 平面平面，求证求证:垂线垂线 化解疑难化解疑难对面面垂直的判定定理的理解对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为该定理可简记为“线面垂直，则面面垂
12、直线面垂直，则面面垂直”(2)定理的关键词是定理的关键词是“过另一面的垂线过另一面的垂线”，所以应用的关，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线键是在平面内寻找另一个面的垂线(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握思想，应用时要灵活把握平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直个平面垂直.符号符号:aA简记：线面垂直，简记：线面垂直
13、，则面面垂直则面面垂直 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直aa 面符号符号:线面垂直判定定理线面垂直判定定理：m n m n=B l m l nl A AmnlB性质定理性质定理现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直的道理了吗？墙面是否和地面垂直的道理了吗？思考思考:过一点过一点P P可以作多少个平面与可以作多少个平面与平面平面垂直？过一条直线垂直？过一条直线l可以作多可以作多少个平面与平面少个平面与平面垂直？垂直？Pll例例1、如图、如图,AB是是 O的直径的直径,PA垂直于垂直于 O所在所在的平面的平面,C是是 圆周
14、上不同于圆周上不同于A,B的任意一点的任意一点,求证求证:平面平面PAC平面平面PBC.证明证明:设已知O平面为,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCAC PAACAPACBC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBC,PAPAC ACPAC面面,ABBCD BCCD已知面请问哪些平面互相垂直的,为什么?ABCBCD面面ABCACD面面ABDBCD面面ABBCD面CDABC面ABBCD面探究探究1 1：ABCD例例2、已知直线、已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD。证明：证明：。平面PBD平面PBD
15、平面PAC平面PAC 应用应用B BD DC C正正方方形形A AB BC CD D中中，A ABDBDPAPA平面ABCD平面ABCDBDBD平面ABCD平面ABCDPAPAA APAPAACAC平面PAC平面PAC平面PAC，PA平面PAC，PAACAC平面PAC平面PACBDBD 平平面面P PB BD DB BD D ABDPCO二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法点点P在棱上在棱上点点P在二面角内在二面角内ABPABppABO定义法定义法垂面法垂面法找二面角的平面角找二面角的平面角说明该平面角是直角。说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）（一般通过计算完成证明。）1、定义法：、定义法：2、判定定理：、判定定理：要证要证两个平面垂直，两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。另一个平面的一条垂线。只要在其中一个平面内找到只要在其中一个平面内找到（线面垂直（线面垂直面面垂直面面垂直）3.3.两个平面垂直的判定定理的内容两个平面垂直的判定定理的内容.面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直
