1、4.2.1直线和圆的位置关系位置位置关系关系图形图形几何特征几何特征方程特征方程特征判定方法判定方法几何法几何法代数法代数法 相交相交有两个公有两个公共点共点方程组有方程组有两个不同两个不同实根实根d0相切相切有且只有有且只有一个公共一个公共点点方程组有方程组有且只有一且只有一个实根个实根 d=r=0相离相离没有公共没有公共点点方程组方程组无实根无实根 dr022:(2):40Cxl axya例3、设有圆+(y-4)=9与直线(1)(1)证明：无论证明：无论a a为何实数，直线为何实数，直线l l与圆与圆C C恒相交恒相交(2)(2)试求直线试求直线l l被圆被圆C C截得弦长的最大值截得弦长
2、的最大值 22222(2,4),32441110131CraaadaaaaaarlCa 解：（1）如图设圆心到l的距离为d圆心半径又与 恒相交C(2,4)xyAB0dD(1)(1)证明：无论证明：无论a a为何实数，直线为何实数，直线l l与圆与圆C C恒相交恒相交(2)(2)试求直线试求直线l l被圆被圆C C截得弦长的最大值截得弦长的最大值另解：（另解：（1 1）因为）因为l l：y=a(x-1)+4 y=a(x-1)+4 过定点过定点N N（1 1，4 4）N N与圆心与圆心C C（2 2，4 4）相距为）相距为1 1显然显然N N在圆在圆C C内部，故直线内部，故直线l l与圆与圆C
3、C恒相交恒相交（2 2）弦弦ABAB的最大值为直径的长，的最大值为直径的长，a a为斜率，当为斜率，当a=0a=0时，时，l l过圆心，弦长等于过圆心，弦长等于6 622:(2):40Cxl axya例3、设有圆+(y-4)=9与直线C(2,4)xyAB0N例例1 1解法一：（求出交点利用两点间距离公式）解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB2522 yx例例1 1已知直线已知直线 y=y=x x+1+1 与圆与圆 相交于相交于A A,B B两两点，求弦长点，求弦长|ABAB|的值的值422 yxyyxxy消去由412203222 xx得271,27121xx271,27121yy)
4、271,271(),271,271(BA14|AB2522 yx解法二：（解弦心距解法二：（解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）半弦及半径构成的直角三角形）21221(1)d 设圆心设圆心O O（0 0，0 0）到直线的距离为）到直线的距离为d d，则，则yOABdr2522 yx1 1已知直线已知直线x-y+1=0+1=0与圆与圆 相交于相交于A,B两点，求弦长两点，求弦长|AB|的值的值422 yx22|214ABrd总结:求圆的弦长可以利用圆中半弦长、弦心距d 及半径 r 构成的直角三角形来求,此时弦长=。222 Rd2522 yx解法三：（弦长公式）解法三：（弦长公式）xyOAB25
5、22 yx1 1已知直线已知直线 y=y=x+1+1 与圆与圆 相交于相交于A,B两点，求弦长两点，求弦长|ABAB|的值的值422 yx222121214223031,2yxyxyxxxxx x 由消去得14)23(4)1(1141122212122122xxxxkxxkAB方法小结方法小结求圆的弦长方法求圆的弦长方法（1 1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标，用两点间距离公式求交点坐标，用两点间距离公式用弦长公式用弦长公式2 21 12 2x xx xk k1 1ABAB韦达定理韦达定理（2 2）代数法：）代数法
6、：2222ldR例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.xyOM.EF解解:因为直线因为直线l l 过点过点M,M,可设所可设所求直线求直线l l 的方程为的方程为:3(3)yk x:330kxyk即即对于圆对于圆:224210 xyy22(2)25xy(0,2),5r圆圆心心坐坐标标为为半半径径如图如图:4 5TF 2 5EF ,5OE T T2|233|1kOEk 2|233|51kk 解得解得:122kk
7、 或或所求直线为所求直线为:290230 xyxy或或.xyOM.EF练习.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 直线的方程.分析:充分利用半径 弦 弦心距之间的关系.解:如下图所示,作OCAB于C,6 2的6 2,2 5,ABOA 在RtOAC中,OC=设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y+4=k(x-6),即kx-y-6k-4=0.圆心到直线的距离为 即17k2+24k+7=0.k1=-1,k2=所求直线方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.220(3 2)2.2,2|64|2,1kk7.17求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 直线
8、的方程.直线与圆相交，求直线方程.,),(.的的方方程程求求直直线线所所截截得得的的弦弦长长为为被被圆圆的的直直线线已已知知过过点点例例lyyxlM54021433222.xyOM.EF.的的方方程程求求直直线线，长长为为和和圆圆方方程程不不变变，截截得得弦弦：点点变变式式lM81的的方方程程直直线线求求截截得得的的弦弦长长最最长长时时，和和圆圆方方程程不不变变，：点点变变式式lM2的的方方程程直直线线求求截截得得的的弦弦长长最最短短时时，和和圆圆方方程程不不变变，：点点变变式式lM3.:的的方方程程两两部部分分时时，求求把把圆圆的的周周长长分分为为和和圆圆方方程程不不变变，当当直直线线：点点
9、变变式式lM214C C1.直线直线 截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.0323 yx圆心到直线距离圆心到直线距离 d=3OABMxy23cosOAOMMOA得得AOB=2MOA=60AOB=2MOA=600 0练习练习小结方法方法1:1:根据直线与圆方程组根据直线与圆方程组成的方程组的解的个数判断；成的方程组的解的个数判断；方法方法2:2:根据圆心到直线的距根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断离与圆半径的大小关系判断.判断直线与圆位置关系弦长问题22222ldr：应应用用圆圆中中直直角角三三角角形形方方法法2122122124111xxxxkxx
10、kl)(计计算算式式：联联立立方方程程，利利用用弦弦长长方方法法求切线方程方法方法1:1:设切线斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，联立方程，利用判别线方程，联立方程，利用判别式为式为0 0；方法方法2:2:设切线斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，用圆心到切线距离线方程，用圆心到切线距离等于圆的半径等于圆的半径.(2)(2)由平面解析几何的垂径定理可知由平面解析几何的垂径定理可知22217335,4414mdm 即2333mmm得则的 值 为22217()2rdrdl lA AB B22:(1)5,:10(1),17Cxyl mxymmRllAB2.已知圆直线证明：对直线 与圆C总有两个
11、不同的交点；（2）设直线 与圆C交于A,B两点，若=求m的值THANK YOUSUCCESS2022-12-29可编辑22205mxymxy为 何 值 时，直 线与 圆（1）无 公 共 点；（2）截 得 弦 长 为 2；(1)(0,0),5,Or 由已知，圆心为半径解：2220,2(1)5mmxymd 圆心到直线的距离55mm 或,55mdr因为直线与圆无公共点，即55mm 故当或时，直线与圆无公共点。2 5m故当时，直线被圆截得的弦长为222221,512 55mrdm 即得（2 2）如图，有平面几何垂径定理知）如图，有平面几何垂径定理知xy0rd变式演练变式演练1 1探究二：直线与圆相交，
12、弦长问题.:所截得的弦长所截得的弦长被圆被圆求直线求直线变式变式例例042063.122yyxyxl.xyOCABl22221ldrldr，弦弦长长为为圆圆心心到到直直线线距距离离为为半半径径为为：应应用用圆圆中中直直角角三三角角形形方方法法,2122122124112xxxxkxxkl)(计计算算式式：联联立立方方程程，利利用用弦弦长长方方法法D直线与圆相交，求直线方程.,),(.的的方方程程求求直直线线所所截截得得的的弦弦长长为为被被圆圆的的直直线线已已知知过过点点例例lyyxlM54021433222.xyOM.EF.的的方方程程求求直直线线，长长为为和和圆圆方方程程不不变变，截截得得弦
13、弦：点点变变式式lM81的的方方程程直直线线求求截截得得的的弦弦长长最最长长时时，和和圆圆方方程程不不变变，：点点变变式式lM2的的方方程程直直线线求求截截得得的的弦弦长长最最短短时时，和和圆圆方方程程不不变变，：点点变变式式lM3.:的的方方程程两两部部分分时时，求求把把圆圆的的周周长长分分为为和和圆圆方方程程不不变变，当当直直线线：点点变变式式lM214C C1.直线直线 截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.0323 yx圆心到直线距离圆心到直线距离 d=3OABMxy23cosOAOMMOA得得AOB=2MOA=60AOB=2MOA=600 0练习练
14、习小结方法方法1:1:根据直线与圆方程组根据直线与圆方程组成的方程组的解的个数判断；成的方程组的解的个数判断；方法方法2:2:根据圆心到直线的距根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断离与圆半径的大小关系判断.判断直线与圆位置关系弦长问题22222ldr：应应用用圆圆中中直直角角三三角角形形方方法法2122122124111xxxxkxxkl)(计计算算式式：联联立立方方程程，利利用用弦弦长长方方法法求切线方程方法方法1:1:设切线斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，联立方程，利用判别线方程，联立方程，利用判别式为式为0 0；方法方法2:2:设切线斜率，写出切设切线斜率，写出切线方程，用圆
15、心到切线距离线方程，用圆心到切线距离等于圆的半径等于圆的半径.圆圆(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=50=50被直线被直线4x-3y=24x-3y=2截得截得 的弦长是的弦长是_._.练习练习101.1.已知圆已知圆C C：(x-a)(x-a)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4(=4(a a0)0)及直线及直线l l：x-y+x-y+3=03=0当当直线直线l l被被C C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=a=()()(A)(B)(C)(A)(B)(C)(D)(D)3222-21-212 C C.C CLABD2222ldR能力提升能力提升:2.直线直线
16、截圆截圆x2+y2=4所得劣弧所得劣弧所对圆心角大小为所对圆心角大小为_.0323 yx圆心到直线距离圆心到直线距离 d=3OABMxy23cosOAOMMOA得得AOB=2MOA=60AOB=2MOA=600 0能力提升能力提升1.1.已知圆已知圆C C：(x-a)(x-a)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4(=4(a a0)0)及直线及直线l l：x-y+x-y+3=03=0当当直线直线l l被被C C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=a=()()(A)(B)(C)(A)(B)(C)(D)(D)3222-21-212 C C.C CLABD2222ldR能力提升能力提升:1
17、1、求直线求直线 被圆被圆 截得的截得的弦长。弦长。32 30 xy224xy检测：检测：方法小结方法小结求圆的弦长方法求圆的弦长方法（1 1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标，用两点间距离公式求交点坐标，用两点间距离公式应用提高应用提高用弦长公式用弦长公式2 21 12 2x xx xk k1 1ABAB韦达定理韦达定理（2 2）代数法：）代数法：1 1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做和三角形各边都相切的圆叫做三角三角形的内切圆形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条，内切圆的圆心是三角形三条角平角平分线的交
18、点，分线的交点，叫做三角形的内心。叫做三角形的内心。2 2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等内心到三角形三边的距离相等;OAB C内心与顶点连线平分内角。内心与顶点连线平分内角。OAB CD DE EF F点点O O是是ABCABC的内心的内心 OD=OE=OF=r OD=OE=OF=r AO AO平分平分BACBAC BO BO平分平分ABCABC CO CO平分平分ACBACB AE=AF AE=AF BD=BF BD=BF CD=CE CD=CE思考思考4:4:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0)为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2外一点，过点外一点，过点M M作圆作圆的两条切线，切点分别为的两条切线，切点分别为A A，B B，则直线，则直线ABAB的方程如何？的方程如何？M Mx xo oy yB BA Ax x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2),(),(2211yxByxA解：设,:211ryyxxlAP则222:ryyxxlBP)2()1(2020220101ryyxxryyxx上在直线说明点由20011),()1(ryyxxyx上在直线说明点由20022),()2(ryyxxyx200:ryyxxlABTHANK YOUSUCCESS2022-12-29可编辑
