1、将一元函数积分学中的将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”思想推广，运用到多元函数情形。思想推广，运用到多元函数情形。第第1 1节节 多元数量函数积分的多元数量函数积分的概念和性质概念和性质1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体曲顶柱体：以：以XOY平面上的闭区域平面上的闭区域D为底，为底，以以D 的边界曲线为准线，母线平行于的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的轴的柱面为侧面，柱面为侧面，并并以以z=f(x,y)为顶的空间立体为顶的空间立体.一一.两个实例：两个实例：如何求此曲顶柱体的体积如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想微元法思想.分割分割：把把 D 任
2、意分成任意分成 n 个小区域个小区域 (同时用同时用 表示第表示第 i 个小区域的面积），分别个小区域的面积），分别以以 的边界为准线作母线平行于的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面，则原曲顶柱体分成了则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。个小的曲顶柱体。n ,21i i 近似近似 ：任取任取 ，则以则以 为底的小曲顶柱为底的小曲顶柱体体积体体积:i iii ,iiiifv ,yxzDoy,xfzi iniiifV 1,求和：求和：取极限取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记区域的直径，记 的直径的直径inid 1max inii
3、idfV 10,lim则：则：设有一物体对应于空间曲面设有一物体对应于空间曲面 ,(x,y,z)为密度为密度函数函数(连续）连续），现要求该物体的质量现要求该物体的质量 m。2.质量：质量：分割分割：把：把 任意分成任意分成n 小块小块 ，表示表示 第第 i 小块曲面的面积。小块曲面的面积。iA niAi,1 近似近似：任取：任取 ，则第，则第 i小块曲面的小块曲面的质量质量 iiiiA ,iiiiiAm ,取极限取极限：iniiiidAm 10,lim iniiiiAm 1,求和：求和：kknkdkkkknkkkknkkkMfdMfdMfffdMMfMdnknknf )(lim)()(,0,
4、)(max),1),2,1.1011，即即记记为为上上的的积积分分在在上上可可积积，极极限限值值为为在在几几何何形形体体，则则称称函函数数上上述述和和式式有有确确定定的的极极限限时时，如如何何选选取取，当当如如何何分分割割，点点如如果果不不论论将将，作作和和式式，任任取取点点的的直直径径记记（其其度度量量仍仍记记为为（个个小小部部分分任任意意分分割割成成将将上上的的数数量量值值函函数数是是定定义义在在函函数数的的几几何何形形体体，是是一一个个有有界界的的可可以以度度量量设设二二.数量函数积分的概念数量函数积分的概念定义定义1 kknkkdDfdyxf ),(lim,10二重积分；二重积分；三重
5、积分：三重积分：kkknkkdvfdvzyxf ),(lim),(10 其中其中 称为称为积分域积分域，f 称为称为被积函数被积函数，f(M)d 称为称为被积式被积式或或积分微元积分微元。几种具体的类型：几种具体的类型：称为面积微元。称为面积微元。d称为体积微元。称为体积微元。dv第一型曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：（对弧长的曲线积分）：kkknkkdLsfdszyxf ),(lim),(10 kknkkdLsfdsyxf ),(lim),(10 第一型曲面积第一型曲面积分分（对面积的曲面积分）：（对面积的曲面积分）：kkknkkdAfdAzyxf ),(lim),(10 L称为
6、积分路径。称为积分路径。的的度度量量 knkdd10lim时时，1 f 数量函数积分的几何意义：数量函数积分的几何意义：;的的面面积积平平面面区区域域DdD 的的体体积积；空空间间立立体体 dv;的的面面积积曲曲面面 Ad.的的长长度度曲曲线线 LdsL 当当 时，时，=以以D为底为底,以以 为顶的曲顶柱体的体积；为顶的曲顶柱体的体积；0,yxf yxfz,Ddyxf,数量函数积分的物理应用之一：数量函数积分的物理应用之一：的的密密度度函函数数时时，为为几几何何形形体体当当函函数数 f的的质质量量 dMf)(三三.积分存在的条件和性质积分存在的条件和性质.必要条件必要条件:f 在在 上可积，则
7、上可积，则f 在在 上有界。上有界。dMgbdMfadMbgMaf)()()()(1.线性性质线性性质：2.可加性可加性 dMfdMfdMf)()()(21无公共内点。无公共内点。与与且且其中其中2121,3.积分不等式积分不等式 若若 则则 dMgdMf)()(),()(,MgMfM ，使使则则至至少少存存在在一一点点是是连连通通可可度度量量的的集集合合，设设 PCMf)()(的的度度量量的的度度量量 LdMfl)(5.中值定理中值定理)()()(的的度度量量 PfdMf特别地，有特别地，有 dMfdMf)()(若若 则则,)(,LMflM 的边界为准线，母线平行于的边界为准线，母线平行于
8、z 轴的柱面为侧面，轴的柱面为侧面，D为底面，曲为底面，曲面面 xyxbxayxD21,由二重积分的几何意义知：以由二重积分的几何意义知：以 xoy 平面上的平面上的区域区域为顶面的曲顶柱体的体积为为顶面的曲顶柱体的体积为 Dyxyxfz ,0),(dyxfVD ,第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算一一.直角坐标系中二重积分的计算：直角坐标系中二重积分的计算：xbxaoyz)(1x)(2x D 任取任取 ，过，过 x 轴作平行于轴作平行于yoz坐标面坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为设其面积为 ，则，则 bax,xA
9、baxxbaxxDdyyxfdxdxdyyxfdyxfV)()()()(2121),(),(,记记 )()(21),()(xxbadyyxfxAdxxAV 而而先先y后后x的二次积分的二次积分(累次积分累次积分)而该体积也可用定积分的方法求得而该体积也可用定积分的方法求得:)(2x xAbxaoxyz)(1x DX-型区域：任一平行型区域：任一平行 y 轴的直线与轴的直线与D的边界的边界的交点至多只有两个。的交点至多只有两个。上面假定上面假定 ，但实际上上公式对，但实际上上公式对一般的一般的 也成立。对各种不同类型的积也成立。对各种不同类型的积分区域分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结二重
10、积分化为二次积分的情况总结如下：如下：0,yxf yxf,baxxDDdyyxfdxdxdyyxfdyxf)()(21),(,Dab x2 x1 oyx x2 x1 oyxDab）元元（直直角角坐坐标标系系中中面面积积微微dxdyd dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(,Ddc y1 y2 oyxDcd y1 y2 oyxY-型区域：任一平行型区域：任一平行 x 轴的直线与轴的直线与D的边界的边界的交点至多只有两个。的交点至多只有两个。dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfDDDD 321,oy1D3D2Dx 81121211 0 21 0 102101
11、0 22 dxxxdxyxxydydxxydxdyxxD0,0,1:22 yxyxDxydxdyD例例 1 1 计算计算解解oxy11x.1,2:22围围成成的的区区域域及及双双曲曲线线由由直直线线计计算算 xyxyxDdxdyyxD解解 法一法一 先对先对y后对后对x积分积分 49121321122112222 dxxxdxxyxdyyxdxdxdyyxxxxDoyxxy 1 yx2 x)1,1()21,2()2,2(1D例例 2 249651217338313821212152 dyyydyyy法二法二 先对先对x后对后对y积分积分oyxxy 1 yx2 x)1,1()21,2()2,2(
12、1D 21222121212222yyDdxyxdydxyxdydxdyyx围围成成的的区区域域由由xyyxDdxdyexDy ,1,0:22edtetedttetttyt31610161213110102 解解 由于由于 的原函数不能用初等函数表示，的原函数不能用初等函数表示，故不能先对故不能先对y积分积分2ye 例例3 3 计算计算oyx1D11 yyDydxexdydxdyex0210222 10302102231dyeydxxdyeyyy注意注意：在例：在例2中，法中，法1比法比法2简便，在例简便，在例3中，由于中，由于被积函数中含有被积函数中含有 ，只能先对，只能先对x积分积分.因此
13、，因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。是要化为二次积分。2ye 例例4 作出积分域，并改变积分次序：作出积分域，并改变积分次序：xxdyyxfdx240),(解解 原积分原积分=yydxyxfdy2202),()1(4,2)yx2 2yx oyx yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),()2(解解 原积分原积分=xxdyyxfdx3220),(yx 3oyxyx2(2,1)221111),()3(xxdyyxfdx yy
14、yydxyxfdydxyxfdy11101101),(),(22oyx21 xy 21 xy 解解 原积分原积分=2sinsin0),()4(xxdyyxfdx 解解 原积分原积分 yyydxyxfdydxyxfdyarcsin201arcsinarcsin10),(),(oyxxy sin 2sinxy DdxdyxRV228 302202203168 8 22RdxxRdyxRdxRxRR 例例5 5 求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。立体的体积。RxxRyyxDRzxRyx 0,0,.,22222222为为设两个圆柱面方程分别设两个圆
15、柱面方程分别解解oxyzDBCA二二.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算），200(sincos yx则得极坐标系下的二重积分计算公式则得极坐标系下的二重积分计算公式:DDddfdxdyyxf sin,cos,作极坐标变换作极坐标变换oxD 若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式 上连续，则上连续，则在在，其中其中表示，表示，,2121 )()(21)sin,cos()sin,cos(dfdddfD oxD)(2 )(1 oxD)(2 )(1 )(0)sin,cos(d)sin,cos(Ddfddf若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式 上连续，则上连续，
16、则在在其中其中表示，表示，,0 )(oxD若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式 上连续，则上连续，则在在其中其中表示，表示，2,020,0 2 0 )(0)sin,cos(d)sin,cos(Ddfddfox)(D若区域若区域D可用极坐标的不等式可用极坐标的不等式上连续，则上连续，则在在其中其中表示，表示，,)(),()()(,2121baba baDdfdddf)()(21)sin,cos()sin,cos(oxDab)(2 )(1 解解 令令 sincosyx 则在极坐标系中，则在极坐标系中，22222212120020RRRDDyxeededddedxdye 于是于是,20
17、,0:RD例例6 计算计算222)(:22RyxDdxdyeDyx ;0,02:;00:22232 yxRyxDRyRxDoxy1D2D3DRR2321DDD 显然显然 022 yxe由于由于从而从而 ,322222122 DyxDyxDyxdxdyedxdyedxdye例例 7 计算反常积分计算反常积分.02 dxex解解 设设0,0:2221 yxRyxD)1(422Re 例例6)1(42Re 例例6而而 2000222222 RxRyRxDyxdxedyedxedxdye从而从而202 dxex因此因此 2222201414RRxRedxee R4 R例例8 将下列二次积分化为极坐标形式
18、下的将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次二次积分：积分：RxRdyyxfdx0022,)1(2220000sin,cos,RRxRdfddyyxfdx解解oR xy 积分区域：积分区域：D:212122 yx在极坐标下，在极坐标下，D：cos022于是于是 dfddyxyfdxxxxx cos010tan2222 1022)2(xxxxdyxyfdx解解ox cos y 2220:xaxyaxaxD在极坐标下，将在极坐标下，将D分为二部分表示：分为二部分表示：2cossin040cos2024aa 及及于是于是 40cossin0022222)sin,cos(,aaxaxxdfddyyxfd
19、x 24cos20)sin,cos(adfd axaxaxdyyxfdx0222,)3(解解ox cos2a 2cossina y在极坐标下，在极坐标下，D分为二部分表示：分为二部分表示：sin1024cos1040及及 dfddfd 24sin10240cos102于是于是 1010:yxD dyyxfdx 101022 101022)()4(dyyxfdx解解 sin1 cos1 11xoy例例9 求求Bernoulli双纽线双纽线)(2)(222222yxayx 围成的面积围成的面积A.解解 双纽线在极坐标下的方程为：双纽线在极坐标下的方程为：2cos22cos2sincos222222
20、2224aaa 02cos02 ,4543,44 4 43 47 45 xoy由由 的周期性得图形的对称性，而且当的周期性得图形的对称性，而且当 从从 增加到增加到 时，时，由零增加到由零增加到 ，再减少，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。到零，于是可得如图所示的双纽线图形。2cos4 4 2 a2 402402cos202cos224 dadddddxdyAaDD242202sin2aa 4 43 47 45 xoy（2 2）变换）变换T T：把把 uov平面上平面上的区域的区域 一对一的变为一对一的变为 D D，vuyvux,),(,DCyxf 定理定理1 1 设（设（1 1）（3
21、 3）(u,v),),(u,v)在在 上具有一阶连续偏上具有一阶连续偏导数，导数，且：且：Dvuvuyxvuvu ,0,D D 三三.二重积分的换元法二重积分的换元法 dudvvuyxvuvufdxdyyxfDD),(),(,则则二重积分的换元公式二重积分的换元公式 3132312uvyvuxxyvxyu则则令令围围成成由由其其中中3,2,2,D,22 xyxyxyxyxydxdyD例例10 计算计算解解oxyD 131313132313231313231313234,uvuvuvuvuvuyx2ln651312132311 vdvduudvduuvdxdyxyDD于是于是oxy1223D 例
22、例 11 求由曲线求由曲线 所围区域所围区域 D 的面积的面积S。)0,0(0,0,144 bayxbyax 777878cossin8 cossin8sinsincos8cos,abrbrbararyx 解解 令令 88sincosbryarxD2010:rD70 sin)sin1(sin8cossin8203271077abdrdrabdrdabrdxdySDD 于是于是例例12 求椭圆求椭圆 围成区域的面积围成区域的面积A。12222 byax解解 令令 sincosbyax广义极坐标，广义极坐标，2010.abdabddxdyAD abyx ),(),(则则作作 业业P93-97 习题习题6.2 1(1)(b)2(3)3(2)4(1)(2)(3)6(2)7(2)(7)(9)8(2)(4)9(1)(3)10(2)(3)(6)11(2)(3)12(1)(2)13(1)(2)14(1)16
