1、第一次习题课第一次习题课 一、内容及要求一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义导数及全微分的定义2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的连会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性。续性。4 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数的能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。5 多元复合函数的偏导数多元复合函数的偏导数，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 变量关系
2、图变量关系图 uvzxy则有则有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz （2）几种变形）几种变形)(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt（1）链式法则）链式法则“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”(i)多个中间变量，一个自变量多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：一个中间变量，多个自变量：,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz (iii)中间变量与自变量混合存在中间变量与自变量混合存在:z=f(x，y，u)，u=u(x，y)xuffxzux yuffyzu
3、y xyuzxy（3）全微分形式的不变性）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v 不管是自变量还是中间变量，不管是自变量还是中间变量，有有dvvzduuzdz yufyududzyz )(2.隐函数的偏导数隐函数的偏导数（1）单个方程的情形）单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法方法:（2）方程组的情形）方程组的情形（4）复合函数的高阶偏导数的计算）复合函数的高阶偏导数的计算(难点难点),(),(),(yxvyxuvufz 求求Zxx、Zxy、Zyy 时应该注意到时应该注意到fu、fv仍是复合函数仍是复合函数.(i)(
4、i)公式法；公式法；(ii)复合函数的求导法则；复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性一阶全微分形式的不变性。求导方法求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导变量求偏导(或对各方程的两端取微分或对各方程的两端取微分)，解方程组求，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数、或微分或导数、或微分)一般：变量个数方程个数一般：变量个数方程个数=自变量个数自变量个数二、典型例题分析二、典型例题分析 1、选择与填充、选择与填充 )0,0(,)0,0(),(0)0,0(),(),()1(22则在则在设设
5、 yxyxyxxyyxf（A）不连续）不连续（B）偏导存在）偏导存在(C)可微可微 xyyxyx1cos)(lim)2(00 9sin3sinlim)3(00yxxyyx yykxyx)1(lim)4(06 ke_,arctan)5(xyzxyz_,)6()1,1,1(duzyxuzxyzxy 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求确定，确定，由由22222)(yxxy dzdydx 3cos例例解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令.0)0,0(),(等等价价于于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy co
6、s)cos(sin ,2 .0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115xffxfx yxz 2)(2214fxfxx 2212114132)(4xfxyfyfxfx )(222212xyfyfx .2422114213yfyfxxffx )(312fefyxyzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffef
7、exeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例例.设设z=f(x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏具有二阶连续偏导数，求导数，求 xyz 2xuffxz 31变量关系图为：变量关系图为：zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331为可导函数，证明：为可导函数，证明：，设设：例例)(),(4uFxyuuxFxyz )()(2xyuFxuFyxz 证明：证明：xuFxxyz1)(可导，验证可导，验证其中其中设设：例例)(,)(522uFyxfyz 211yzyzyxzx 22fxf yxz 证明：证明：2)2(fyf yfyz xzfyxfz2222),(6
8、具有二阶导数，求具有二阶导数，求其中其中设设：例例xfxz2 解：解：xfxfxz22222 xyzyzyxzx 23,23),(7tsytsxyxfu 而而的所有二阶偏导连续，的所有二阶偏导连续，：设：设例例21,23,23,21:tytxsysx证明证明syyusxxusu yuxu 2321tusuyuxutusuxuxu222222222222)及及（证明（证明（yyyxxxuuu432341 yxuutu2123 同理：同理：yyxyxxuuutu41234322 代入得证。代入得证。232122syusxusyusxusuyyyxxyxx 232123232121yyyxxyxxu
9、uuu 例例 可可微微，证证明明，设设fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 证明：证明：2221)(11xufxxzz 两端求对两端求对x的偏导数，得的偏导数，得 两端同乘以两端同乘以x2z2得得)1()(222ufzxzxz 方程的两端求对方程的两端求对y的偏导数，得的偏导数，得)1()(122yufyzz 两端同乘以两端同乘以y2z2得得)2()(22ufzyzy (1)式式+(2)式式 222zyzyxzx 即即得得例例 可微，求可微，求设设FxzyyzxF,0),(,xz .,dzyz 解：方程两端求对解：方程两端求对x的偏导数，有的偏导数，有0)1()11(221 xzx
10、xzFxzyF解得解得 2112211FxFyFxzFxz 1222111)(FyFxFyzFyz dyFyFxFyzF1222111)(dxFxFyFxzFdz2112211 方程两端求对方程两端求对y的偏导数，有的偏导数，有或利用全微分形式的不变性求偏导或利用全微分形式的不变性求偏导 0)()(21 xzydFyzxdF0)()(2221 xzdxxdzdyFyzdyydzdxF整理可得整理可得dyyzFFdxxzFFdzFxFy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 dyFyFxFyzF1222111)(dxFxFyFxzFdz2112211 0),(xzyyzxF例例1
11、0.设设 ，其中，其中f、g具有一阶连续偏数，具有一阶连续偏数，),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解所给方程两端对解所给方程两端对x求偏导，得求偏导，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,2121整理可得整理可得 121121)12()1(gxvvygxugufxvfxuxf12212121)12)(1(121gfvygxfvyggfxfJ 122112212121)12)(1()12(121gfvygxfgfvygufvyggfufJxu 12211111111)12)(1()1(11gfvygxfufxfgggufxfJxv 例例11.设设y=f(x，t)
12、，而，而t是由方程是由方程F(x，y，t)=0所确定所确定的的x、y的函数，其中的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试都具有一阶连续偏导数，试证明证明tFyFtfxFtftFxfdxdy 证法一：首先分析一下变量间的关系。证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（由式（1）可确定一元函数）可确定一元函数y=y(x)。)2(dxdyytxttfxfdxdy（1）式两端对）式两端对x求导得求导得 t是由方程是由方程F(x，y，t)所确定的所确定的x、y的函数，的函数，t=t(x，y)，而而y=f(x，t)，于是有，于是有 y=f x，t(x，y)(1)t是是F(x，y，t)=0确定的确定的x、y
13、 的函数，由隐函数的函数，由隐函数求导法知求导法知,tFxFxt )3(.tFyFyt 将（将（3）式代入（）式代入（2）式，并从中解出）式，并从中解出dxdy即得所欲证之等式。即得所欲证之等式。证法二：证法二：将所给两方程联立：将所给两方程联立：,0),(,0),(tyxFtxfy方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对。方程组中的两个方程两端分别对自变量自变量x求导，有求导，有 .0,0dxdttFdxdyyFxFdxdttfxfdxdy解上面的方程组解上面的方程组tFyFtfx
14、FtftFxfdxdy 证法三：利用全微分形式不变性证法三：利用全微分形式不变性 0dtFdyFdxFdtfdxfdytyxtx dy解出解出dxtFyFtfxFtftFxf tFyFtfxFtftFxfdxdy ,0),(),(tyxFtxfy消去消去dtdt例例1212解解.,0),(,sin,0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 显然显然得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(1
15、2sin13 xexdxdzx .)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故练习：练习：.),(),(.1dufzeyexeyxzzzyxfuzyx有连续偏导，求有连续偏导，求所确定，其中所确定，其中由方程由方程而而设设 dxduhgfzxhzyxgyxfuxuu可微，求可微，求其中其中确定，确定，是由是由设设,0),(,0),(),()(.2 ).1(),1(),(,(),)1,1(,)1,1(,1)1,1(),(.3 求求（又记又记可微，可微，设函数设函数xxfxfxbfaffyxfyx）偏导连续？）偏导连续？（）可微？）可微？（）偏导是否存在？）偏导是否存在？处
16、（处（在在讨论讨论321)0,0()0,0(),(0)0,0(),(1sin)(),(42222 yxyxyxyxyxf.),(),(.1dufzeyexeyxzzzyxfuzyx有连续偏导，求有连续偏导，求所确定，其中所确定，其中由方程由方程而而设设 zyxzeyexe 解：对方程两边微分解：对方程两边微分dzezdyeydxexzyx)1()1()1(dyezeydxezexdzzyzx)1()1()1()1(dzfdyfdxfduzyx dyezeyffdxezexffdzzyzyzxzx)1()1()1()1(2解解 .0),(,0),(),()(zxhzyxgyxfuxu由方程组由方
17、程组设函数设函数的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入.,0,0,dxduzhyg试求试求且且所确定所确定 ).1(),1(),(,(),)1,1(,)1,1(,1)1,1(),(.3 求求（又记又记可微，可微，设函数设函数xxfxfxbfaffyxfyx)1,1(,1()1ff（解：解：1)1,1(fdxxxdfxxfxfxxfxfxyx),(
18、),(,(),(,()（),(),(),(,(),(,(xxfxxfxxfxfxxfxfyxyx )1,1()1,1()1,1(,1()1,1(,1()1(yxyxffffff )1,1()1,1()1,1()1,1(yxyxffff 2babababa ）偏导连续？）偏导连续？（）可微？）可微？（）偏导是否存在？）偏导是否存在？处（处（在在讨论讨论321)0,0()0,0(),(0)0,0(),(1sin)(),(42222 yxyxyxyxyxfxfxffxx )0,0()0,0(lim)0,0(0 解：解：01sinlim220 xxxx 0)0,0(yf同理同理220)0,0()0,0(limyxyfxfzyxx 01sin)(lim2222220 yxyxyxx 处可微处可微在在)0,0(),(yxf2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 处偏导不连续处偏导不连续在在)0,0(),(yxfx
