1、 用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数的函数初等函数的导数，从而使得初等函数初等函数的导数，从而使得初等函数的求导问题系统化，简单化。的求导问题系统化，简单化。第三节第三节 导数的基本公式导数的基本公式 与运算法则
2、与运算法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu);()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()()()()()()()()3(2xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()()1(xvxuxvxu推论推论:;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf 12112(3)()()()()()()().nininf xfx fxfxf x fxfx 二、例题分析二
3、、例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解：解：23xy x4.cos x 例例2y e x(sin x cos x)，求，求y.2e x cos x.解：解：y(e x)(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(cos x sin x)xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例4 4.,secyxy求解解 xycos1xx2cos)(cosxx2cossin同理可得同理可得xx
4、xcotcsc)(csc 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxx tansec 三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数么么例例5 5.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解sin(,),2 2xy 在内单调、可导,0cos)(sin yy且且(1,1)在内有)(sin1)(arcs
5、in yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc注注 基本初等函数的导数公式和求导法则是基本初等
6、函数的导数公式和求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握.四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，有限次四则运算的结果的导数，12sin,tanln22 xxexx等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数。它们的导数。但是像但是像定理定理(),()(),(),ddd d()().ddddug xxyf uug xyf g xxyyyuf ug xxxux如果函数在点 可导而在点可导 则复
7、合函数在点可导 且其导数为或即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)例例6 6.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy ddddddyyuxuxxucos1 xxsincos xcot 注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广(),vx设dddd.ddddyyuvxuvx()yfx 复合函数的导数(),uv(),yf u例例7.设,)cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)
8、cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx练习练习.设,)1(ln2xxy.y求解解:112xxy(11212xx2112x例例8.求求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2(x112xx先化简后求导先化简后求导例例9.求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy )(e2sin x2sinex2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cos x2sinex112xx关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导注注 复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的复合函
9、数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱理论基础和精神支柱.要深刻理解要深刻理解,熟练应用熟练应用注意不要漏层。注意不要漏层。显函数：显函数：形如形如 y sin x，y ln x的函数。的函数。这种由方程确定的函数称为这种由方程确定的函数称为隐函数隐函数。方程 xy3 10 能确定一个函数31)(xxfy，把一个隐函数化成显函数，叫做把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。隐函数的显化。().yf x即形式的函数称为显函数五、隐函数的导数五、隐函数的导数0 xyxyee问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?如如,如何求如何求?y求隐函数的导
10、数的方法：求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数求导数,方程中把隐函数的导数解出方程中把隐函数的导数解出.然后从所得的新的然后从所得的新的 例例10.求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数 y 的导数的导数.解：解：方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得e y y y xy 0 从而从而yexyy 解：解：把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x求导，得求导，得所求的切线方程为所求的切线方程为 )2(43323xy，即)2(43323xy，即03843yx。将将x 2，323 y，代入上式得，代入上式得 所求切线的斜率所求切线的斜率 例
11、例 11 求椭圆求椭圆191622 yx在在)323 ,2(处的切线方程。处的切线方程。k43.从而 yxy169.0928yyx。观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运目的是利用对数的性质简化求导运算。算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:()().v xu x多个函数相乘、乘方、开方和幂指函数的情形六、对数求导法六、对数求导法 有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数但直接求导
12、有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦.例例1212.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxvln()()ln()f xv xu x()()()()ln()()()fxv x u xv xu xf xu x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 两边取对数两边取对数得得 解：解：先在两边取对数，得先在两边取对数，得 y1y
13、上式两边对上式两边对x求导，得求导，得于是 y2y(11x21x31x41x)。y121(11x21x31x41x)，例例13求求函数函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。的导数。ln y21ln|x1|ln|x2|ln|x3|ln|x4|，练习练习.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设解解等式两边加绝对值后再取对数得等式两边加绝对值后再取对数得1lnln1ln12ln43yxxxx求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx说明说明两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnx
14、axb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,(0,0,0,1)xababxayabxbxab 七、由参数方程所确定的函数的导数七、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去参数消去参数22)2(xty 42x xy21 问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?,)()(中中在在方方程程 tytx),(
15、)(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即例例1414(sin).(1 cos)xa ttdyyatdx已知，求解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ,0(),().ln(1),0 xxf xfxxx1.设求解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 x()fx,11x ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)
16、0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf思考与练习思考与练习2.设设,)()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时时,下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,八、小结注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式合理分解正确使用链式求导法）求导法）;祝您成功！
