1、集合论中三个基本概念集合论中三个基本概念:集合、关系、函数集合、关系、函数第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数 序偶和笛卡尔积的概念，在后面序偶和笛卡尔积的概念，在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。讨论关系和图论时，都有重要应用。3.4 序偶及笛卡尔积序偶及笛卡尔积定义：定义：两个元素两个元素a、b组成一个二元组，组成一个二元组，若它们有次序区别，称为二元有序组若它们有次序区别，称为二元有序组(有有序偶序偶)，记为，记为，称，称a为第一元素，为第一元素，b为第二元素；若它们无次序区别，称为二为第二元素；若它们无次序区别，称为二元无序组元无序组(无序偶无序偶)，记为，记为(a,b)。一、
2、序偶一、序偶当当a b时，有：时，有：(a,b)=(b,a)可用序偶表示两个元素之间的关系：可用序偶表示两个元素之间的关系：老王是小王的父亲老王是小王的父亲 (小李小李,小张小张)小李和小张是同学小李和小张是同学定义：定义：给定两个有序偶给定两个有序偶和和，当且仅当当且仅当a=u且且b=v时，有序偶时，有序偶和和相等相等。定义：定义：若若 n N 且且 n2，x1,x2,xn 是是 n 个元素，个元素，有序有序 n 元组元组 =,xn ,其中第一元素是一个有序其中第一元素是一个有序 n-1 元组元组.有序有序 2 元组：元组：有序有序 3 元组：元组：,x3 记记有序有序 4 元组：元组：,x
3、3,x4 记记 .注意：注意：,x3 是有序是有序 3 元组元组 x1,不是有序不是有序 3 元组元组 表示表示 ,x3 定义：定义：给定集合给定集合A和和B，A B=|x Ay B，称称 A B 为为A和和B的笛卡尔积。的笛卡尔积。笛卡尔积是有序偶的集合，笛卡尔积是有序偶的集合，有序偶的第一元素来自于有序偶的第一元素来自于A，第二元素来自于第二元素来自于B。二、笛卡尔积二、笛卡尔积若若 A B,则则 x A 且且 y B若若 A B,则则 x A 或或 y B设设|A|=m,|B|=n,则则|A B|=mn,A B 中有中有 m n 个有序偶。个有序偶。例：例：设设A=a,b，B=1,2,3
4、，则：，则：A B=,B A=,A A=,B B=,定义：定义：A1,An 是集合是集合,n 阶笛卡尔积阶笛卡尔积为为:A1 A2 An =|x1 A1xn An 当当A1=A2=An=A时，时，A1 A2 An =A n1.A =B=三、笛卡尔积的性质三、笛卡尔积的性质2.若若A B,A ,B ,则则A B B A例：例：设设A=a,b，B=1,2,3，A B=B A=,z(A B)C x,A(B C)3.若若 A ,B ,C ,则则(A B)C A(B C)4.分配律：分配律：A(BC)=(A B)(A C)A(BC)=(A B)(A C)(AB)C=(A C)(B C)(AB)C=(A
5、C)(B C)求证：求证：A(BC)=(A B)(A C)分析：分析：要证明要证明 左式左式 和和 右式右式 有相同的元素：有相同的元素：A(BC)(A B)(A C)证明：证明：A(BC)x A y BC x A(y By C)(x Ax A)(y By C)(x Ay B)(x Ay C)A B A C (A B)(A C)A(BC)=(A B)(A C)例：例：判定命题的真假判定命题的真假 A B且且C D A C B D真命题。真命题。A C x A且且y C x B且且y D B D例：例：判定命题的真假判定命题的真假 A C B D A B且且C D假命题。假命题。当当A=B=D=,C=1,A C B D成立，成立，C D不成立。不成立。例：例：证明若证明若A A=B B，则，则A=B证明：证明：先证先证A Ba A A A,B B a B A B 再证再证B A 同理可证同理可证 B A综合综合和和，有，有A=B
