1、第2课时 分析法 利用利用已知条件已知条件和某些数学和某些数学定义、定理、公理定义、定理、公理 等等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推导出所要证明最后推导出所要证明 的结论成立的结论成立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. .其特点其特点 是是:“:“由因导果”由因导果”. . 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. . 则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为: : 1 1 PQPQ 1212 QQQQ 2323 QQQQ n n QQQQ 综合法是由一个个
2、推理组成的综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时 候进展更难候进展更难. .会需要高超的技巧，深刻的解题指导思会需要高超的技巧，深刻的解题指导思 想想. . 但开头难怎么办？如何找到开头呢？但开头难怎么办？如何找到开头呢？ 1.1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种 基本方法之一的分析法基本方法之一的分析法. . （重点）（重点） 2.2.了解分析法的思考过程、特点了解分析法的思考过程、特点. . （难点）（难点） 探究点探究点 分析法的定义分析法的定义 引例：证明不等式
3、：引例：证明不等式： ).0, 0( 2 baab ba 证法证法1:1: 因为因为 所以所以 所以所以 所以所以 成立成立 证法证法1:1: 因为因为 所以所以 所以所以 所以所以 成立成立 ()b 2 0a a 20a+baba+bab 2 a+baba+bab a+ba+b abab 2 2 a+ba+b abab 2 2 () b 2 0a a 2 a+baba+bab只需证只需证 20a+baba+bab 只需证只需证 () b 2 0a a 只需证只需证 因为因为 成立成立 a+ba+b abab 2 2 所以所以 成立成立 综合法综合法 分析法分析法 证法证法2:2:要证要证 思
4、考：思考：上述两种证法有什么异同？上述两种证法有什么异同？ 都是直接证明都是直接证明 证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止要证明的结论为止. . 综合法综合法 相同相同 不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论从问题的结论出发，追溯导致结论 成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使 结论成立的条件结论成立的条件. . 分析法分析法 分析法分析法 结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法 已知条件已知条件 结论结论 综
5、合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下： 一般地，从要证明的一般地，从要证明的 出发，逐步寻出发，逐步寻 求使它成立的求使它成立的 ，直至最后，把要证明的，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做 分析法分析法. .其特点是：其特点是：执果索因，即要证结果执果索因，即要证结果Q Q，只需，只需 证条件证条件P.P. 分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法） 结论结论 充分条件充分条件 1 1 QPQ
6、P 2323 PPPP 1212 PPPP 得到一个明显得到一个明显 成立的条件成立的条件 类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析 法法. .用用P Pi i表示使所要证明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表表 示所要证明的结论示所要证明的结论, ,则分析法的思路过程，特点用则分析法的思路过程，特点用 框图表示为框图表示为: : 注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等. . 例例1.1.求求证证：3 + 7 B，只需证，只需证C
7、b 4已知已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：为不全相等的正实数，求证： bca a c ab b a bc c 3. 证明证明 左边左边 b a a b c b b c a c c a 3，因，因 a，b，c 为不全相等的正实数，所以为不全相等的正实数，所以b a a b2， ，c b b c2， ，a c c a2，且 ，且 上述三式的等号不能同时成立 所以上述三式的等号不能同时成立 所以 b a a b c b b c a c c a 3633.即即b ca a c ab b a bc c 3. 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用在数学证明中，综合法和分析法是两种最
8、常用 的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径， 则用综合法，否则用分析法则用综合法，否则用分析法. . 2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的 每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意 语言的规范性和逻辑性语言的规范性和逻辑性. . 3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明 某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合 法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论 的连结点的连结点. . 坚决的信心，能使平凡的人们，做出惊人 的事业. 马尔顿
