1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变离散型随机变 量的均值量的均值 1.了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会 根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 2.理解公式“E(aXb)aE(X)b”，以及“若 XB(n，p)，则E(X)np”能熟练地应用它们 求相应的离散型随机变量的均值或期望 3.感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化 功能与人文价值 本节是一节概念新课，通过知识回顾、两个 简单实例引入课题-数学期望概念、离散型 随机变量期望公式， 通过讨论得到随机变量Y与 X具有线性关系即YaXb，它们的期望具有同 样的线性关系，进一步利用练习进行巩固。再利 用典型例题1分析与讲解得到二点
2、分布期望公式. 通过例2分析讲解给出服从二项分布的随机变 量的期望公式。再通过典型例题引导学生分析问 题、解决问题，培养学生归纳、概括等合情推理 能力，再通过实际应用，培养学生把实际问题抽 象成数学问题的能力和学以致用的意识，培养其 严谨治学的态度 1、离散型随机变量的分布列 X P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p 2、离散型随机变量分布列的性质： (1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水
3、 平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的 某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 2 10 4332221111 X 把环数看成随机变量的概率分布列： X 1 2 3 4 P 10 4 10 3 10 2 10 1 2 10 1 4 10 2 3 10 3 2 10 4 1 X 权数 加 权 平 均 2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元 /kg的3种糖果按3：2：1的
4、比例混合销售，如何对混 合糖果定价才合理？ X 18 24 36 P 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列： 6 3 6 2 6 1 )/(23 6 1 36 3 1 24 2 1 18kgX元元 一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望数学期望 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： nnii pxpxpxpxXE 2211 )(则称 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型 随机变量取值的平均水平。 P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p X 设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？ 思考：思考：
5、 P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p X nnii pxpxpxpxXE 2211 )( P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p X P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p X Ybax 1 baxi bax 2 baxn nn pbaxpbaxpbaxYE)()()()( 2211 )()( 212211nnn pppbpxpxpxa bXaE )( 一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望 1122 () iinn E Xx px px px p P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n
6、x n p X 二、数学期望的性质 ()()E aXbaE Xb 1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1)则E()= . 2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是 2.4 (2)若=2+1，则E()= . 5.8 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 E()=7.5,则a= b= . 0.4 0.1 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不 中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则 他罚球1次的得分X的均值是多少？ 一般地，如果随机变量X服从两点分布， X 1 0 P p 1p 则 pppEX )1(01 小结：
7、 例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续 罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。 X 0 1 2 3 P 3 3 . 0 解：(1) XB（3，0.7） 21 3 3 . 07 . 0 C3 . 07 . 0 22 3 C 3 7 . 0 (2) 312223 33 ()0 0.310.7 0.320.70.33 0.7E XCC 1 . 2)( XE7 . 03 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB （n,p），则 npXE )( 小结： 基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
8、从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望 是 . 3 1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个 选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正 确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择 或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题 的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4 个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这 次英语单元测验中的成绩成绩的期望。 2. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25， 有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型 设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要 损失10000元。为保护设备，有以下种方案： 方案1：运走设备
9、，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡 住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种 方案好。 3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动 可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利 10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预 报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销 方式？ 4.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采 用的分起付款期数 的分布列为： 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元， 分2期或3期付款，其利润为250元，
10、分4期或5期付款， 其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。 （1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一 位采用1期付款” 的概率P(A)； （2）求 的分布列及期望E( ) 。 0.03 0.97 P 1000a 1000 E( ) = 10000.03a0.07a 得a10000 故最大定为10000元。 练习： 1、若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为 使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七， 则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？ 2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继 续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子 弹,求射击次数的期望。(保留三个有效
11、数字) 0.34 0.330.7 0.320.7 0.30.7 0.7 p 5 4 3 2 1 E( ) =1.43 一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望 nnii pxpxpxpxXE 2211 )( P 1 x i x 2 x 1 p 2 p i p n x n p X 二、数学期望的性质 bXaEbaXE )()( 三、如果随机变量X服从两点分布， X 1 0 P p 1p 则 pXE )( 四、如果随机变量X服从二项分布，即XB （n,p），则 npXE )( 证明： Q kknkkknk n n P(P( k)C p q(k0, 1, 2, n)k)C p q(k0, 1, 2, n) 00n11n100n11n1 nnnn kknknn0kknknn0 nnnn E E 0C p q1C p q0C p q1C p q kC p qnC p qkC p qnC p q 00n111n200n111n2 n1n1n1n1 k1k1(n1)(k1)n1n10k1k1(n1)(k1)n1n10 n1n1n1n1 np(Cp qCp qnp(Cp qCp q CpqCpq )CpqCpq ) 所以 若 B(n，p)，则E( )np 证明：若B(n，p)，则Enp 1 (). n np pqnp
