1、第二章第二章 曲线论曲线论微分几何微分几何第二章第二章 曲线论曲线论曲线的概念曲线的概念平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线第二章内容概要第二章内容概要本章我们讨论曲线的概念、平面曲线和空间曲线本章我们讨论曲线的概念、平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等等重点：伏雷内标架、曲率、挠率的计算、伏雷内重点：伏雷内标架、曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用公式的应用如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论行讨论
2、返回章首2.12.1 曲线的概念曲线的概念一元向量函数一元向量函数 r(t)所描绘的图形所描绘的图形 C 叫叫曲线曲线，r(t)叫曲线叫曲线 C 的的参数化参数化，或者叫曲线的或者叫曲线的向量函向量函数数，t 叫曲线的叫曲线的参数参数曲线曲线 C 连同它的参数化连同它的参数化 r(t)一起叫一起叫参数曲线参数曲线参数曲线用参数曲线用 C:r=r(t)表示表示如果对某个如果对某个 t0 使得使得 r(t0)0，就称，就称 r(t0)（或者简称（或者简称 t0）是曲）是曲线的线的正则点正则点如果曲线上处处是正则点，就称如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是该曲线是正则曲线正则曲线，相应的参数叫，相应
3、的参数叫正则参数正则参数今后为了简便，我们把今后为了简便，我们把“参数曲线参数曲线”简称为简称为“曲线曲线”；把把 R2 中的曲线叫平面曲线，把中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线中的曲线叫空间曲线返回章首圆弧圆弧.曲线曲线 C:r=(cost,sint),t(0,2p p)是正则是正则曲线，它是一条半径为曲线，它是一条半径为 1 的的 圆弧圆弧（如图）（如图）返回章首tOcostsint2.12.1 曲线的概念曲线的概念-曲线的例子圆弧曲线的例子圆弧(cost,sint)2.12.1 曲线的概念曲线的概念-曲线的例子抛物线曲线的例子抛物线抛物线抛物线.曲线曲线 C:r=(x,x2
4、),x(,+)也也是一条正则曲线，它是是一条正则曲线，它是抛物线抛物线返回章首圆柱螺线圆柱螺线.曲线曲线 C:r=(a cost,a sint,bt),t (,+)也是一条正则曲线，它是缠绕在半径也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为为 a 的圆柱面的圆柱面 x2+y2=a2 上的一条上的一条圆柱螺旋圆柱螺旋线线返回章首2.12.1 曲线的概念曲线的概念-曲线的例子圆柱螺线曲线的例子圆柱螺线2.12.1 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面返回章首POCr(t0)r设有曲线设有曲线 C:r=(x(t),y(t),z(t)一点一点 P，对应的参数设为对应的参数设为
5、t0以以 r(t0)作为方向向量的直线叫做曲线作为方向向量的直线叫做曲线 C 在在 P曲面在曲面在 P 点的点的法平面法平面在曲线上固定在曲线上固定把过把过 P 点，且点，且过过 P 点且垂直于切向量的平面叫做点且垂直于切向量的平面叫做点的点的切线切线；切线切线法平面法平面2.12.1 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面方程曲线的切线和法平面方程000000()()()()()()0.x tXx ty tYy tz tZz t该曲线在该点的该曲线在该点的法平面方程法平面方程为为000000()()().()()()Xx tYy tZz tx ty tz t曲线曲线 C:r(t
6、)=(x(t),y(t),z(t)在点在点 r(t0)=(x(t0),y(t0),z(t0)处的处的切线方程切线方程为为返回章首2.12.1 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-切线和法平面举例切线和法平面举例sincos()()()cos0.sinatXatatYatb Zbt法平面方程为法平面方程为cossinsincos.XatYatZbtatatb解解：圆柱螺线为圆柱螺线为 C:r=(acost,asint,bt),切向量是切向量是 r=(asint,acost,b).所以切线方所以切线方程为程为例例.求圆柱螺线的切线与法平面方程求圆柱螺线的切线与法平面方程返回章首2.12.1 曲线与曲
7、面的概念曲线与曲面的概念-曲线的弧长曲线的弧长例例.求星形线（如图）求星形线（如图）C:r(t)=(acos3t,asin3t),0 t 2p p 的弧长的弧长设有一段正则曲线设有一段正则曲线 r(t)=(x(t),y(t),z(t)，a t b则该曲线的则该曲线的弧长弧长为为|()|d.baLttr返回章首2.12.1 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的弧长曲线的弧长解解：由于星形线关于原点对称，所以只需由于星形线关于原点对称，所以只需计算曲线在第一象限部分的弧长当计算曲线在第一象限部分的弧长当 0 t p p/2 时有时有|r(t)|=3asintcost 所以第一象所以第一象限部分
8、的弧长为限部分的弧长为因此，星形线的弧长为因此，星形线的弧长为 6a/20/20sin cos|()|d33d.2Lttaatt tppr返回章首练习题练习题1求旋轮线求旋轮线 x=a(t sint),y=a(1 cost)在在0 t 2p p 一段的弧长一段的弧长2求圆柱螺线求圆柱螺线 x=3acost,y=3asint,z=4at 从点从点(3a,0,0)到任一点的弧长到任一点的弧长3将圆柱螺线将圆柱螺线 r(t)=(acost,asint,bt)化成自化成自然参数形式然参数形式4求封闭曲线求封闭曲线 r(t)=(cos3t,sin3t,cos2t)的全的全长长返回章首2.2 2.2 平面
9、曲线平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算重点：曲率与相对曲率的计算返回章首2.22.2 平面曲线平面曲线-伏雷内标架伏雷内标架设平面曲线设平面曲线 C:r=r(s)以弧长为参数，以弧长为参数，则其切向量则其切向量 a a (s)=r (s)是一个单位是一个单位向量，向量，即即 a a (s)a a (s)=1两边求导数得两边求导数得 a a (s)a a (s)=0，所所以以 a a (s)垂直于垂直于 a a (s)，这说明，这说明 a a (s)是曲线的法向量是曲线的法向量令令 b b =a a /|
10、a a|，则对于每一个，则对于每一个 s，r(s);a a (s),b b(s)构成平面曲线构成平面曲线 C 上上的一个幺正标架，我们称之为曲线的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的上的伏雷内标架伏雷内标架返回章首由导数的定义我们可知由导数的定义我们可知 b b 总是指向曲线弯总是指向曲线弯曲的那一侧曲的那一侧Ca a(s)a a(s+Ds)a a(s+Ds)()()()sssssDD2.22.2 平面曲线平面曲线-b b 的指向的指向返回章首2.22.2 平面曲线平面曲线-伏雷内公式伏雷内公式由由 b b 的定义有的定义有 a a (s)=|a a(s)|b b (s)令令 k k(s)=
11、|a a (s)|，则有则有a a (s)=k k(s)b b (s).我们把我们把 k k (s)叫曲线叫曲线 C 在在 r(s)处的处的曲率曲率n 定理定理.（伏雷内公式伏雷内公式）我们有我们有 a a =k kb b ,b b =k ka a .以上伏雷内公式叫平面曲线的以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式基本公式返回章首2.22.2 平面曲线平面曲线-曲率计算公式曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零为零3/22|().1()yxyk如果曲线方程为如果曲线方程为 y=y(x)，取取 x 为参数为参数，则则曲线的参数表示为曲线的参数表示为
12、r=(x,y(x)，其曲率为，其曲率为3/222|()()()()|().()()x t y tx t y ttx ty tk定理定理.设曲线设曲线 C:r(t)=(x(t),y(t)，则其曲，则其曲率为率为返回章首2.22.2 平面曲线平面曲线-例子例子例例.求椭圆求椭圆 (x2/a2)+(y2/b2)=1 的曲率的曲率3/22222si()nco.sabtatbtk解解：椭圆可参数化为椭圆可参数化为 r(t)=(a cost,b sint)，参数方程为参数方程为 x=acost,y=bsint，所以有，所以有x=asint,x=acost,y=bcost,y=bsint.代入曲率公式得代入
13、曲率公式得返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 y=sinx 的曲率的曲率2求曲线求曲线 x=acos3t,y=asin3t 的曲率的曲率返回章首2.22.2平面曲线平面曲线-在一点附近的结构在一点附近的结构设曲线设曲线 C:r=r(s)则则当当 k k(s)不为不为 0 时，曲线近似于抛物线时，曲线近似于抛物线当当 k k(s)=0，但但 k k (s)不为不为 0 时，曲线近似时，曲线近似于一条近似立方抛物线（于一条近似立方抛物线（看证明看证明）返回章首2.3 2.3 E E3 3的曲线的曲线内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面
14、、从切平内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等面、一般螺旋线等重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-密切平面密切平面过曲线过曲线 C 上一点上一点 P 处的切线和曲线上位于处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点点附近的另一点 Q 作一平面作一平面 s s(Q)当当 Q 沿曲线趋向于沿曲线趋向于 P 时时 s s(Q)的极限位置的极限位置 s s 称称为曲线为曲线 C 在在 P 点的点的密切平面密切平面过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线过曲线上一点
15、可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在的平面），而密切平面则是在 P 点附近最点附近最贴近于曲线的平面贴近于曲线的平面平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面线有无穷多个密切平面返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-密切平面方程密切平面方程000000000()()()()()()0.()()()Xx tYy tZz tx ty tz tx ty tz t用坐标把密切平面方程表示为：用坐标把密切平面方程表示为：(R r(t0),r(t0),r(t0
16、)=0.设曲线设曲线 C:r=(x(t),y(t),z(t)是光滑的，是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是是曲线上一点，其参数是 t0设设 R=(X,Y,Z)是是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：方程为：返回章首例例.求螺旋线求螺旋线 r=(cost,sint,t)在点在点 P(1,0,0)处的密切平面方程处的密切平面方程解解：直接计算得直接计算得r(t)=(sint,cost,1),r(t)=(cost,sint,0).在给定点在给定点 P 处的参数处的参数 t=0，所以有所以有 r(0)=(1,0,0)，r(0)=(0,1,1)，r(0)=(
17、1,0,0)代入密切平面方程并整理得代入密切平面方程并整理得 Y+Z=02.32.3 空间曲线空间曲线-例子返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-基本向量与伏雷内标架基本向量与伏雷内标架设有空间曲线设有空间曲线 C:r=r(s)，s 是弧长参数是弧长参数单位单位切向量切向量 a a=r 单位单位主法向量主法向量 b b =a a /|a a|（设（设 r 不为零）不为零）单位单位副法向量副法向量 g g =a a b b 曲线曲线 C 的的伏雷内标架伏雷内标架 r;a a ,b b ,g g Ca ab bg grO返回章首伏雷内伏雷内标架标架法法密切密切从切从切CPb ba ag g主法向
18、量和副法向量决定的平面是主法向量和副法向量决定的平面是法平面法平面切向量和副法向量决定的平面叫切向量和副法向量决定的平面叫从切平面从切平面切向量和主法向量决定的平面就是切向量和主法向量决定的平面就是密切平面密切平面2.32.3 空间曲线空间曲线-三棱锥三棱锥返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-基本向量的计算公式基本向量的计算公式设设 C:r=r(t)由一般参数给出，则三个基本由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为向量的计算公式为 a a =r/|r|,g g =(r r)/|r r|,b b =g g a a .返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-例子例子例例.求螺旋线求螺旋线 r
19、=(cost,sint,t)在点在点 P(1,0,0)处的三个基本向量处的三个基本向量解解：直接计算得直接计算得r(t)=(sint,cost,1),r(t)=(cost,sint,0).在给定点在给定点 P 处的参数处的参数 t=0，所以有所以有 r(0)=(0,1,1)，r(0)=(1,0,0)代入上面的基本向量计算公式得代入上面的基本向量计算公式得 11(0,1,1),(1,0,0),(0,1,1).22 返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 x=acost,y=bsint,z=et 在在 t=0 点点的切线、主法线、副法线、密切平面、从的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方
20、程切平面与法平面方程2证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关关返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-曲率与挠率曲率与挠率设设 C:r=r(s)是空间曲线，称是空间曲线，称 k k (s)=|a a (s)|为曲线为曲线 C 在点在点 r(s)处的处的曲率曲率，而而 a a 叫叫曲率曲率向量向量空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念画扭转的程度，我们引进挠率的概念我们把我们把 t t 叫曲线的叫曲线的挠率挠率，这里这里|,0;|,0.t 返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-伏雷内公式伏雷内公式
21、定理.（伏雷内公式）a a =kb b,b b =ka a +tg g,g g =tb b.返回章首2.32.3空间曲线空间曲线-曲率与挠率计算公式曲率与挠率计算公式2(,).|t r r rrr挠率：挠率：3|.|krrr曲率：曲率：用一般参数表示的曲率与挠率计算公式用一般参数表示的曲率与挠率计算公式返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-曲率与挠率为零的曲线曲率与挠率为零的曲线曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线线曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线面曲线返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-曲率和挠率计算举
22、例曲率和挠率计算举例 解解：直接计算得：直接计算得：r=(asinq q,acosq q,b),r=(acosq q,asinq q,0),r=(asinq q,acosq q,0),|r|=(a2+b2),r r=(absinq q,abcosq q,a2),|r r|=(a2b2+a4)1/2,(r,r,r)=a2b,所以有所以有 k k=a/(a2+b2),t t=b/(a2+b2).例例：求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 r=(acosq q,asinq q,bq q)的的曲率和挠率曲率和挠率返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 r(t)=(acosht,asinht,at)的曲率和挠的曲率和挠
23、率，这里率，这里 a 02求曲线求曲线 r(t)=(a(3t t3),3at2,a(3t+t3)的曲的曲率和挠率，这里率和挠率，这里 a 03求求 a、b，使曲线，使曲线 r(t)=(acosht,asinht,bt)上每一点的曲率和挠率相等上每一点的曲率和挠率相等返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-一般螺旋线一般螺旋线定理定理.设有曲线设有曲线 C:r=r(s)，（假定，（假定 ktkt 0）则下列条件等价：）则下列条件等价：C 是一般螺线；是一般螺线；C 的主法向量与固定方向垂直；的主法向量与固定方向垂直；C 的副法向量与固定方向成定角；的副法向量与固定方向成定角；C 的曲率与挠率之比
24、是常数的曲率与挠率之比是常数如果曲线的切向量与固定方向成定角，如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为则称该曲线为一般螺线一般螺线看证明看证明返回章首证证：由伏雷内公式得由伏雷内公式得 r =a a =k kb b，r =(k kb b )=k k 2 a a +k k b b +k k t t g g ,r =3k k k k a a +(k k k k 3 k k t t 2)b b +(k k t t )+t t k k )g g .所以，所以，(r ,r ,r )=k k 5 (t t /k k ),由此即得结论由此即得结论例例.曲线曲线 r=r(s)是一般螺线的充分必要条是一般
25、螺线的充分必要条件是件是(r,r,r )=02.32.3空间曲线空间曲线-例子返回章首2.32.3 空间曲线空间曲线-曲线在一点附近的结构曲线在一点附近的结构空间曲线在一点附近的形状（设空间曲线在一点附近的形状（设 ktkt 0）：）：在法平面上的投影为半立方抛物线；在法平面上的投影为半立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；从不穿过从切平面；从不穿过从切平面；b b 总是指向凹入的方向总是指向凹入的方向a ab bg g返回章首a ab bg gg ga ab ba ag gb b法法平平面面从从切切
26、平平面面密切平面密切平面2.32.3 空间曲线空间曲线-曲线在一点附近的结构曲线在一点附近的结构练习题练习题1求曲线求曲线 x=et cost,y=et sint,z=et 在在 t=0 处的切线方程处的切线方程2求曲线求曲线 x=t,y=t2,z=t3 经过已知点经过已知点 M0(2,1/3,6)的密切平面方程的密切平面方程.返回章首2.42.4 空间曲线空间曲线-基本定理基本定理性质性质4.14.1.曲线的弧长、曲率和挠率在刚体曲线的弧长、曲率和挠率在刚体运动下不变运动下不变返回章首2.42.4 空间曲线空间曲线-基本定理（唯一性）基本定理（唯一性）定理定理.（唯一性唯一性）设设 C:r=
27、r(s)与与 C0:r0=r0(s)是两条正则的空间曲线（是两条正则的空间曲线（s 属于区间属于区间 I 是曲线是曲线 C 的弧长参数）如果对区间的弧长参数）如果对区间 I 中的每个中的每个 s，有，有 k k (s)=k k0(s)，t t (s)=t t0(s)，那么，存在一个等距变换那么，存在一个等距变换 T:R3R3，使，使 r0=T r，并且，并且 T 所对应的正交矩阵所对应的正交矩阵 T 的的行列式为行列式为 +1，也就是说这样的两条曲线可也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合以经过一个运动使它们重合返回章首2.42.4 空间曲线空间曲线-基本定理（存在性）基本定理（存在
28、性）曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的曲线的基本定理基本定理定理定理.（存在性存在性）设设 k k (s),t t (s)是一组定义是一组定义在在 0R 的一个邻域上的可微函数，的一个邻域上的可微函数，并且并且 k k (s)0，则存在一个包含，则存在一个包含 0 的邻域的邻域 I 和一和一条以弧长为参数的曲线条以弧长为参数的曲线 C:r=r(s)，sI，使得其曲率函数就是使得其曲率函数就是 k k (s)，挠率函数就是，挠率函数就是 t t (s)看证明看证明返回章首第二章补充练习题第二章补充练习题1求曲线求曲线 r=aj j 的曲率的曲率 2求曲线求曲线 r
29、=a(1+cosj j)的曲率的曲率 3求平面曲线求平面曲线 r(t)=(acost,asint)在任意点的在任意点的 曲率曲率 4求使曲线求使曲线 y=ex 曲率取得极值的点曲率取得极值的点 5求曲线的曲率，曲线方程为求曲线的曲率，曲线方程为 F(x,y)=0 6设曲线由常微分方程设曲线由常微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 给出，求曲线的曲率给出，求曲线的曲率 返回章首7求曲线求曲线 x=a(t sint),y=a(1 cost),z=4asin(t/2)在点在点 t=p p/2 的切线与的切线与 z-轴的夹轴的夹角角 8设有曲线设有曲线 C:x=sect,y=tant,z=at，求当，求当 t=p p/4 时的切线方程时的切线方程 9设有曲线设有曲线 C:x=et,y=e-t,z=t2，求当，求当 t=1 时的切线方程时的切线方程 10曲线曲线 x=3t t3,y=3t2,z=3t+t3 上哪些上哪些点的切线与平面点的切线与平面 3x+y+z+2=0 平行平行?返回章首 选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！
