1、上页下页铃结束返回首页1一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式5.2 微积分基本公式上页下页铃结束返回首页2 设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔T1,T2内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明,速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1,T2上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？)()(12TSTS及dttvTT)(21,)()()(1221TSTSdttvTT.即上页下页铃结束返回首页
2、3二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则积分上限的函数xattfxd)()(证明,bahxx有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理1 若,)(baCxfab)(xfy Oxyx)(x)(fhx .,)(上的一个原函数在是baxf上页下页铃结束返回首页4 若F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba.证明 设dttfxxa)()(,则也是 f(x)的原函数.证明 因为F(x
3、)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C,使 F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即 三、牛顿莱布尼茨公式上页下页铃结束返回首页5 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式)为了方便起见,可把 F(b)F(a)记成baxF)(,于是)()()()(aFbFxFdxxfbaba.上页下页铃结束返回首页6 解 若 F(x)是 f
4、(x)的原函数,则)()()()(aFbFxFdxxfbaba.解 例1 例 3 计算121dxx.解 2ln2ln1ln|ln11212xdxx2ln2ln1ln|ln11212xdxx2ln2ln1ln|ln11212xdxx.例2 计算正弦曲线ysin x在0,p上与x轴所围成的平面图形的面积A.2)1()1(cossin00ppxxdxA2)1()1(cossin00ppxxdxA2)1()1(cossin00ppxxdxA.yoxxysinp上页下页铃结束返回首页7 例3 汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了
5、多少距离？t2(s).当汽车停止时,有 v(t)v0at105t.刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t)105t 0,汽车刹车时的初速度为 解 m/s10m/s3600100036km/h360v.于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dttdttvs)510()(2020)m(1021510202ttdttdttvs)510()(2020)m(1021510202ttdttdttvs)510()(2020)m(1021510202tt.上页下页铃结束返回首页8xxxd)12(10解,210时当 x,121时当 x原式1dx41;0)12(xx.0)12(xx0)12(xx令.21,0 xx0
6、dx2121)12(xx)12(xx如被积函数有绝对值,注:再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值 例4 求 上页下页铃结束返回首页9例5 已知函数.21,1,10,01,1)(时当时当时当xxxxxxf求积分上限的函数.d)()(1xttfx,)0,1时当xxt1d1.1xxttfx1d)()(,1,0时当 xxttfx1d)()(1dtxt d00t1.212x,2,1(时当 xxttfx1d)()(1dt010dt1txt1d)1(t.22xx解.21,10,1,01,1)(221221时当时当时当xxxxxxxx上页下页铃结束返回首页10 证明 例6 设f(x)连续,u1(x),u2
7、(x)可导,则有 ).()()()()(1122)()(21xuxufxuxufdttfdxdxuxu 设F(x)为f(x)的一个原函数,则有 )()()(12)()(21xuFxuFdttfxuxu 于是 )()(21)(xuxudttfdxd)()()()(1122xuxuFxuxuF).()()()(1122xuxufxuxuf上页下页铃结束返回首页11例7 ).(,d)(23xftexfxxt求设解)()()(3232xexexfxx2xex23xe23x 例6 设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有 ).()()()()(1122)()(21xuxufxuxufdttfdx
8、dxuxu例 7 求21cos02limxdtextx.例8 解 2cos1021cos022limlimxdtexdtextxxtxexxexx212)sin(lim2cos0exxexx212)sin(lim2cos0.上页下页铃结束返回首页12 例9 设f(x)为连续的周期函数,周期为T,试证 .)()(0TTaadxxfdxxf 证明 Taadxxfdad)(,0)()(afTaf,)(CdxxfTaa.)()(0TTaadxxfdxxf上页下页铃结束返回首页13 例10 设f(x)在0,)内连续,且f(x)0.证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在(0,)内为单调增加
9、函数.证明 因为 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf.按假设,当0tx时,f(t)0,(xt)f(t)0,所以 0)(0dttfx,0)(0dttfx 0)()(0dttftxx,从而F(x)0(x0),因此F(x)在(0,)内为单调增加函数.上页下页铃结束返回首页14例11 求极限22222lim().12nnnnnnnn解原式221limnninni1201d1xx.4p
10、101)()(1limdxxfnifnnin2111lim1()nniinn10arctan x上页下页铃结束返回首页153234)(2xxxf解设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则 10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.例12上页下页铃结束返回首页16例13 试证:212011d.41 sin3xxxp证明 2120d1 sinxxx120dxx1301,33x2120d1 sinxx
11、x2120d1xxx1201(1)d1xx10arctan xx1.4p 上页下页铃结束返回首页17 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立 性质7(定积分中值定理)baabfdxxf)()(.积分中值公式.注:积分中值定理中的 可在开区间(a,b)内取得.证明 令),(d)()(bxattfxFxa上在,)(baxF由定理1(原函数存在定理)知:可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点),(ba使得),)()()(abFaFbF即baxxfd)().()(xfxF).)(abf上页下页铃结束返回首页18作 业 习题52(P240):5.(3)6.(7)(12)9.10.12.
