1、第六节第六节 微分中值定理微分中值定理本节要点本节要点 本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理一、费马引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理理理:一、费马引理一、费马引理 首先首先,让我们来观察这样一个几何事实让我们来观察这样一个几何事实.如图所示如图所示:()0.f 我们看到在曲线弧的最高点我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处或最低点处()(),f af bC的横坐标为的横坐标为 则有则有,(),yf xxa bAB连续曲线弧连续曲线弧 是函数是函数 的图形的图形,
2、如果如果C曲线有水平切线曲线有水平切线.若记点若记点 yxbaOC yf xAB()()().f bf afba 进一步观察进一步观察,当当 时时,又看到在曲线弧又看到在曲线弧 f af bAB上上,至少有一点至少有一点 弧弧 在该点处的切线在该点处的切线 平行于弦平行于弦,CABCT 由此启发我们考虑这样一个由此启发我们考虑这样一个,fC a b()(),f bf aba,ABCTC又切线又切线 的斜率是的斜率是 以以 记记 的横坐的横坐标标,则有则有理论上的问题理论上的问题:设设,fD a b,a b是否存在是否存在 f b f aabxoBA yf xTyC使等式使等式()()()f b
3、f afba成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论为讨论方便方便,先引入费马引理先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很重该引理本身在微分学中也很重要要.则则:0()0.fx00()()0,f xxf x 00 ,f xf xf xf x或或证证:不妨设不妨设 时时,有有0 xU x引理（费马引理）引理（费马引理）设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域()f x0 x0U x0U x0 xxyO yfx0f x0 x0 xU x内有定义并在内有定义并在 处可导处可导,若对任意的若对任意的 有有 00,xx U x 0f xf x故当故当有有0
4、0()()0;f xxf xx 00()()0;f xxf xx 00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 当当 时时,0 x 当当 时时,0 x 由函数由函数 在点在点 处的可导性及极限的保号性处的可导性及极限的保号性,得得0 x()f x由此得到由此得到 0()0.fx 注注 通常称导数为零的点为函数的通常称导数为零的点为函数的驻点驻点.00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 该引理说明该引理说明:可导函数的极值点为驻点可导函数的极值点为驻点.()0.f()0.f二、罗尔定理二、罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设函数设函数 且且(),f xC a b
5、f xD a b ,f af b证证 因因 故故 必在必在 上取到最大值上取到最大值 与与,fC a b f x,a bM最小值最小值 若若 有有.m,MmfCa b 若若 那么那么 与与 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 不妨设不妨设,MmMm,f a,a b 则存在则存在 使得使得注注1 罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义,(,)fC a bD a b 因因 故故 由此存在由此存在,Mf a ,f af b,Mf b注注2 罗尔定理的简单表达式罗尔定理的简单表达式,a b,fM f使得使得 因因 存在存在,由费马引理由费马引理()0.f得得()()f af b(,)()0.a bf
6、yxo yf xbaAB例例1 对函数对函数 在区间在区间 上验证罗上验证罗 lnsin,f xx 3,44尔定理的正确性尔定理的正确性.证证 在区间在区间 上上,函数函数 为初等函为初等函 3,44 lnsinf xx数因而连续数因而连续,可导可导.又又31ln2,442ff 条件满足条件满足.因因 cos0,sin2xfxfx故定理的结论成立故定理的结论成立.故定理故定理从而对函数从而对函数 及区间及区间 罗尔定理是正确的罗尔定理是正确的.f x 3,44例例2 设实数设实数 满足方程满足方程12,na aa123110,3521nnaaaan 证明方程证明方程12coscos3cos 2
7、10naxaxanx在区间在区间 中可解中可解.0,2证证 令令 21sinsin33aaxfxx3sin5sin 21,521naaxnxn则则 且且 0,0,22f xCD 00,f123110,35221nnaanfaa 所以由罗尔定理所以由罗尔定理,在区间在区间 中存在中存在 使得使得0,2,0.f又又:12coscos3fxaxax3cos5cos 21,naxanx故方程在所给区间中可解故方程在所给区间中可解.三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理证证 为引用罗尔定理为引用罗尔定理,构造函数构造函数()()()(),f bf axf xxaba()()()().f bf afba
8、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数设函数 那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得(,)a b(),f xC a bf xD a bbaxyo yfx yx()()f bf ayxaba则则 abf a()()()0,f bf afba或或()()()().f bf afba即即()()(),f bf afba且函数且函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,由此存在由此存在 x,ab使得使得注注1 拉格朗日中值定理的几何描述拉格朗日中值定理的几何描述()()()().f bf afba公式公式称为称为微分中值公式微分中值公式.注注2 当当 时时,上式仍然成立上式仍然成立,即即bay
9、xobaAB yf x 3.若若 在区间在区间 中点点可导中点点可导,当当 f x,a b,x xxa b ()()()01,f xxf xfxxx 因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时时,有有例例3 设函数设函数4,yxx形形,在同一平面上作出过点在同一平面上作出过点 的割线的割线,并作并作 1,5,8,8.5割线的斜率为割线的斜率为:0.5.k 为求切点的为求切点的 坐标坐标,求解方程求解方程:x所以所以,割线方程割线方程:0.54.5.yx2410.5.x即即:20.54.x 相应的切线相应的切线.画出曲线在画出曲线在 中的图中的图 0
10、,100,10得得2.8284.x 由此得相应切点坐标由此得相应切点坐标4.24260.52.8284.yx2.8284,4.2426.故而切线方程为故而切线方程为:4yxx切线切线割线割线切点切点注意注意 微分中值定理给出的是微分中值定理给出的是“”的存在性的存在性,而并没有而并没有指出它究竟取哪一个值指出它究竟取哪一个值.对不同的函数对不同的函数,对不同的区间对不同的区间,“”的取值可能是完全不同的的取值可能是完全不同的.这一点这一点,在讨论问题时特在讨论问题时特别要注意别要注意.我们知道我们知道,若函数为常数若函数为常数,则其导数为零则其导数为零;作为该定理作为该定理 212112()(
11、),f xf xfxxxx在在 内是一个常数内是一个常数.()f xI定理定理 如果函数如果函数 在区间在区间 内的导数恒为零内的导数恒为零,那么那么 ()f xI的应用的应用,我们导出如下事实我们导出如下事实:若函数的导数恒为零若函数的导数恒为零,则该则该函数必为常数函数必为常数.证证 在区间在区间 内任取两点内任取两点 （不妨设（不妨设 ）,则由则由12,x x12xxI公式公式:由条件知由条件知 0f12()(),f xf x意性意性,得得 为常数为常数.()f x12,x x由由 的任的任()(0)(),f xff xfx因因 1,1fxxln(1)0,1xxx因此因此 0,11xxx
12、xxln(1).1xxxx例例4 证明证明:当当 时时,有有0 x 证证 取取 ,则在区间则在区间 中中,满满()ln(1)f xx()f x0,x足定理的条件足定理的条件,因而有因而有因而上式为因而上式为代入上式代入上式,便得便得ln(1),11xxxxx即有即有 ln(1).1xxxxsincos.xxxsinsin0sincoscos.0 xxxxxxx例例5 证明证明:当当 时时,0 x 证证 因因 ,故在区间故在区间 ()上对上对sinsin00 xxxx0 x 0,x函数函数 使用拉格朗日中值定理使用拉格朗日中值定理 使得使得sin x0,x ()()0,F xfxkkk例例6 设
13、函数设函数 的导函数在的导函数在 内恒为常数内恒为常数,则则 ()f x,()f x证证 设在区间设在区间 内内 ,令令 ()fxk,F xf xkx则则由此得到：由此得到：，令其为，令其为 .即有即有 F xCb.f xkxb 为线性函数为线性函数.四、柯西中值定理四、柯西中值定理()()().()()()f bf afg bg ag证证 由于由于()0,g xxa b 定理定理 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,f xg x,a b在开区间在开区间 内可导内可导,并且在开区间并且在开区间 内内()0,g x,a b,a b那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得,a b左
14、边的分式有意义左边的分式有意义.为使用拉格朗日中值定理为使用拉格朗日中值定理,构造辅构造辅助函数助函数:因而上式因而上式 ,g ag b()()()()0,()()f bf afgg bg a由此得到公式由此得到公式.则则,易证函数易证函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,从而从而至少存在一至少存在一点点 使得使得 即即 0,a b()()()()()(),()()f bf axf xg xg ag bg a注注1 柯西中值定理可简单地表示为柯西中值定理可简单地表示为,()0f gC a bD a bgx注注2 容易看出容易看出,拉格朗日中值定理是柯西中值定理当拉格朗日中值定理是柯西中值
15、定理当 g xx()()(),.()()()f bf afa bg bg ag 的特殊情况的特殊情况.例例7 对函数对函数 sin,cos,f xx g xxx 上验证柯西中值定理的正确性上验证柯西中值定理的正确性.0,2证证 函数函数 在区间在区间 上连续上连续,可导可导,且且 ,f xg x0,2即满足定理的条即满足定理的条 1sin00,/2,gxxx 件件,现求现求 使得使得0,/2,/20./20fffggg在区间在区间因因 /20102,/20/212ffgg coscot,1sin42fxxxgxx又由于又由于 令令20,1,22tan,422得得22arctan,0,.222所
16、以所以,2cot,422从而从而 /20/20fffggg成立成立,故对故对 上的函数上的函数 柯西中值定理柯西中值定理0,2 ,f xg x是正确的是正确的.例例8 在在 上分别就拉格朗日中上分别就拉格朗日中 23,f xxg xx0,1值定理值定理,柯西中值定理柯西中值定理,计算相应的计算相应的.解解 先考虑先考虑 就拉格朗日中值定理计算相应的就拉格朗日中值定理计算相应的 由由 f x.1010,fff得得1102.2再考虑再考虑 求相应的求相应的 3,g xx.1010,ggg同样得到同样得到1.3最后对函数最后对函数 就柯西中值定理来求相应的就柯西中值定理来求相应的 ,f xg x.1
17、0,10fffggg即即:2102,103得得由关系式由关系式2.3 ,f bf afa bg bg ag 本例说明若函数满足中值定理的条件本例说明若函数满足中值定理的条件,则适合中值定则适合中值定理结论中的理结论中的 是存在的是存在的,但对不同的函数或同一函数在但对不同的函数或同一函数在不同的区间不同的区间,所得到的所得到的 可能是不同的可能是不同的.所以对柯西中所以对柯西中,值定理中的中值等式值定理中的中值等式 使得使得不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.例例9 设函数设函数 在区间在区间 内有二阶导数内有二阶导数.且且 f x,a b123,
18、f xf xf x其中其中,123,axxxb点点 使得使得,0.f证证 由条件所设知函数由条件所设知函数 在区间在区间 满满 f x1223,x xxx120.ff13,x x证明证明:在在 至少存在一至少存在一1223,x xxx足罗尔定理的条件足罗尔定理的条件,故在区间故在区间 分别存在分别存在12,使得使得 又又 二阶可导二阶可导,故故 连续，在区间连续，在区间 上再上再 f x fx12,0.f1212,x x 一次使用罗尔定理一次使用罗尔定理,知存在知存在 使得使得例例10 设设 都是可导函数都是可导函数,且且 ,fxg x ,fxgxxa .f xf ag xg a证证 由条件得由条件得 故故 由由 0,gxfx 0.gx .f xf afaxg xg ag再由条件再由条件 1,0,fxgxgx时有时有,证明当证明当柯西中值定理有柯西中值定理有得得 1.f xf ag xg a再由拉格朗日中值定理再由拉格朗日中值定理,有有 11 .g xg axa gax由于由于 故故 0,gx 0,g xg a从而有从而有 .f xf ag xg a
