1、三排序不等式【自主预习自主预习】1.1.顺序和、乱序和、反序和的概念顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组设有两个有序实数组:a:a1 1aa2 2aan n;b;b1 1bb2 2bbn n,c c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任意一个排列的任意一个排列.(1)(1)顺序和顺序和:_.:_.(2)(2)乱序和乱序和:_.:_.(3)(3)反序和反序和:_.:_.a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn na a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn na a1 1b bn n
2、+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 12.2.排序不等式排序不等式(排序原理排序原理)设设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2bbn n为两组为两组实数实数,c,c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任一排列的任一排列,则则_aa1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn n_,_,当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时时,反序和等于顺序和反序和等于顺序和.a a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an
3、nb b1 1a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n【即时小测即时小测】1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+,则则a a3 3+b+b3 3+c+c3 3与与a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a的大小关系的大小关系是是()A.aA.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aB.aB.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aC.aC.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a aD.aD.a3 3+b
4、+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a【解析解析】选选B.B.因为因为a,b,cRa,b,cR+,不妨设不妨设abc,abc,则则a a2 2bb2 2cc2 2,由排序不等式得由排序不等式得a a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a.a.2.2.若若abc,xyz,abc,xyz,则下列各式中值最大的一个是则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzA.ax+cy+bzB.bx+ay+czB.bx+ay+czC.bx+cy+azC.bx+cy+azD.ax+by+czD.ax+by+cz【解析解析】选选
5、D.D.因为因为abc,xyz,abc,xyz,由排序不等式由排序不等式:反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和,得得:顺序和顺序和ax+by+czax+by+cz最大最大.3.3.已知已知a,b,c0,a,b,c0,且且a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=3,=3,则则的最大值是的最大值是_._.【解析解析】因为因为a,b,c0,a,b,c0,不妨设不妨设abc,abc,则则a a2 2bb2 2cc2 2,则则 a bb cc aabc,a bb cc aa ab bc c，当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立,又又a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=3,=3
6、,所以所以a=b=c=1,a=b=c=1,于是于是 的最大值为的最大值为3.3.答案答案:3 3a bb cc a【知识探究知识探究】探究点探究点排序不等式排序不等式1.1.使用排序不等式的关键是什么使用排序不等式的关键是什么?提示提示:使用排序不等式使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列关键是出现有大小顺序的两列数数(或者代数式或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系来探求对应项的乘积的和的大小关系.2.2.已知两组数已知两组数1,2,31,2,3和和4,5,6,4,5,6,试检验它们的顺序和是试检验它们的顺序和是否最大否最大?反序和是否最小反序和是否最小?提示提示:反序和反序和S
7、S1 1=1=16+26+25+35+34=28,4=28,乱序和乱序和S=1S=14+24+26+36+35=31,5=31,S=1S=15+25+24+34+36=31,6=31,S=1S=15+25+26+36+34=29,4=29,S=1S=16+26+24+34+35=29,5=29,顺序和顺序和S S2 2=1=14+24+25+35+36=32.6=32.由以上计算知由以上计算知S S1 1SSSS2 2,所以顺序和最大所以顺序和最大,反序和最小反序和最小.【归纳总结归纳总结】1.1.对排序不等式的理解对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的排序原理是对不
8、同的两个数组来研究不同的乘积和的问题问题,能构造的和按数组中的某种能构造的和按数组中的某种“搭配搭配”的顺序被分的顺序被分为三种形式为三种形式:顺序和、反序和、乱序和顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的的搭配形式只需注意是怎样的“次序次序”,两种较为简单两种较为简单的是的是“顺与反顺与反”,而乱序和也就是不按而乱序和也就是不按“常理常理”的顺序的顺序了了.2.2.排序不等式的本质排序不等式的本质两实数序列同方向单调两实数序列同方向单调(同时增或同时减同时增或同时减)时所得两两时所得两两乘积之和最大乘积之和最大,反方向单调反方向单调(一增一减一增一减)时所得
9、两两乘积时所得两两乘积之和最小之和最小.3.3.排序不等式取等号的条件排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即即a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=b=bn n.4.4.排序原理的思想排序原理的思想在解答数学问题时在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序将它们按一定顺序排列起来排列
10、起来,继而利用不等关系来解题继而利用不等关系来解题.因此因此,对于排序原对于排序原理理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.类型一类型一利用排序不等式求最值利用排序不等式求最值【典例典例】设设a,b,ca,b,c为任意正数为任意正数,求求 的最小值的最小值.abcbcacab【解题探究解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值本例中要利用排序原理求解最小值,关键关键是什么是什么?提示提示:关键是找出两组有序数组关键是找出两组有序数组,然后根据反序和然后根
11、据反序和乱乱序和序和顺序和求解最小值顺序和求解最小值.【解析解析】不妨设不妨设ababc,c,则则a+ba+ba+ca+cb+c,b+c,由排序不等式得由排序不等式得,+1bc1ca1ababcbcacabbbcccaaababcbcacabcbcacabab上述两式相加得上述两式相加得:2(+)3,2(+)3,即即 +.+.当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,+,+取最小值取最小值 .abcbcacababcbcacab32abcbcacab32【方法技巧方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧利用排序原理求最值的方法技巧求最小求最小(大大)值值,往往所给式子是顺往往所给式子是顺(反反)
12、序和式序和式.然后利然后利用顺用顺(反反)序和不小序和不小(大大)于乱序和的原理适当构造出一于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小个或二个乱序和从而求出其最小(大大)值值.【变式训练变式训练】1.1.已知两组数已知两组数1,2,31,2,3和和4,5,6,4,5,6,若若c c1 1,c,c2 2,c,c3 3是是4,5,64,5,6的一个排列的一个排列,则则1c1c1 1+2c+2c2 2+3c+3c3 3的最大值是的最大值是_,_,最小值是最小值是_._.【解析解析】由反序和由反序和乱序和乱序和顺序和知顺序和知,顺序和最大顺序和最大,反序和最小反序和最小,故最大值为故最大值
13、为32;32;最小值为最小值为28.28.答案答案:323228282.2.设设0abc00,abc0,则则 .因而因而 又又a a5 5bb5 5cc5 5.由排序不等式由排序不等式,得得 =1c1b1a331b c331c a331.a b555333333abcb cc aa b555333333abcc aa bb c222333abc.cab又由不等式性质又由不等式性质,知知a a2 2bb2 2cc2 2,根据排序不等式根据排序不等式,得得 =+.=+.由不等式的传递性知由不等式的传递性知 +=.+=.31c31b31.a222333abccab222333abcabc1a1b1c
14、1a1b1c555333333abcb cc aa b888333abca b c【延伸探究延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为本例中若将要证明的不等式改为 如何证明呢如何证明呢?222222b cc aa babc,abc【证明证明】不妨设不妨设abc,abc,则则 ,bccaab.,bccaab.由排序原理由排序原理,得得 即即 a+b+c.a+b+c.因为因为a,b,ca,b,c为正数为正数,所以所以abc0,a+b+c0,abc0,a+b+c0,所以所以 abc.abc.111abcbcacabbcacab,abccab222222b cc aa babc222222b cc aa
15、babc【方法技巧方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略利用排序不等式证明不等式的策略(1)(1)利用排序不等式证明不等式时利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给若已知条件中已给出两组量的大小关系出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和及反序和.利用排序不等式证明即可利用排序不等式证明即可.(2)(2)在排序不等式的条件中在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关需要限定各数值的大小关系系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么那么在解答问题时在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的我们要
16、根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来进而用不等关系来解题解题.【变式训练变式训练】设设x,y,zRx,y,zR+,且且x+y+z=1,x+y+z=1,则则P=P=与与1 1的大小关系为的大小关系为()A.P=1A.P=1B.P1B.P0,0,使得使得b b1 1=,b=,b2 2=,=,b,bn-1n-1=,b=,bn n=.=.由排序不等式有由排序不等式有:b:b1 1+b+b2 2+b+bn n=x x1 1 +x +x2 2 +x+xn n =n,=n,aGin12xx23xxn 1nxxn1xx12n231xxx.xxx11x21xn1x当且仅当当且仅当x x1 1=x=x2 2=x=xn n时取等号时取等号,所以所以 n,n,即即 G Gn n.即即A An nGGn n.12nnnnaaa.GGG12naa.an
