1、上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页1上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页2nPnT1 1 引言引言 1.1.逼近空间：逼近空间：主要为：代数多项式空间主要为：代数多项式空间 也将涉及：三角多项式空间也将涉及：三角多项式空间2.2.逼近方式：逼近方式：最佳逼近最佳逼近上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页3 关于最佳逼近意义的刻划涉及关于最佳逼近意义的刻划涉及 1.1.它是一种整体意义下逼近它是一种整体意义下逼近2.2.它是误差它是误差 在某种度量下的在某种度量下的最小值最小值)()(xpxfn上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页4最常用的逼近方法
2、：最常用的逼近方法：Taylor逼近方法逼近方法)()(!)()(!1)()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn )()(xRxpnn xxnnnnnxxnfdttftxnxR010)1()1()()!1()()()(!1)(其其中中，（1 1）局部逼近（在某点附近）局部逼近（在某点附近)即只考虑某点即只考虑某点 的的 邻域邻域 中的逼近中的逼近 缺陷：在离点缺陷：在离点 较远的地方逼近效果很差较远的地方逼近效果很差0 x0 x),(00 xxI上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页5xe的一次的一次TaylorTaylor逼近逼近 的一次的一次TaylorTa
3、ylor逼近误差逼近误差最大误差：最大误差：0.7左右左右xe上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页6（2 2）整体逼近（在整个区间）整体逼近（在整个区间 上）上）,ba代数多项式插值逼近是一种整体逼近代数多项式插值逼近是一种整体逼近,但该整体逼近有明显的缺点：如但该整体逼近有明显的缺点：如 Runge Runge 现象，数值不稳定等现象，数值不稳定等.因此需要引入其它方式的逼近。因此需要引入其它方式的逼近。(a)(a)理论依据理论依据:Weierstrass:Weierstrass定理定理上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页7定理定理（Weierstrass）设函数）设
4、函数 在区间在区间 上连续，上连续，)(xf,ba.)()(max xpxfbxa)(xp0 则：则：，总存在一代数多项式，总存在一代数多项式 使得：使得：定理说明：可以找到一个多项式去逼近一个定理说明：可以找到一个多项式去逼近一个函数到任意程度（整体逼近）函数到任意程度（整体逼近）.表明表明,肯定存在比插值逼近更好的逼近。肯定存在比插值逼近更好的逼近。上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页8xe例例：考察：考察 在在-1-1，11上的不同方式（意义）下的逼近上的不同方式（意义）下的逼近效果。效果。解：解：方式方式1 1（插值）（插值）于于-1-1，11上通过上通过2 2个端点的线性
5、插值多项式个端点的线性插值多项式xe)(1xL及其误差函数的图象为：及其误差函数的图象为：的一的一次插值次插值逼近逼近 xe 的一的一次插值次插值逼近误逼近误差差 xe(b)(b)通过例子来说明通过例子来说明上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页9上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页10方式方式2 2（最佳）（最佳）|)(|max ),()(111*1xxpexxx xaaxp10*1)(令令 ，记，记考察：如何降低考察：如何降低？|)(|max 111xx 见下图（见下图（a a）,设设 与与 在在-1-1，11上有上有2 2个点个点)(*1xpxe相交，通过适当地移动
6、直线段相交，通过适当地移动直线段 ，1,1),(*1 xxpy总能改善逼近总能改善逼近.上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页11发现重要现象：发现重要现象：当当 使使 在在-1-1，11均匀分布时，误差的均匀分布时，误差的)(*1xp)(x 1 最大值最大值 达到最小，即：达到最小，即：误差误差 正好在以下三个点上正负相间地达到：正好在以下三个点上正负相间地达到：1)3(*)1(,)(,)1(1131 x上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页12 的的2 2个交点的个交点的 坐标坐标.而而 是是 的极值点，的极值点，1,1 x3x)(x 其中，其中，和和 是是 与与 在在
7、1231 ,xxxx 2x)(*1xpxe)4(*0)(3 x 即有即有结合（结合（*3 3）和（）和（*4 4）式）式.)(,)(1101101 aaeaae,0,)(1131033 aexaaexx 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页13计算得：计算得：.1614.0)ln(,1752.121311 axeea.2643.1)1(,2788.0)(2113103111 axaxae 所求的最佳逼近多项式所求的最佳逼近多项式:xxp1752.12643.1)(*1 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页14（下面将知道（下面将知道 即为即为 一次最佳一致逼近多项一次最
8、佳一致逼近多项xe)(*1xp式）比较图形可见，式）比较图形可见，的整体逼近效果最好的整体逼近效果最好)(*1xp上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页15本章讨论本章讨论两种逼近：两种逼近：1)1)最佳一致逼近：最佳一致逼近：求求 ，使得：，使得：nnp *|)()(|max*xpxfnbxa .|)()(|maxinfxpxfnbxapnn 2)2)最佳平方逼近：最佳平方逼近：求求 ，使得：，使得：nnp *dxxpxfdxxpxfbaPpbann 22*)()(min)()(上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页162 2 线性赋范空间的最佳逼近线性赋范空间的最佳逼近
9、 及存在性定理及存在性定理 函数的范数函数的范数目的:给出函数“大小”的度量,用来刻画函数逼近的程度.数的绝对值数的绝对值性质：（1）当且仅当 时，；（2）对任何 ，；（3），.Rx.0,0,xxxxx;,0Rxx 0 x0 xRxRc ,xccx yxyx Ryx ,上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页17线性赋范空间线性赋范空间设设 为实数域，抽象元素集合为实数域，抽象元素集合 是一个实线性空间是一个实线性空间.若对若对 中的中的每个元素每个元素 都对应着一个实数都对应着一个实数 ，记作，记作 ，并且它满足，并且它满足下列条件：下列条件：Rf|f（1）的充要条件是的充要条件是
10、；（2）；（3）.0 ;,0 fEff0 fEfRcfccf ,|Effffff 212121,上述上述对应关对应关系可系可视为视为 的映射，的映射，称为线称为线性空性空间间 的范的范数数，并简记为并简记为.定定义义了范了范数数的的线线性空性空间称为线间称为线性性赋赋范空范空间间.RE EREE上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页18|)(|max|xffbxa 引入记号引入记号:称为一致范数或称为一致范数或ChebyshevChebyshev范数。范数。,baC定义范数以后，定义范数以后，就构成一个线性赋范空间就构成一个线性赋范空间.这时有：这时有：|inf|*pfpfnPpn最
11、佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式.nnp *两种常见度量：两种常见度量：上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页19引入记号：引入记号：2/122)|)(|(|dxxffba 这时有：这时有：2/122*)|)()(|(min|dxxpxfpfbaPpnn 2|minpfnPp 最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式.nnp *上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页20上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页21抽象线性空间的最佳逼近抽象线性空间的最佳逼近 定义定义：设设 E 为一为一线性赋范空间线性赋范空间，为其为其 m 维维子子 EHm 空间空间，为任意给定元素，
12、称量为任意给定元素，称量 Ef )8.3(,inf);(fHfEmHm为子空间为子空间 对元素对元素 的的，而使上式，而使上式mHf成立的元素成立的元素 ，即满足，即满足 ，mH*);(fHfEm称为称为 的的.f上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页22给出了最佳逼近问题的提法，自然关心给出了最佳逼近问题的提法，自然关心如下问题如下问题：（1 1）最佳逼近元素）最佳逼近元素 是否存在；是否存在；（2 2）如果最佳逼近元素存在，是否惟一；）如果最佳逼近元素存在，是否惟一；（3 3）最佳逼近元素应具有什么特征；）最佳逼近元素应具有什么特征；（4 4）最佳逼近元素的构造及其应用）最佳逼近
13、元素的构造及其应用.*上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页23对任给的对任给的 ，总存在，总存在 的的Ef fmH*最佳逼近元素最佳逼近元素 .注：注：一般情况下一般情况下,最佳逼近元素的唯一性并不能最佳逼近元素的唯一性并不能够得到保证够得到保证,它依赖于引入的范数和子空间它依赖于引入的范数和子空间Hm的性质。的性质。上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页243 3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式 bxxxan 110|)1()(fxfii称之为交错点，称之为交错点，.ix1 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页25,baCf nPp)()(xpxf,b
14、a2n110,nxxx|)()(|min)(10iininxpxffE）设设，若，若 ，使，使在在上至少上至少个点个点处的取值正负相间，则处的取值正负相间，则上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页26)：对任意函数：对任意函数 ，,baCf nPf 是是 的的 次最佳一致逼近多项式的充要条件是次最佳一致逼近多项式的充要条件是pfn 在在 上存在至少有上存在至少有 个点组成的交错个点组成的交错pf ,ba2 n点组点组.即：即：bxxxan 110|)1()()(pfxpxfiii 为交错点，为交错点，.ix1 9上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页27 如果 ，那么，在
15、中只存在一个关于 的最佳一致逼近多项式.,baCf nP)(xf则则的交错点组恰有的交错点组恰有 个交错点，并且区间个交错点，并且区间上保号，上保号，,bapf 推论推论2(2(保证保证 的两端点一定是交错点的两端点一定是交错点)的端点属于的端点属于 的交错点组。的交错点组。)(xp)(xfn)(xf,ba1n)()1(xfn,bapf 2n设设 是是 的的在在上有上有阶导数，且阶导数，且在在次最佳一致逼近多项式，若次最佳一致逼近多项式，若,ba上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页28注：注：虽然虽然Chebyshev定理从理论上给出了最佳一致逼近定理从理论上给出了最佳一致逼近的特
16、征性质，但在一般情况下，求最佳一致逼近多的特征性质，但在一般情况下，求最佳一致逼近多项式是很困难的，通常只能近似计算。项式是很困难的，通常只能近似计算。上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页29里米兹算法里米兹算法(Remes(Remes算法算法):):求解近似最佳一致逼近多项式求解近似最佳一致逼近多项式的算法的算法,它是寻找交错点组近似值的它是寻找交错点组近似值的一种方法一种方法.算法上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页30求求 的的 n-1 n-1 次最佳一致逼近多项式次最佳一致逼近多项式(a,b(a,bnxxf)(=-1,1).=-1,1).可描述为：可描述为：求求
17、 ，使得：，使得：1*1 nnPp *1nnpx111min nnPppxnn4 4 最小偏差于零的多项式最小偏差于零的多项式ChebyshevChebyshev多项式多项式上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页31记记 表首项系数为表首项系数为1 1的的 n n 次代数多次代数多1nP项式的全体，则上述最佳逼近问题等价于问题：项式的全体，则上述最佳逼近问题等价于问题：求求 ，使得：，使得：0min01*nPpnppnn1*nnPp 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页32,1,0),arccoscos(cos)(nxnnxTn 令：令：，即：，即：.于是：于是：xarc
18、cos cos x nxTncos)(由于：由于：)1cos(cos2)2cos(cos nnn)(2)()(12xTxxTxTnnn 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页33Chebyshev多项式的如下性质：多项式的如下性质：xxTxTnxTxxTxTnnn)(,1)(,3,2),()(2)(1021 是最高次数项系数为是最高次数项系数为 的的n n次代数多项次代数多项)(xTn12 n的奇次幂的奇次幂.以下欲证以下欲证 为与零偏差最小的多项式为与零偏差最小的多项式.)(211xTnn 式，且式，且 只含只含 的偶次幂，的偶次幂，只含只含)(2xTkx)(12xTkx上一页上一
19、页下一页下一页上一页上一页下一页下一页34即证：即证：n-1 n-1 次多项式次多项式)(21)(1*1xTxxpnnnn 与与 的偏差的偏差 nx)(21()()(1*1xTxxxpxfnnnnn )(211xTnn 在在 -1-1，1 1 上有上有 n+1 n+1 个点组成交错点组个点组成交错点组.注意：注意：,cos)(nxTn 当当 时，时，nknkxk)1(0,cos ,)1()(kknxT .)1(21)()(1*1knknkxpxf 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页35：在首项系数为在首项系数为1 1的所有的所有 n n 次多项式中，次多项式中，对零的偏差最小对零
20、的偏差最小.)(2)(1*xTxpnnn .2|)(|max11|nnxnxpp )(xpn：设设 是最高次项系数为是最高次项系数为1 1的的 n n 次多项式，则次多项式，则证明证明：反证法，若有：反证法，若有 ，使得：，使得：，)(xpn|)(2|1xTpnnn 作：作：，有：，有：)()(2)(1xpxTxFnnn 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页36 nnnnnnnnnnnnxpxTxpxTxpxT)1()()(20)()(20)()(21111001于是：存在于是：存在 ，使得：，使得：nii)1(1,iiixx 10)(iF 又又 为为 n-1 n-1 次多项式，故
21、：次多项式，故：)(xF即即：,0)(xF).(21xTpnnn 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页37 112.0,0,2,01)()(nmnmnmdxxxTxTnm 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页38 在在-1-1，11上恰有上恰有 个不同的实根：个不同的实根：ChebyshevChebyshev多项式具有广泛的应用价值，下面介绍多项式具有广泛的应用价值，下面介绍它的两个重要应用它的两个重要应用.)(xTnnnknkxk)1(1,2)12(cos 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页39|)()(|max)!1(|01|)1(nxnnxxxxnf
22、pf 现取现取 使得使得 尽可尽可nxx,0|)()(|max01|nxxxxx 能的小能的小.应选取应选取Tn+1(x)的的n+1个零点个零点：)1)(1(1,)1(2)12(cos1 nknkxk 这里这里 x0,xn 为为Tn+1(x)的的n+1个个零点零点，做，做 f 的插值多项式的插值多项式Pn(x)，则插值余项的上界可达极小，则插值余项的上界可达极小 。)!1(2 nMn Chebyshev 多项式的其它应用多项式的其它应用 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页40 注：注：上界上界最小不表示最小不表示|Rn(x)|最小，故最小，故Pn(x)严格意义上只是严格意义上只是
23、y(x)的的近似近似最佳逼近多项式；最佳逼近多项式；对于一般区间对于一般区间 x a,b，可作变量替换，可作变量替换 ，则，则 t 1,1 ，这时，这时tabbax22 ).()()(220222211nabbaabbaabbannxtxttwxw ).(012nnabtttt )()(12)(12112121tTtTnabnnabnnn 即以即以 为插值节点为插值节点(k=0,n)，得得Pn(x)，余项，余项 有最小上界。有最小上界。2212cos22nkabbaxk)(2)()!1()()(1121)1(tTabnyxRnnnnn 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页41 例：
24、例：求求 f(x)=ex 在在0,1上的近似最佳逼近多项式，使其误差上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过不超过 0.5 10 4。解：解：根据误差上界确定根据误差上界确定 n:4102121)!1(|12 nnneRn=4 计算计算 T5(t)的根：的根：109cos,107cos,105cos,103cos,10cos43210 ttttt)1(2122 ttabbax02.0)1109(cos2121.0)1107(cos21,50.0)1105(cos2179.0)1103(cos21,98.0)110(cos2143210 xxxxx 以以 x0,x4 为节点作为节点作L4(x)上一
25、页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页42这时：这时：nnnnnnnfTnfxpxf 2)!1(2)!1(|)()(|)1(1)1(若区间是若区间是 a,b,a,b,则：则：1,1,22 tabtbaxnknktk)1(0 ,)1(2)12(cos nktabbaxkk)1(0 ,22 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页43这时：这时：)()()2()()(010nnnttttabxxxx 因而有：因而有：|)()(|max)!1(0)1(nbxannxxxxnfpf )()(max)!1()2(01|)1(1ntnnttttnfab nnnnfab 2)!1()2()1(
26、1上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页44 Chebyshev 多项式的其它应用多项式的其它应用 多项式降次多项式降次 设设 f(x)Pn(x)。在降低在降低 Pn(x)次数的同时次数的同时,使使因此增加的误差尽可能小。因此增加的误差尽可能小。从从 Pn中去掉一个含有其最高次项的中去掉一个含有其最高次项的 ,结果降结果降次为次为 ,则：则：PnPn 1|)(|max|)()(|max|)()(|max1,11,111,1xPxPxfxPxfnnn 因降次而增的误差因降次而增的误差设设 Pn 的首项系数为的首项系数为an，则取，则取 可使可使精度尽可能少损失。精度尽可能少损失。12)
27、()(nnnnxTaxP上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页45 例：例：f(x)=ex 在在 1,1上的上的4 阶阶 Taylor 展开为展开为246214324xxxxP ，此时误差，此时误差023.0|!5|)(|54 xexR请将其请将其降为降为2阶多项式阶多项式。解：解：取取)81(241)(2124124434 xxxTP188244 xxT（查表知（查表知 ）)81(24162123244 xxxxPP32612413192191xxx 取取)43(61)(21613323xxxTP xxT3433 （查表知（查表知 ）192191892413233 xxPP057.
28、0|)(|2 xPex若简单取若简单取 ，则误差，则误差21)(22xxxP 45.0!3 e另类解法可查另类解法可查p.70表表3-2，将将x3 和和x4 中的中的T3 和和T4 删除。删除。注：注：对一般区间对一般区间a,b，先将，先将 x 换为换为 t，考虑，考虑 f(t)在在 1,1上上的逼近的逼近Pn(t)，再将，再将 t 换回换回x，最后得到，最后得到Pn(x)。上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页465 5 内积空间的最佳逼近内积空间的最佳逼近 求求 ，使得：，使得：*npdxxpxfdxxpxfbanPpbannn 22*)()(min)()(最佳平方逼近多项式最佳
29、平方逼近多项式.*np给出：给出：mixfxii)1(1),(,(求求 ，使得：（最小二乘逼近），使得：（最小二乘逼近）*np212*1)()(min)()(inimiPpinimixpxfxpxfnn 两种问题均与内积空间的最佳逼近有关两种问题均与内积空间的最佳逼近有关.上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页47：设：设 是实线性空间，在是实线性空间，在 上定义了一个二元实上定义了一个二元实XX函数（函数（，），若它满足：），若它满足：Xyxxyyx ,),(),(1);RXyxyxyx ,),(),(2);(3);Xzyxzyzxzyx ,),(),(),(4).00),(;,0
30、),(xxxXxxx则称（则称（，）为内积，）为内积，为内积空间为内积空间.X上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页48 1 1）n n维实向量空间维实向量空间 nR引入内积：引入内积：,),(1 niiiTyxyxyxnTnTnRyyyxxx ),(,),(11上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页492 2）:区间区间a,ba,b上满足上满足 可积的可积的,2baL)()(2xfx 函数函数 的全体，即：的全体，即：)(xf badxxfx)()(2 权函数，权函数，.)(x 0)(x 引入内积：引入内积：,)(),(2baLxgxf babaLgfdxxgxfxgf,
31、)()()(),(2 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页50 性质性质5 5(Cauchy-Schwarz(Cauchy-Schwarz不等式不等式)：设：设 是内积空间，则是内积空间，则 XXyxyyxxyx ,),(),(|),(|引入范数：引入范数：Xxxxx ,),(验证不等式：验证不等式：),(|,|Xyxyxyx 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页51),(),(2),(),(|2yyyxxxyxyxyx ),(),(),(2),(yyyyxxxx 22|2|yyxx 故：故：|yxyx 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页52性质性质6 6
32、（平行四边形等式）：对内积空间（平行四边形等式）：对内积空间 ，有，有:X)(22222yxyxyx yxyx ,0),(222|yxyx若：若：，则：，则：。上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页53对对 ，称量，称量 Xf fMfEMinf);(ffMinf|*Mf).(fE为子空间为子空间 对元素对元素 的最佳逼近，并简记为的最佳逼近，并简记为M*若有：若有：，使得：，使得：*则称则称 为最佳逼近元素为最佳逼近元素.定义定义5 5：设设 为一内积空间，为一内积空间，为有限维子空间，为有限维子空间，XM X上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页542/1*),(|nnn
33、pfpfpfbandxxpxfx2/12*)()()(banpndxxpxfxpfnn2/12*)()()(inf|,2baLX ,nM ,*nnp 事实上：若事实上：若则则上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页552/112*)()(miinixpxf2/1*),(|nnnpfpfpf,mRX ,nM ,*nnp 若：若：则：则：2/112*)()(inf|miinipnxpxfpfnn上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页56定理定理6 6：对对 在在 中存在着中存在着 的惟一最佳逼近元素的惟一最佳逼近元素.,Xf Mf证明证明：用反证法：用反证法.设在设在 中有两个不
34、同的最佳逼近元素中有两个不同的最佳逼近元素 M*2*1,，令，令 ，2/)(*2*1*0 则有则有,2121)(21*2*1*2*1 fff即即 亦为亦为 的最佳逼近元素的最佳逼近元素.*0 f,21 ff并记并记上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页57这样这样由性质由性质2 2可推得：可推得：2*2*12*0222 fff2*2*12*22*122)(21 ffff.412*2*12 因此因此,这与假设矛盾，证毕这与假设矛盾，证毕.*2*1 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页58定理定理7 7：对于任意的对于任意的 ，设，设 为有限维子空间为有限维子空间.Xf XM
35、 是是 的最佳逼近元素的充要条件是的最佳逼近元素的充要条件是M*f*fM误差元素误差元素 与与 中的任意元素正交，即中的任意元素正交，即)24.3(,0),(*Mf证明：证明：.设存在某一设存在某一 ，使，使 M .0),(*f令令 ，则：，则：,),(*f),(*2*fff上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页592*2),(2 ff.2*22*ff这表明这表明 不是不是 的最佳逼近元素，必要性得证的最佳逼近元素，必要性得证.*f.若对若对 ，有，有 ，则：，则：M 0),(*f2*2 ff),(2),(2*2*2 ff 0),(22*2*f因此，因此，为为 的最佳逼近元素的最佳逼
36、近元素.充分性得证充分性得证.*f上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页60几何意义：几何意义：误差估计：误差估计：2*2);(fMfE),(*ff),(),(*fff 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页61计算问题：计算问题：设设 ，,1nspanM niiic1*由于：由于：nijiinjcf1*)1(1 ,0),(有：有：（法方程组法方程组）nijijinjfc1*)1(1),(),(即即 为方程组：为方程组：的解。的解。niic1*bGc ),(,),(,),(11jjTnTnfbbbbccc 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页62 ),(),()
37、,(),(1111nnnnG G G称为关于称为关于 的的GramGram矩阵矩阵.称为称为GramGram行列式行列式.n ,1Gdet进一步，若进一步，若 两两正交，即：两两正交，即：nii1 ,0),(jiji 这时有：这时有：),/(),(*iiiifc 即：即：njjjjjf1),(),(为最佳逼近元素为最佳逼近元素.上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页63我们称上式右端为我们称上式右端为 的广义的广义FourierFourier展开，展开，为为 的的f*icf广义广义FourierFourier系数系数.FourierFourier展开展开:设设 为以为以 为周期的周期
38、函数为周期的周期函数.f 2 nkkkkxbkxaa10)sincos(2称为称为 的的FourierFourier展开。展开。f),2()(xfxf即：即：其中：其中：上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页64).(),(),(|1222 njjjjjjff niiicf122*2)(故：故：niiifc1222*,)(从而得从而得BesselBessel不等式：不等式：1*222*).,/(),(,)(iiiiiiifcfc 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页65定理定理8 8：任何任何 维内积空间维内积空间 都存在正交基都存在正交基.（证略）（证略）nMGram-
39、SchmidtGram-Schmidt正交化过程正交化过程.规范正交基：规范正交基：若若 ，且，且 Meen,1jijiee,),(上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页666 6 最佳平方逼近与正交多项式最佳平方逼近与正交多项式 讨论讨论 空间中的最佳多项式逼近问题空间中的最佳多项式逼近问题.,2baL 求求 使得：使得：,*nnp .|min|*nPpnpfpfnn 记：记：,10 ,)1(1,nixii 则：则：,)(0 njjjnxxp,)(0*njjjnxxp 其中其中 满足法方程组：满足法方程组：niia0*上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页67 njijj
40、inixfxx0*)1(0),(),(bajijijidxxxxx ,)(),(),(.)()(),(baiidxxxfxxf 即即 为方程组：为方程组：的解。的解。nii0*bGc ),(,),(,),(00jjTnTnxfbbbbc),(),(),(),(0000nnnnG上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页68 若若 为正交多项式基函数，即：为正交多项式基函数，即：nii0 ,0),(jiji 则：则：,)(0*njjjnxp ).,/(),(*iiiif 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页69上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页70 定义在定义在a
41、,ba,b上的函数系上的函数系 称为称为P Pn n的带权的带权nllxg0)(正交基正交基（称为称为 上的带权上的带权 次正交次正交,ba)(x)(xgll多项式），如果它满足：多项式），如果它满足：1 1）恰为恰为 次多项式，即次多项式，即 ；lkkklxxg0)(0 l l2 2）),(jigg .,0)()(,02jidxxgxjibai 特别，若特别，若 ，则称之为，则称之为正规正交基正规正交基。1),(iigg上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页71（1 1）构成构成 的基底的基底.即对任何即对任何 有：有：nP,nnp ,)()(0 njjjnxgxp 其中其中（2
42、2）若）若 为不超过为不超过 次的任意多项式，则：次的任意多项式，则：)(xpkk.,0),(klgplk （3 3）正交多项式系，除差一个常数因子以外，是）正交多项式系，除差一个常数因子以外，是唯一确定的，即若：唯一确定的，即若：均为均为 上关于权函数上关于权函数nllnllxgx00)(,)(,ba),/(),(jjjnjgggpnllg0上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页72)(x 的正交多项式系，则：的正交多项式系，则：)()(xgxlll （4 4）正规正交多项式系：）正规正交多项式系：.nllxg0)(若若 ，或，或 1),(,0),(llklgggg,1|lg可取：
43、可取：，|/lllggg 因为因为 ，而，而 njjjnxgxp0)()(.,0),(klgglk 记：记：,则则 nlxgxglll)1(0,/)()(*nllg0*构成了构成了 的最高项系数为的最高项系数为1 1的带权正交多项式系的带权正交多项式系.nP上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页73 将正交函数族中的将正交函数族中的 k 取为取为k 阶阶多项式多项式，为简单起见，可取，为简单起见，可取 k 的的首项系数为首项系数为 1。有递推有递推关系式：关系式：)()()(,1)(0110 xxxx )()()()(111xxxxkkkkk 其中其中),(),(,),(),(111
44、 kkkkkkkkkkx 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页74 上述带权正交基有递推公式：上述带权正交基有递推公式：),/(),()(,1)(,2,1),()()()(*0*0*0*0*1*0*1*1gggxgxxgxgkxgxgxxgkkkkk 其中常数其中常数),(),(,),(),(*1*1*kkkkkkkkkkgggggggxg 带权正交多项式带权正交多项式 有有 个互异的实根，个互异的实根，)1)(*lxgll并且全部位于区间并且全部位于区间 内。内。),(ba证明证明(略）略）：上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页75首先首先,于于 内至少有一个根，事实
45、上：内至少有一个根，事实上：)(*xgl),(ba0)()(),1(*dxxgxglbal 于于 内至少有一个变号内至少有一个变号.)(*xgl),(ba其次，其次，于于 内没有重根，则：内没有重根，则：)(*xgl),(ba)()()(2*xqxxgl ，为为 次的多项式次的多项式.)(xq2 l故：故：0)()()(*dxxqxgxlba 另一方面：另一方面：0)()()()()()(2*dxxxgxdxxqxgxlbalba 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页76矛盾。矛盾。)()()()(1*xsxxxgkl 最后，设：最后，设：于于 内无根（不妨设内无根（不妨设 ），则
46、，则)(xs),(ba0)(xs0)()()(1*dxxxxgxklba另一方面：另一方面：dxxxxgxklba)()()(1*0)()()(221 dxxsxxxkba 矛盾矛盾.这说明这说明 于于 内只有内只有 个单根个单根.)(*xgl),(bal上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页77 设设 为带权正交多项式系为带权正交多项式系.对对 ，多，多nllxg0)(1 l项式项式 和和 的零点必交错的零点必交错.即即)(xgl)(1xgl.12211ball 和和 的零点，则的零点，则:)(1xgl,21l ,121 l 分别为分别为)(xgl若若上一页上一页下一页下一页上一页
47、上一页下一页下一页78 1,1,1)(bax（1 1）勒让德（）勒让德（LegendreLegendre）多项式）多项式 递推关系：递推关系：.)1(1,)1(212!21)(,21)(20nkxdxdkkxlxlkkkkk),(12321)(1)32)(12()(11xlkkkkxxlkkkxlkkk ,2,1 k上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页79（2 2）ChebyshevChebyshev多项式多项式 1,1,)1()(2/12 baxx,1,0 ),arccoscos()(nxnxTn1,1,)1()(2/12 baxx,1,0,1)arccos)1sin()(2 n
48、xxnxUn（3 3）第二类）第二类ChebyshevChebyshev多项式多项式 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页80（4 4）拉盖尔（）拉盖尔（LaguerreLaguerre）多项式）多项式,)(xex ),0,ba,1,0),()(nexdxdexLxnnnxn,)(2xex ),(,ba,1,0),()1()(22 nedxdexHxnnxnnmndxxHxHemnx ,0)()(2（5 5）埃尔米特）埃尔米特(Hermite)(Hermite)多项式多项式 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页81)arccoscos()(xjxTj由于由于 是是njj
49、xT0)(是关于权是关于权 的正交基的正交基.则有则有 2/12)1()(xx njjjnxTaxTaxS100)(2)()(,1,0,1)()(2),(),(112 jdxxxTxfTTTfajjjjj 考虑考虑 ，给出其最佳，给出其最佳平方逼近多项式。平方逼近多项式。1,12 Lf2/12)1()(xx 上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页82 称为称为 按按ChebyshevChebyshev多项式展开的部分和多项式展开的部分和.)(xSn)(xf可以证明：可以证明：1 1）一致收敛于一致收敛于 ；)(xSnnxf),(2 2）.kak,0故当故当 充分大时：充分大时：n)(
50、)()(11xTaxSxfnnn )arccos)1cos()(1xnxTn 1)1(0,)1(cos nknkxk 为为 的交错点的交错点.)(1xTn 可作为可作为 的近似的近似ChebyshevChebyshev逼近多项式逼近多项式.)(xSn)(xf上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页83上一页上一页下一页下一页上一页上一页下一页下一页84 给出数据给出数据 求求 使得：使得：,)1(1),(miyxii iniinxxp 0*)(miinipmiinixpyxpynn1212*)(min)(在在 中给出中给出 维子空间维子空间 ，nRllHnl ,1llXXspanH 其
