1、第三章第三章1 函数极限的概念函数极限的概念.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定定义义 1 1 如如果果对对于于
2、任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在着着正正数数X,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Xx 的的一一切切x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限,记记作作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情情形形 x.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当Axfx)(
3、lim2、另两种情形、另两种情形:Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释:X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin 例例1.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 二、自变量趋向有限
4、值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式 Axf)(,
5、那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到
6、一一个个显显然然 例例2).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 证证
7、0)(xxAxf ,0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取负值且不取负值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记记作作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极
8、限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过
9、程下,)(xf有极限有极限,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界.2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.推论推论).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性).),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理(保号性保号性
10、).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理证证.)(,0,0,00 Axfxx恒恒
11、有有时时使使当当Axfxx)(lim0.0,0,00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)(Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,11sinlim nnn,11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且
12、 ,2141 nxn取取,0lim nnx;0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而,1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx,0 四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xN
13、Nn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.01.0
14、1_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001.0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 一一、1 1、0 0.0 00
15、 00 02 2；2 2、397.四四、不不存存在在.练习题答案练习题答案.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限
