1、z目标：目标：z了解证明的各种形式；了解证明的各种形式；z理解数学证明的形式及本质。理解数学证明的形式及本质。4 4 数学证明数学证明一、证明的含义与结构一、证明的含义与结构 1.1.证明的含义证明的含义 在一门科学理论中，在一门科学理论中，证明证明是用某个或某些命题（判断）的是用某个或某些命题（判断）的真实性真实性来断定另一命题（判断）的来断定另一命题（判断）的真实性真实性的思维过程。的思维过程。数学命题的证明是用一些数学命题的证明是用一些已知真实已知真实的命题为前提，通过推的命题为前提，通过推理来实现的。理来实现的。例例1 如图，已知：如图，已知：B=C,AB=AC.B=C,AB=AC.求
2、证：求证：AE=AD.AE=AD.AECDBAD.AEACD.ABEA,AAC,ABC,BACDABE 中中，和和证证明明：在在 2.2.证明的结构证明的结构任何证明都是由任何证明都是由论题、论据和论证论题、论据和论证三个部分组成的。三个部分组成的。论题论题是指需要确定其真实性的那个判断或命题。例是指需要确定其真实性的那个判断或命题。例1中以中以“已知已知”为条件，以为条件，以“求证求证”为结论所组成的命题为结论所组成的命题“（B=CB=C）（AB=ACAB=AC）AE=ADAE=AD”就是论题。就是论题。论据论据是确定论题的真实性时所依据的判断或命题，即证明的根据和是确定论题的真实性时所依据
3、的判断或命题，即证明的根据和理由。例理由。例1中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定定理定理“ASA”，本论题的题设，本论题的题设“（B=CB=C）（AB=ACAB=AC）”，以及定理以及定理“全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等”等，都是论据。等，都是论据。论证论证（也称为证明方式）是由论据得出论题的推理形式，它是由一（也称为证明方式）是由论据得出论题的推理形式，它是由一系列命题，根据逻辑推理规则构成的一个逻辑推演的程序。一系列命题，根据逻辑推理规则构成的一个逻辑推演的程序。一个论证可以只包含一个推理，也可以包含一系列推理。例个论证可
4、以只包含一个推理，也可以包含一系列推理。例1中中包含了三个演绎推理，其中最后一个演绎推理完整地写出来就包含了三个演绎推理，其中最后一个演绎推理完整地写出来就是：是：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应边相等，ABEABEACD,ACD,AE=AD.AE=AD.这种推理形式是（充分条件）这种推理形式是（充分条件）假言判断的肯定式。假言判断的肯定式。通俗地讲，证明的通俗地讲，证明的论题论题告诉我们告诉我们“要证明什么要证明什么”，论据论据告告诉我们诉我们“用什么来证明用什么来证明”，而，而论证论证告诉我们告诉我们“怎样证怎样证明明”。数学证明常分为已知、求证和证明三部分。数学证明常分为已知、求
5、证和证明三部分。其中：其中：“已知已知”是有待证明其真实性的命题（论题）的题设；是有待证明其真实性的命题（论题）的题设；“求证求证”是有待证明其真实性的命题（论题）的结论；是有待证明其真实性的命题（论题）的结论；“证明证明”就是论证，即说明论题真实性的推理过程。就是论证，即说明论题真实性的推理过程。可作数学证明的论据可作数学证明的论据的有：本论题的题设；证明论题真实的有：本论题的题设；证明论题真实所引用的那些数据；已知的公理、公式、定理或者已所引用的那些数据；已知的公理、公式、定理或者已证明了的论断；以及学过的概念的定义、性质等命题证明了的论断；以及学过的概念的定义、性质等命题。3.3.证明与
6、推理的关系证明与推理的关系证明与推理有密切的联系，又有明显的区别。证明与推理有密切的联系，又有明显的区别。其其联系联系表现在：证明必须运用推理，证明的论题相当于推表现在：证明必须运用推理，证明的论题相当于推理的结论，论据相当于推理的前提，证明的方式，即理的结论，论据相当于推理的前提，证明的方式，即论证相当于推理形式。论证相当于推理形式。其其区别区别表现在：（表现在：（1）推理是先有前提，再由前提推出结）推理是先有前提，再由前提推出结论，证明是先有论题，再探求论据；（论，证明是先有论题，再探求论据；（2）推理只是）推理只是断定了前提与结论之间有必然性联系或或然性联系，断定了前提与结论之间有必然性
7、联系或或然性联系，并不要求前提和结论是真实的，证明则要以真实的论并不要求前提和结论是真实的，证明则要以真实的论据来确定论题的真实性。据来确定论题的真实性。二、如何证明数学命题二、如何证明数学命题1.数学命题证明的过程数学命题证明的过程数学命题大都具有假言判断数学命题大都具有假言判断“如果如果p，那么，那么q”即即“pq”的形式，的形式，根据假言判断的逻辑特性，要证明命题根据假言判断的逻辑特性，要证明命题pq，只须在假设，只须在假设p真真的条件下，根据公理、定义、已知定理等真命题，运用正确的的条件下，根据公理、定义、已知定理等真命题，运用正确的推理形式，合乎逻辑地推出推理形式，合乎逻辑地推出q为
8、真。故，为真。故，“从从p推出推出q”就是论就是论题题pq的证明过程。的证明过程。在在“从从p推出推出q”的过程中，一般要经过一系列的推理，前面推理的的过程中，一般要经过一系列的推理，前面推理的结论是后面推理的前提，这些首尾相接的推理组成一个推理序结论是后面推理的前提，这些首尾相接的推理组成一个推理序列，最后一个推理的结论是论题的结论列，最后一个推理的结论是论题的结论q.任务：深入分析例任务：深入分析例1 1的证明过程。的证明过程。逻辑思维对数学命题证明的基本要求是：证明要有说服力，即证明逻辑思维对数学命题证明的基本要求是：证明要有说服力，即证明要有真实理由，并且应遵守证明的规则要有真实理由，
9、并且应遵守证明的规则2.数学命题证明应遵守的规则数学命题证明应遵守的规则规则规则1 论题要明确论题要明确.论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能使证明有的放矢。使证明有的放矢。例例2 2 连结四边形四边的中点成一平行四边形。连结四边形四边的中点成一平行四边形。规则规则2 论题应当始终同一论题应当始终同一.根据同一律的要求，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途根据同一律的要求，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更。违反这条规则的逻辑错误，叫做偷换论题。变更。违反这条规则的逻辑错误，叫做偷换论题。例例3 3
10、求证求证“四边形的内角和等于四边形的内角和等于360360”，证明时用矩形代替四边，证明时用矩形代替四边形。形。规则规则3 论据要真实论据要真实.论据是确定论题真实性的理由。如果论据是假的，那就不能确定论论据是确定论题真实性的理由。如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性。违反这条规则的逻辑错误，叫做虚假论据。题的真实性。违反这条规则的逻辑错误，叫做虚假论据。规则规则4 论据不能靠论题来证明论据不能靠论题来证明.论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没证明。违反这条规则的逻辑错误叫循证明，那么结果
11、什么也没证明。违反这条规则的逻辑错误叫循环论证。环论证。规则规则5 论据必须能推出论题论据必须能推出论题.证明是特殊的推理，证明中论据必须是推出论题的充足理由。否则，证明是特殊的推理，证明中论据必须是推出论题的充足理由。否则，从论据就推不出论题。违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推从论据就推不出论题。违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出。出。也也必必是是无无理理数数.3 32 2所所以以无无理理数数的的和和是是无无理理数数，是是无无理理数数，而而无无理理数数与与3 3和和2 2证证明明：依依题题设设，也也是是无无理理数数.3 32 2是是无无理理数数，试试证证3 3和和2 2已已知知例例4 4
12、.c cA)A)coscosA A(sin(sinc cA Acoscosc cA Asinsinc cb ba accosA,ccosA,b bcsinA,csinA,a a证明：证明：.c cb b，求证a，求证a9090C C在Rt在RtABC中，ABC中，例5例52 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2 .4 41,1,2 21 18 81 18 81 15 51 15 51 12 21 11 18 81 15 51 12 21 18 81 15 51 12 21 1tantantantantantantantantantantantan1 1n
13、ntantantantantatatantantantantantan)tan(tan(证明：证明：.4 4求证：求证：.8 81 1tantan,5 51 1tantan,2 21 1），且tan），且tan2 2（0，（0，,设设,例6例6 3.常用的证明方法常用的证明方法证明：如图，连接证明：如图，连接AC.AC.四四边边形形.四四边边形形A AB BC CD D为为平平行行 D DC CB BC C/A AD DA AC CB BC CA AA AB B/D DA AC CD DC CA AB BC CD DA AA AB BC CA AC CC CA AD DA AB BC CC C
14、D DA AB BABCD（1）演绎法和归纳法）演绎法和归纳法演绎法是用演绎推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的演绎法是用演绎推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实。一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实。例例7 7 在四边形在四边形ABCDABCD中，中，AB=CD,BC=AD.AB=CD,BC=AD.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD为平行四为平行四边形边形.例例8 和和 相交相交，过一交点过一交点P任作一直线交两圆任作一直线交两圆于于A、B，A在在 上上，B在在 上，上，分别过分别过O1、O2作作 于于C，于于D.求证求证：证
15、明：关于证明：关于P、A、B三点的相对位置，分三种情况三点的相对位置，分三种情况考察：考察：1O2OABCO1ABDO2.21ABCD 1O2O1O2OAPBCD（1）1O2OPABCD（2）1O2OPBACD（3）归纳法是用归纳推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据归纳法是用归纳推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的个别、特殊事实推出包含在论题中一般原理的。中的个别、特殊事实推出包含在论题中一般原理的。（2）分析法和综合法）分析法和综合法分析法分析法用分析法证明数学命题用分析法证明数学命题pq，就是从结论，就是从结论q出发，一步一步地探求出发，一步一步地探求使结论成立的充分条件，直到
16、所探求的充分条件是题设使结论成立的充分条件，直到所探求的充分条件是题设p。例如基本不等式的证明。例如基本不等式的证明。必修必修5 5第三章第三章3.43.4（P98P98）：）：选修选修1-21-2第二章第二章2.22.2（P39P39）：）：.ababb ba a这是已知条件，这是已知条件，b.b.a a 只须证只须证.b babab 只须证只须证0,0,b b0,0,因为已知a因为已知ab.b.abab 只须证只须证2b.2b.abab2 2 只须证只须证b.b.a ab babab2 2a a 即证即证b,b,a a）b ba a只须证（只须证（0,0,b b因为已知a因为已知a，aba
17、bb ba a证明：要证证明：要证.ababb ba a求证：求证：0,0,b b已知a已知a 例9例92 22 2 分析法证明数学命题时，要步步探求结论的充分条件，最后达到题分析法证明数学命题时，要步步探求结论的充分条件，最后达到题设。这种方法合乎人们探求真理，解决问题的思维过程，比较容设。这种方法合乎人们探求真理，解决问题的思维过程，比较容易开拓思路找到证明途径。教学中经常使用分析法，对培养学生易开拓思路找到证明途径。教学中经常使用分析法，对培养学生分析问题和解决问题的能力是很有益处的。分析问题和解决问题的能力是很有益处的。综合法综合法用综合法证明数学命题用综合法证明数学命题pq，就是从题
18、设，就是从题设p出发，逐步进行推理，出发，逐步进行推理，最后导出结论最后导出结论q。.9例例如如用用综综合合法法证证明明例例.a.)(.2.22.,022babbababaabbababbabbabba ，证证明明：.合合法法写写出出证证明明用用综综法法探探求求证证明明途途径径，然然后后分分析析推推理理严严谨谨。我我们们一一般般用用感感到到综综合合法法形形式式简简单单，使使人人有时，很难从题设出发找到证明途径，这时用综合法比较困难，应有时，很难从题设出发找到证明途径，这时用综合法比较困难，应用分析法。例如，选修用分析法。例如，选修1-2第二章第二章2.2（P39）：）：分析综合法（分析综合法（
19、“两头凑两头凑”方法）方法）由上面的例子可以看出，探索论题由上面的例子可以看出，探索论题pq的证明途径，无论是分析法，的证明途径，无论是分析法，还是综合法，都是要构成一个联系题设还是综合法，都是要构成一个联系题设p和结论和结论q的推理系列。的推理系列。只不过分析法是由后向前构造，即只不过分析法是由后向前构造，即“执果索因执果索因”或或“逆推逆推”；综；综合法就是由前向后构造，即合法就是由前向后构造，即“由因导果由因导果”或或“顺推顺推”。由此想到，。由此想到，如果同时用分析法和综合法去探索，即如果同时用分析法和综合法去探索，即从前后两个方向构造推理从前后两个方向构造推理序列，序列，则一般可以较
20、快地找到证明途径。这种则一般可以较快地找到证明途径。这种“两头凑两头凑”的方法，的方法，或称或称“分析综合法分析综合法”，尤其适宜结构比较复杂的问题。尤其适宜结构比较复杂的问题。例例10 10 自自OO外一点外一点P P作作OO的切线的切线PAPA，切点为，切点为A A，再由，再由PAPA的中点的中点M M作作OO的割线，交的割线，交OO于于B B、C C两点，两点，PBPB、PCPC分别交分别交OO于于D D、E,E,求证：求证：EDPA.EDPA.（3）直接证法和间接证法）直接证法和间接证法直接证法直接证法直接证法是直接证法是从正面推出论题从正面推出论题的证明。数学命题大多数是用这种方法的
21、证明。数学命题大多数是用这种方法证明的。证明的。直接证法的直接证法的一般形式是：一般形式是：即从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结即从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。论的真实性。间接证法间接证法间接证法不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题间接证法不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.间接证法有间接证法有反证法反证法和和同一法同一法两种两种.结结论论.已已知知定定理理（公公式式）已已知知公公理理已已知知定定义义本本题题条条件件（
22、已已知知）z 反证法反证法反证法是通过证明矛盾命题的虚假性，进而确立论题的真实性的证反证法是通过证明矛盾命题的虚假性，进而确立论题的真实性的证明方法。明方法。例例11 用反证法证明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的用反证法证明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。一条相交，必定与另一条也相交。例例12 用反证法证明：一个三角形的内角中，不能有两个钝角或直用反证法证明：一个三角形的内角中，不能有两个钝角或直角。角。例例13 用反证法证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数用反证法证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。也是偶数。例例14 用
23、反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。们所对的边也不等，大角所对的边较大。例例15 用反证法证明：如果用反证法证明：如果m是奇数，是奇数，n是整数，那么方程是整数，那么方程x2+mx+m=0没有相等的实根。没有相等的实根。注：在反证法由假设推出矛盾的推导过程中，必须保证每个推理都注：在反证法由假设推出矛盾的推导过程中，必须保证每个推理都合乎逻辑。否则，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假设不正合乎逻辑。否则，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假设不正确。确。.用反证法证明命题用反证法证明命题“pq”
24、的全过程和逻辑依据可以用的全过程和逻辑依据可以用下图来表示：下图来表示：z反证法的一般步骤如下：反证法的一般步骤如下：（1）假设命题的结论不成立（即结论的否定成立）；）假设命题的结论不成立（即结论的否定成立）；（2）从否定结论出发，进行层层推理，得出与公理，）从否定结论出发，进行层层推理，得出与公理，或前述的定理、定义（例或前述的定理、定义（例11、例、例12）或题设条件（例）或题设条件（例13、例、例14），或与临时假设等自相矛盾（即说明结论），或与临时假设等自相矛盾（即说明结论不能否定），或含有自相矛盾命题（例不能否定），或含有自相矛盾命题（例15）的结论；）的结论；（3）根据排中律，最后
25、肯定原命题成立。）根据排中律，最后肯定原命题成立。肯定条件p否定结论q导 致逻辑矛盾推理矛盾律qp 为 假排中律qp为 真.在应用反正法时，如果命题结论的否定方面只有一种可能情况，在应用反正法时，如果命题结论的否定方面只有一种可能情况，那么，只要把这一情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫那么，只要把这一情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法（例做归谬法（例11、12、13、15）。如果命题的结论的否定方面）。如果命题的结论的否定方面不只一种情况，那就必须把否定方面所有的可能情况逐一驳倒，不只一种情况，那就必须把否定方面所有的可能情况逐一驳倒，才能肯定结论成立，这种反证法叫做穷举法
26、（例才能肯定结论成立，这种反证法叫做穷举法（例14）。）。z同一法同一法在几何中，要证明某个图形在几何中，要证明某个图形a具有属性具有属性P，可以先作出具有属性，可以先作出具有属性p的的图形图形b，然后证明图形，然后证明图形b和图形和图形a是同一个图形，从而证明图形是同一个图形，从而证明图形a具有属性具有属性p.这种证明方法叫做同一方法。这种证明方法叫做同一方法。例例16 已知：已知：ABCABC中，中，AD=DB,AE=EC.AD=DB,AE=EC.求证求证:DE:DEBC.BC./（人教版，八年级下，（人教版，八年级下，“第十九章第十九章 四边形四边形”，“第一节第一节 平行四平行四边形边
27、形”中，中，“19.1.2 平行四边形的判定平行四边形的判定”，P8889.）人教人教A版，选修版，选修4-1，“第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质”，“一、平行线等分线段定理一、平行线等分线段定理”。同一法的依据是同一原理。同一法的依据是同一原理。同一法的一般步骤如下：同一法的一般步骤如下：（1）当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合）当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合命题结论的图形；命题结论的图形；（2）证明所作图形符合已知条件；）证明所作图形符合已知条件；（3）根据唯一性，确定所作图形与已知图形重合；）根据唯一性，确定所作图形与
28、已知图形重合；（4）最后肯定原命题成立。）最后肯定原命题成立。同一法的另一定义：同一法的另一定义：对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命时，可以改证和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立，这种证明方法叫做同一法。题就成立，这种证明方法叫做同一法。（此种观点有局限！）此种观点有局限！）（4）数学归纳法）数学归纳法一个与自然数一个与自然数n有关的命题，可以采用下述方法来证明：有关的命题，可以采用下述方法来证明：先证明先证明n=1时命题成立，然后假设时命题成立，然后假设n=k（k11）时命
29、题成立，）时命题成立，证明证明n=k+1时命题也成立，于是断定，对所有自然数时命题也成立，于是断定，对所有自然数n，命题成，命题成立。立。这种证明方法叫做数学归纳法。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法不属于归纳推理，而是根据归纳原理综合运用归纳、演数学归纳法不属于归纳推理，而是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的证明方法。绎推理的一种特殊的证明方法。归纳原理，归纳原理，即自然数皮亚诺公理的第五条：即自然数皮亚诺公理的第五条：任意一个自然数的集合，任意一个自然数的集合，如果含有如果含有1，并且假设含有，并且假设含有n，也一定含有，也一定含有n的后继的后继n，那么，这，那么，这个集合
30、含有所有的自然数。个集合含有所有的自然数。皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：这五条公理用非形式化的方法叙述如下：1 1）1 1是自然数；是自然数；2 2）每一个确定的自然数）每一个确定的自然数a a，都有一个确定的后继数，都有一个确定的后继数a a，a a 也是自然数；也是自然数；（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数
31、，例如，（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1 1的后继数是的后继数是2 2，2 2的后继的后继数是数是3 3等等）等等）3 3）如果自然数）如果自然数b b、c c的后继数都是自然数的后继数都是自然数a a，那么，那么b=cb=c；4 4）1 1不是任何自然数的后继数；不是任何自然数的后继数；5 5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1 1是对的，又假定它对自然数是对的，又假定它对自然数n n为真时，可以证明它对为真时，可以证明它对nn 也真，那么，命题对所有自然数都真。也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理保这条公理保证
32、了数学归纳法的正确性证了数学归纳法的正确性)注：若将注：若将0 0也视作自然数，则公理中的也视作自然数，则公理中的1 1要换成要换成0 0。如果如果M是自然数集是自然数集N的一个子集，且满足：的一个子集，且满足：（1）1M；（2）若）若nM，则，则n+1M.那么，那么，M=N.用数学归纳法证明命题时，必须证明下列两个命题的真实用数学归纳法证明命题时，必须证明下列两个命题的真实性，然后根据归纳原理，得出对于一切自然数命题是真性，然后根据归纳原理，得出对于一切自然数命题是真实的结论：实的结论：当自然数当自然数n=1n=1时，所证命题是真实的；时，所证命题是真实的；假定假定n=kn=k时，所证命题真
33、实，然后以此为根据推导出当时，所证命题真实，然后以此为根据推导出当n=k+1n=k+1时，时，所证命题也真实所证命题也真实.由此得，由此得，用数学归纳法证明与自然数用数学归纳法证明与自然数n有关的命题有关的命题P(n)的步骤是：的步骤是：（1 1）证明）证明P(1)P(1)成立；成立；（2 2）假设）假设P(kP(k)成立，证明成立，证明P(k+1)P(k+1)成立成立 .根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可以断定对所有的自然数），可以断定对所有的自然数n n，P(nP(n)都都成立。成立。根据归纳原理容易证明数学归纳法的正确性。根据归纳原理容易证明数学归纳法的正确性。通常我们把通常我们
34、把“证明证明P(1)P(1)成立成立”这一步叫作这一步叫作奠基步骤奠基步骤，“假假设设P(kP(k)成立，证明成立，证明P(k+1)P(k+1)成立成立”叫作叫作归纳步骤归纳步骤，其中的，其中的P(kP(k)叫作归纳假设。叫作归纳假设。.1nn)1(n1431321211 17 n求证：求证：例例注意：注意：有些关于自然数的命题，不是对所有自然数都真实，而是对有些关于自然数的命题，不是对所有自然数都真实，而是对大于或等于某一自然数大于或等于某一自然数N0(N01)的所有自然数都真实，的所有自然数都真实，用数学用数学归纳法证明这一的命题时，归纳法证明这一的命题时，第一步，验证当第一步，验证当n=
35、N0时，所证明题时，所证明题是真实的，然后再证明上述（是真实的，然后再证明上述（2）.例例18 18 求证：求证：n n边形的内角和等于（边形的内角和等于（n-2n-2）180180.针对例针对例1818和例和例1919这种情形，数学归纳法的第一步可改为验证这种情形，数学归纳法的第一步可改为验证P(kP(k0 0)成立，其中成立，其中k k0 0是某个自然数数或是某个自然数数或0 0，同时第二步改为假设，同时第二步改为假设P(kP(k)成成立（立（kkkk0 0），证明），证明P(k+1)P(k+1)成立，结论是成立，结论是P(nP(n)对所有对所有kkkk0 0都成立都成立。使用数学归纳法应注意的几点：使用数学归纳法应注意的几点：1.1.两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2.2.奠基步骤不必作多余的验证奠基步骤不必作多余的验证.3.3.推导推导P(k+1)P(k+1)成立时必须使用归纳假设成立时必须使用归纳假设P(kP(k).).sin2sin22cos4cos2coscos 191n1n n求求证证：例例复习思考：复习思考：什么是证明？数学中常用哪些证明方法？举例说明。什么是证明？数学中常用哪些证明方法？举例说明。
