1、1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 1.3.11.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.通过对柱、锥、台体的研究通过对柱、锥、台体的研究, ,掌握柱、锥、台体的表面积的求法掌握柱、锥、台体的表面积的求法. . 2.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式了解柱、锥、台体的表面积计算公式; ;能运用柱、锥、台的表面积能运用柱、锥、台的表面积 公式进行计算和解决有关实际问题公式进行计算和解决有关实际问题. . 3.3.培养空间想象能力和思维能力培养空间想象能力和思维能力. . 课标
2、要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 (1)(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体, ,它们的表面积就是各个面的它们的表面积就是各个面的 和和. . 面积面积 (2)(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体几何体 侧面展开图侧面展开图 表面积公式表面积公式 圆柱圆柱 S S圆柱 圆柱=2=2r(r+l),r(r+l), r r 为为 , , l l 为为 圆锥圆锥 S S圆锥 圆锥= =r(r+l),r(r+
3、l), r r 为为 , , l l 为为 圆台圆台 S S圆台 圆台= =(r(r 2 2+r +r 2 2+r +rl+rl)l+rl) r r为为 , , r r 为为 , , l l 为为 底面半径底面半径 侧面母线长侧面母线长 底面半径底面半径 侧面母线长侧面母线长 上底面半径上底面半径 下底面半径下底面半径 侧面母线长侧面母线长 2.2.柱体、锥体与台体的体积公式柱体、锥体与台体的体积公式 几何体几何体 体积体积 说明说明 柱体柱体 V V柱体 柱体=Sh=Sh S S 为柱体的为柱体的 ,h,h 为柱体的为柱体的 锥体锥体 V V锥体锥体= = 1 3 ShSh S S 为锥体的
4、为锥体的 ,h,h 为锥体的为锥体的 台体台体 V V台体 台体= = 1 3 (S(S+ + SS +S)h+S)h S S,S,S 分别为台体的分别为台体的 ,h,h 为台体的为台体的 底面积底面积 高高 底面积底面积 高高 上、下底面面积上、下底面面积 高高 自我检测自我检测 C C 1.(1.(求侧面积求侧面积)(2014)(2014 大连高一期末大连高一期末) )圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为 2,2,则圆柱侧面展开图的面积为则圆柱侧面展开图的面积为( ( ) ) (A)4(A)4 (B)4(B)42 (C)8(C)8 (D)8(D)82 2.(2.(体
5、积公式体积公式)(2015)(2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )圆锥的高扩大到原来的圆锥的高扩大到原来的 2 2 倍倍, ,底面半径缩短到原来的底面半径缩短到原来的 1 2 , ,则圆锥的体积则圆锥的体积( ( ) ) (A)(A)缩小到原来的一半缩小到原来的一半 (B)(B)扩大到原来的扩大到原来的 2 2 倍倍 (C)(C)不变不变 (D) (D)缩小到原来的缩小到原来的 1 6 A A 3.(3.(求体积求体积)(2015)(2015安庆市石化一中高二安庆市石化一中高二( (一一) )期中期中) )圆锥的母线长为圆锥的母线长为5,5,底面半底面半 径为径为3
6、,3,则其体积为则其体积为( ( ) ) (A)15(A)15 (B)30(B)30 (C)12(C)12 (D)36(D)36 4.(4.(求表面积求表面积)(2015)(2015大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )圆台的一个底面周长是另一个圆台的一个底面周长是另一个 底面周长的底面周长的3 3倍倍, ,母线长为母线长为3,3,圆台的侧面积为圆台的侧面积为8484 , ,则圆台较小底面的半径则圆台较小底面的半径 为为( ( ) ) (A)7(A)7 (B)6(B)6 (C)5(C)5 (D)3(D)3 C C A A 课堂探究课堂探究 空间几何体的表面积空间几何体的表面积
7、题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形? ? 提示提示: :三棱柱上、下底面是三角形三棱柱上、下底面是三角形, ,侧面展开图为矩形侧面展开图为矩形; ;三棱锥各面均是三三棱锥各面均是三 角形角形; ;三棱台上、下底面是三角形三棱台上、下底面是三角形, ,侧面为梯形侧面为梯形. . 2.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么? ? 提示提示: :圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形, ,圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形; ;圆台的侧面展圆台的侧面
8、展 开图是扇环开图是扇环. . 【例【例 1 1】 (2015(2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )如图如图, ,在底面半径为在底面半径为 2 2 母线长为母线长为 4 4 的圆的圆 锥中内接一个高为锥中内接一个高为3的圆柱的圆柱, ,求圆柱的表面积求圆柱的表面积. . 解解: :设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为 R,R,圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为 r,r,表面积为表面积为 S,S, 则由三角形相似得则由三角形相似得 r=1,r=1, 所以所以 S S底 底=2=2,S,S侧侧=2=23, , 所以所以 S=(2+2S=(2+23) ). . 题后反思题后
9、反思 (1)(1)多面体的表面积转化为各面面积之和多面体的表面积转化为各面面积之和. . (2)(2)解决有关棱台的问题时解决有关棱台的问题时, ,常用两种解题思路常用两种解题思路: :一是把基本量转化到直角一是把基本量转化到直角 梯形中去解决梯形中去解决; ;二是把棱台还原成棱锥二是把棱台还原成棱锥, ,利用棱锥的有关知识来解决利用棱锥的有关知识来解决. . (3)(3)旋转体中旋转体中, ,求面积应注意侧面展开图求面积应注意侧面展开图, ,上下面圆的周长是展开图的弧长上下面圆的周长是展开图的弧长. . 圆台通常还要还原为圆锥圆台通常还要还原为圆锥. . 解析解析: :由题中三视图可知由题中
10、三视图可知, ,该多面体是棱长为该多面体是棱长为 2 2 的正方体去掉两个全等的三棱的正方体去掉两个全等的三棱 锥后得到的几何体锥后得到的几何体, ,因此其表面积为因此其表面积为 6 62 22 2- -6 6 1 2 1 11+21+2 3 4 ( (2) ) 2 2 =21+=21+3, ,故选故选 A.A. 即时训练即时训练 1 1 1:(20141:(2014 高考安徽卷高考安徽卷) )一个多面体的三视图如图所示一个多面体的三视图如图所示, ,则该多面体则该多面体 的表面积为的表面积为( ( ) ) (A)21+(A)21+3 (B)18+(B)18+3 (C)21(C)21 (D)1
11、8(D)18 空间几何体的体积空间几何体的体积 题型二题型二 【例例2 2】 (2015(2015大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )如图如图, ,已知正四棱锥已知正四棱锥 V V- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是正方形是正方形,AC,AC与与BDBD交于点交于点M,VMM,VM是棱锥的是棱锥的 高高, ,若若AC=6 cm,VC=5 cm,AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥求正四棱锥V V- -ABCDABCD的体积的体积. . 解解: :因为四棱锥因为四棱锥 V V ABCDABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 是正方形是正方形,
12、 ,且对角线且对角线 AC=6 cm,AC=6 cm, 所以所以 BD=6 cm,BD=6 cm,且且 ACACBD,BD,所以所以 S SABCD ABCD= = 1 2 ACACBD=BD= 1 2 6 66=18(cm6=18(cm 2 2), ), 因为因为 VMVM 是棱锥的高是棱锥的高, ,且且 VC=5 cm,VC=5 cm, 所以所以 RtRtVMCVMC 中中,VM=,VM= 22 VCMC= = 22 53=4 (cm),=4 (cm), 所以正四棱锥所以正四棱锥 V V ABCDABCD 的体积为的体积为 V=V= 1 3 S SABCD ABCDVM=VM= 1 3 1
13、8184=24 (cm4=24 (cm 3 3). ). 题后反思题后反思 (1)(1)常见的求几何体体积的方法常见的求几何体体积的方法 公式法公式法: :直接代入公式求解直接代入公式求解. . 等积法等积法: :如四面体的任何一个面都可以作为底面如四面体的任何一个面都可以作为底面, ,只需选用底面积和高都只需选用底面积和高都 易求的形式即可易求的形式即可. . 分割法分割法: :将几何体分割成易求解的几部分将几何体分割成易求解的几部分, ,分别求体积分别求体积. . (2)(2)求几何体体积时需注意的问题求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算柱、锥、台的体积的计算, ,一般要找出
14、相应的底面和高一般要找出相应的底面和高, ,要充分利用截面、要充分利用截面、 轴截面轴截面, ,求出所需要的量求出所需要的量, ,最后代入公式计算最后代入公式计算. . 即时训练即时训练2 2- -1:(20151:(2015吕梁学院附中高二吕梁学院附中高二( (上上) )月考月考) )如图所示如图所示, ,则这个几何则这个几何 体的体积等于体的体积等于( ( ) ) (A)4(A)4 (B)6(B)6 (C)8(C)8 (D)12(D)12 解析解析: :由三视图复原几何体由三视图复原几何体, ,如图如图. .它的底面是直角梯形它的底面是直角梯形, ,一条侧棱垂直底面且一条侧棱垂直底面且 高
15、为高为 2 2 的四棱锥的四棱锥, , 其体积其体积 V=V= 1 3 24 2 2 22=4,2=4, 故选故选 A.A. 组合体的表面积与体积组合体的表面积与体积 题型三题型三 【例例3 3】 (2015(2015吕梁学院附中高二吕梁学院附中高二( (上上) )月考月考) )如图如图, ,已知某几何体的三视图如已知某几何体的三视图如 图图( (单位单位:cm).:cm). (1)(1)画出这个几何体的直观图画出这个几何体的直观图( (不要求写画法不要求写画法);); (2)(2)求这个几何体的表面积及体积求这个几何体的表面积及体积. . (2)(2)这个几何体可看成是正方体这个几何体可看成
16、是正方体 ACAC1 1及三棱柱及三棱柱 B B1 1C C1 1Q Q A A1 1D D1 1P P 的组合体的组合体. . 由由 PAPA1 1=PD=PD1 1= =2,A,A1 1D D1 1=AD=2,=AD=2,可得可得 PAPA1 1PDPD1 1. . 故所求几何体的表面积故所求几何体的表面积 S=5S=52 2 2 2+2 +2 1 2 2 21+21+222=22+42=22+42 (cm (cm 2 2), ), 所求几何体的体积所求几何体的体积 V=2V=2 3 3+ + 1 2 ( (2) ) 2 2 2=10(cm2=10(cm 3 3). ). 解解: :(1)
17、(1)这个几何体的直观图如图所示这个几何体的直观图如图所示. . 题后题后反思反思 求组合体表面积与体积时应注意的问题求组合体表面积与体积时应注意的问题 (1)(1)首先应弄清它的组成首先应弄清它的组成, ,其表面有哪些底面和侧面其表面有哪些底面和侧面, ,各个面应怎样求其面积各个面应怎样求其面积, , 然后把这些面的面积相加或相减然后把这些面的面积相加或相减; ;求体积时也要先弄清组成求体积时也要先弄清组成, ,求出各简单几求出各简单几 何体的体积何体的体积, ,然后再相加或相减然后再相加或相减. . (2)(2)在求组合体的表面积、体积时要注意在求组合体的表面积、体积时要注意“表面表面(
18、(和外界直接接触的面和外界直接接触的面) )”与与 “体积体积( (几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小) )”的定义的定义, ,以确保不重复、不遗漏以确保不重复、不遗漏. . 即时训练即时训练 3 3 1:(20151:(2015 山西山大附中高二山西山大附中高二( (上上) )月考月考) )一个几何体的三视图如图一个几何体的三视图如图 所示所示, ,且其侧视图是一个等边三角形且其侧视图是一个等边三角形, ,则这个几何体的体积为则这个几何体的体积为( ( ) ) (A)(A) 43 3 (B)(4+(B)(4+) )3 (C)(C) 83 2 (D)(D) 83 6 解析解析: :由三视
19、图知由三视图知, ,几何体是一个组合体几何体是一个组合体, , 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, , 圆锥的底面直径和母线长都是圆锥的底面直径和母线长都是 2,2, 四棱锥的底面是一个边长是四棱锥的底面是一个边长是 2 2 的正方形的正方形, , 四棱锥的高与圆锥的高相同四棱锥的高与圆锥的高相同, ,高是高是 22 21= =3, , 所以几何体的体积是所以几何体的体积是 1 2 1 3 3+ + 1 3 2 22 23= = 8 3+ 3 6 , ,故选故选 D.D. 【备用例题】【备用例题】 (2015 (2015 安庆市石化一中高二安庆市石化
20、一中高二( (上上) )期中期中) )已知正方体已知正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, , E,FE,F 是是 BDBD 上的动点上的动点,P,P 是是 ADAD1 1上的动点上的动点, ,则则( ( ) ) (A)(A) 1 C C EF V = = 1 A C EF V = = 1 P C EF V (B)(B) 1 C C EF V = = 1 A C EF V 1 P C EF V (D)(D) 1 C C EF V 1 A C EF V 1 P C EF V 解析解析: :如图如图(1),(1), 1 C C EF V = = 1 CCEF
21、V = = 1 3 S S CEFCEFAAAA1 1. . 如图如图(2),(2),在平面在平面 ABCDABCD 中中, ,点点 A A 到到 BDBD 的距离与点的距离与点 C C 到到 BDBD 的距离相等的距离相等. . S S AEFAEF=S=SCEFCEF. . 1 A C EF V = = 1 CAEF V = = 1 3 S S AEFAEFAAAA1 1. . 如图如图(3),(3),点点 P P 是是 ADAD1 1上的点上的点, ,当点当点 P P 与与 A A 重合时重合时, , 1 P C EF V = = 1 A C EF V . . (1)(1) (2)(2) (3)(3) 由于由于 A A 到平面到平面 C C1 1EFEF 的距离等于的距离等于 P P 到平面到平面 C C1 1EFEF 的距离的距离 所以所以 1 P C EF V = = 1 A C EF V , ,选选 A.A. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
