1、第三章第三章 直线与方程直线与方程 3.13.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3.1.13.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.理解直线的倾斜角与斜率的概念理解直线的倾斜角与斜率的概念. . 2.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系掌握倾斜角与斜率的对应关系. . 3.3.掌握过两点的直线的斜率公式掌握过两点的直线的斜率公式. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角 (1)(1)直线直线l l的倾斜角的定义的倾斜角的定义 当直线当直线l l与与x x轴相交时轴相交时, ,我们取我们取x x轴作为基
2、准轴作为基准, , 正向与直线正向与直线l l 方向方向 之间所成的角之间所成的角 叫做直线叫做直线l l的倾斜角的倾斜角. . (2)(2)倾斜角的范围倾斜角的范围: : 当直线当直线l l与与x x轴轴 时时, ,我们规定它的倾斜角为我们规定它的倾斜角为0 0. .因此因此, ,直线的直线的 倾斜角倾斜角 的取值范围为的取值范围为 . . x x轴轴 向上向上 平行或重合平行或重合 0 0 0 不存在不存在 k0时时, , 的范围是的范围是 ; ;当当k0 时时, , 0 02 2 3 3 (B)(B)1 1 3 3 2 2 (C)(C)2 2 3 3 1 1 (D)(D)3 3 2 2
3、1 1 (2)(2)已知直线已知直线 l l 的倾斜角的倾斜角 =30=30, ,则其斜率则其斜率 k=k= . .若若 k=k=- - 3 3 , ,则其倾斜则其倾斜 角为角为 . . 解析解析: :(1)(1)由倾斜角的定义易知由倾斜角的定义易知,l,l2 2的倾斜角的倾斜角2 2=90=90, , 1 190, , 所以所以3 3 2 2 1 1. .故选故选 D.D. (2)(2)当当=30=30时时,k=tan 30,k=tan 30= = 3 3 ; ; 当当 k=k=- - 3 3 时时, ,其倾斜角为其倾斜角为 180180- -3030=150=150. . 答案答案: :(
4、1)D(1)D (2)(2) 3 3 150150 【备用例【备用例 1 1】 设直线设直线 l l 过原点过原点, ,其倾斜角为其倾斜角为 , ,将直线将直线 l l 绕坐标原点沿逆时针绕坐标原点沿逆时针 方向旋转方向旋转 4545, ,得到直线得到直线 l l1 1, ,则直线则直线 l l1 1的倾斜角为的倾斜角为( ( ) ) (A)(A) +45+45 (B)(B) - -135135 (C)135(C)135- - (D)(D)当当 0 0 1 时时,k=,k= 1 1m 0,0,所以直线的倾斜角的取值范围是所以直线的倾斜角的取值范围是 0 0 9090. . 当当 m1m1 时时
5、,k=,k= 1 1m 0,0,所以直线的倾斜角的取值范围是所以直线的倾斜角的取值范围是 9090 180180. . 【备用例【备用例2 2】 求经过求经过A(m,3),B(1,2)A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率两点的直线的斜率, ,并指出倾斜角并指出倾斜角 的取值范围的取值范围. . 直线的斜率的应用直线的斜率的应用 题型三题型三 解解: :如图所示如图所示, ,直线直线l l绕着绕着P P点点, ,从从PAPA旋转到旋转到PBPB时时, ,与线段与线段ABAB相交相交, , 又因为又因为 PAPA 的斜率的斜率 k kPA PA= = 23 12 =5,=5, PBPB 的斜
6、率的斜率 k kPB PB= = 20 13 = =- - 1 2 , , 所以直线所以直线 l l 的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是（- -, ,- - 1 2 5,+5,+).). 【例例3 3】 已知直线已知直线l l过点过点P(P(- -1,2),1,2),且与以且与以A(A(- -2,2,- -3),B(3,0)3),B(3,0)为端点的线段相为端点的线段相 交交, ,求直线求直线l l的斜率的取值范围的斜率的取值范围. . 题后题后反思反思 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时, ,一般按一般按 以下规律求解以下规律求解.
7、 . 直线绕定点由与直线绕定点由与x x轴平行轴平行( (或重合或重合) )位置按逆时针方向旋转到与位置按逆时针方向旋转到与y y轴平行轴平行( (或重或重 合合) )时时, ,斜率由斜率由0 0逐渐增大到逐渐增大到+;+;按顺时针方向时按顺时针方向时, ,斜率由斜率由0 0逐渐减小到逐渐减小到- -. 这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系, ,也可以定量求解斜率和倾斜角也可以定量求解斜率和倾斜角 的取值范围的取值范围. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:过点过点 P(0,P(0,- -2)2)的直线的直线 l l 与以与以 A(1,1)A(1,1)
8、、 B(B(- -2,3)2,3)为端点的线段有为端点的线段有 公共点公共点, ,则直线则直线 l l 的斜率的斜率 k k 的取值范围是的取值范围是( ( ) ) (A)(A) - - 5 2 ,3,3 (B)(B)( (- -, ,- - 5 2 3,+3,+) ) (C)(C) - - 3 2 ,1,1 (D)(D) - -, ,- - 3 2 1,+1,+) ) 解析解析: :k kPA PA=3,k=3,kPBPB= =- - 5 2 , ,如图如图, , 当当 l l 与线段与线段 ABAB 有公共点时有公共点时,k,k3 3 或或 k k- - 5 2 . . 故选故选 B.B.
9、 证明证明: :因为因为 A(0,A(0,- -1),B(1,2),C(2,5),1),B(1,2),C(2,5), 所以所以 k kAB AB= = 21 10 =3,k=3,kAC AC= = 51 20 =3.=3. 所以所以 k kAB AB=k=kACAC. . 因为直线因为直线 ABAB 与直线与直线 ACAC 的倾斜角相同且过同一点的倾斜角相同且过同一点 A,A, 所以直线所以直线 ABAB 与直线与直线 ACAC 为同一直线为同一直线, ,故故 A,B,CA,B,C 三点在同一直线上三点在同一直线上. . 【备用例备用例3 3】 已知三点已知三点A(0,A(0,- -1),B(1,2),C(2,5).1),B(1,2),C(2,5). 求证求证: :三点在同一直线上三点在同一直线上. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
