1、3.3.33.3.3 点到直线的距离点到直线的距离 3.3.43.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握点到直线的距离公式掌握点到直线的距离公式. . 2.2.能用公式求点到直线的距离能用公式求点到直线的距离. . 3.3.会求两条平行直线间的距离会求两条平行直线间的距离. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.点到直线的距离点到直线的距离 (1)(1)点到直线的距离公式点到直线的距离公式: :点点 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线 l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0 的
2、距离为的距离为 d=d= 00 22 AxByC AB ( (当当 A=0,A=0,或或 B=0B=0 时时, ,也成立也成立).). (2)(2)几种特殊情况下的点到直线距离几种特殊情况下的点到直线距离: :点点 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到到 x x 轴的距离轴的距离 d=|yd=|y0 0|;|; 点点 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到到 y y 轴的距离轴的距离 d=|xd=|x0 0|;|; 点点 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到与到与 x x 轴平行的直线轴平行的直线 y=a(ay=a(a0)0)的距离的距离 d=|yd=|y0
3、0- -a|;a|; 点点 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到与到与 y y 轴平行的直线轴平行的直线 x=b(bx=b(b0)0)的距离的距离 d=|xd=|x0 0- -b|.b|. 2.2.两条平行直线之间的距离两条平行直线之间的距离 两条平行直线两条平行直线 l l1 1:Ax+By+C:Ax+By+C1 1=0,l=0,l2 2:Ax+By+C:Ax+By+C2 2=0(C=0(C1 1C C2 2) )之间的距离之间的距离 d=d= 12 22 CC AB . . 自我检测自我检测 1.(1.(点到直线的距离点到直线的距离) )点点(1,(1,- -1)1)到直线到直
4、线 x x- -y+1=0y+1=0 的距离是的距离是( ( ) ) (A)3(A)32 (B)(B) 2 2 (C)3(C)3 (D)(D) 3 2 2 D D 2.(2.(点到直线的距离点到直线的距离) )点点(0,5)(0,5)到直线到直线 y=2xy=2x 的距离是的距离是( ( ) ) (A)(A) 5 2 (B)(B)5 (C)(C) 3 2 (D)(D) 5 2 B B 3.(3.(两平行线间的距离两平行线间的距离) )两平行直线两平行直线 x+y+1=0x+y+1=0 与与 x+y+3=0x+y+3=0 之间的距离为之间的距离为( ( ) ) (A)2(A)2 (B)(B)2
5、(C)3(C)3 (D)(D)3 B B 4.(4.(两平行线间的距离两平行线间的距离) )直线直线y=2xy=2x与直线与直线y=2x+5y=2x+5间的距离是间的距离是 . . 答案答案: :5 5.(5.(点到直线的距离点到直线的距离) )若若 P(0,a)P(0,a)到直线到直线 x+yx+y- -1=01=0 的距离为的距离为2, ,则则 a=a= . . 答案答案: :3 3或或- -1 1 课堂探究课堂探究 点到直线的距离点到直线的距离 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗? ? 提示
6、提示: :公式中直线方程必须为一般式公式中直线方程必须为一般式, ,如果不是如果不是, ,必须先将方程化为一必须先将方程化为一 般式方程般式方程, ,再利用公式求距离再利用公式求距离. . 2.2.点到直线的距离公式对于点到直线的距离公式对于A=0,B0A=0,B0或或A0,B=0A0,B=0或或P P点在直线点在直线l l上的上的 情况是否适用情况是否适用? ? 提示提示: :适用适用. . 解解: :(1)(1)直线直线 y=y= 3 4 x+x+ 1 4 化为一般式为化为一般式为 3x3x- -4y+1=0,4y+1=0,由点到直线的距离公式由点到直线的距离公式 可得可得 d=d= 2
7、2 3 3421 34 = = 18 5 . . 【例【例 1 1】 求点求点 P(3,P(3,- -2)2)到下列直线的距离到下列直线的距离: : (1)y=(1)y= 3 4 x+x+ 1 4 ;(2)y=6;(3)x=4.;(2)y=6;(3)x=4. (2)(2)因为直线因为直线y=6y=6与与y y轴垂直轴垂直, ,所以点所以点P P到它的距离到它的距离d=|d=|- -2 2- -6|=8.6|=8. (3)(3)因为直线因为直线x=4x=4与与x x轴垂直轴垂直, ,所以点所以点P P到它的距离到它的距离d=|3d=|3- -4|=1.4|=1. 题后反思题后反思 应用点到直线的
8、距离公式应注意的三个问题应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)(1)直线方程应为一般式直线方程应为一般式, ,若给出其他形式应化为一般式若给出其他形式应化为一般式. . (2)(2)点点P P在直线在直线l l上时上时, ,点到直线的距离为点到直线的距离为0,0,公式仍然适用公式仍然适用. . (3)(3)直线方程直线方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中,A=0,A=0或或B=0B=0公式也成立公式也成立, ,但由于直线是特殊但由于直线是特殊 直线直线( (与坐标轴垂直与坐标轴垂直),),故也可用数形结合求解故也可用数形结合求解. . 解析解析: :由题意由题意, ,得得 91
9、67 5 = = 1847 5 m , , 得得 m=m= 7 4 或或 m=m=- - 29 4 . . 即时训练即时训练1 1- -1:(20151:(2015江西广昌一中月考江西广昌一中月考) )已知点已知点A(3,4),B(6,m)A(3,4),B(6,m)到直线到直线 3x+4y3x+4y- -7=07=0的距离相等的距离相等, ,则实数则实数m=m= . . 答案答案: : 7 4 或或- - 29 4 解析解析: :显然直线显然直线 l l 的斜率存在的斜率存在, ,设所求直线方程为设所求直线方程为 y y- -1=k(x1=k(x- -1),1),即即 kxkx- -y+1y+
10、1- -k=0.k=0. 由题意由题意, ,得得 2 2 241 1 kk k = =5. .得得 k=k=- -2,2,或或 k=k= 1 2 . . 所以所求直线方程为所以所求直线方程为 2x+y2x+y- -3=0,3=0,或或 x x- -2y+1=0,2y+1=0,故选故选 D.D. 【备用例【备用例 1 1】 (2015(2015 蚌埠一中月考蚌埠一中月考) )过点过点 A(1,1)A(1,1)的直线的直线 l l 与点与点 B(2,4)B(2,4)的距的距 离为离为5, ,则此直线则此直线 l l 的方程为的方程为( ( ) ) (A)x+2y(A)x+2y- -3=03=0 (
11、B)x(B)x- -2y+1=02y+1=0 (C)x+2y(C)x+2y- -3=03=0 或或 x x- -2y+1=0(D)x2y+1=0(D)x- -2y+1=02y+1=0 或或 2x+y2x+y- -3=03=0 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 题型二题型二 解析解析: :(1)(1)因为两直线平行因为两直线平行, ,所以所以 m=2.m=2. 法一法一 在直线在直线 3x+y3x+y- -3=03=0 上取点上取点(0,3),(0,3),代入点到直线的距离公式代入点到直线的距离公式, ,得得 d=d= 22 6 02 3 1 62 = = 7 10 20 , ,选选 D
12、.D. 【例【例 2 2】 (1) (1)两直线两直线 3x+y3x+y- -3=03=0 与与 6x+my+1=06x+my+1=0 平行平行, ,则它们之间的距离为则它们之间的距离为( ( ) ) (A)4(A)4 (B)(B) 2 13 13 (C) (C) 5 13 26 (D) (D) 7 10 20 (2)(2)与直线与直线 x x- -y+1=0y+1=0 的距离为的距离为2的直线的直线 l l 的方程是的方程是 . . 法二法二 将将 6x+2y+1=06x+2y+1=0 化为化为 3x+y+3x+y+ 1 2 =0,=0,由两条平行线间的距离公式得由两条平行线间的距离公式得
13、d=d= 22 1 3 2 31 = = 7 10 20 , ,选选 D.D. (2)(2)由于所求直线与直线由于所求直线与直线 x x- -y+1=0y+1=0 平行平行, , 设所求直线为设所求直线为 x x- -y+c=0(cy+c=0(c1).1). 又两平行直线间的距离为又两平行直线间的距离为2, , 所以所以 2 2 1 11 c = =2, , 解得解得 c=c=- -1 1 或或 c=3.c=3. 故直线故直线 l l 的方程为的方程为 x x- -y y- -1=01=0 或或 x x- -y+3=0.y+3=0. 答案答案: : (1)D(1)D (2)x(2)x- -y
14、y- -1=01=0或或x x- -y+3=0y+3=0 题后反思题后反思 求两平行线间距离一般有两种方法求两平行线间距离一般有两种方法: : (1)(1)转化法转化法: :将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一 条直线的距离条直线的距离. .由于这种求法与点的选择无关由于这种求法与点的选择无关, ,因此因此, ,选点时选点时, ,常选取一个常选取一个 特殊点特殊点, ,如直线与坐标轴的交点等如直线与坐标轴的交点等, ,以便于运算以便于运算. . (2)(2)公式法公式法: :直接用公式直接用公式 d=d= 12 22 CC A
15、B , ,但要注意两直线方程中但要注意两直线方程中x,yx,y 的的 系数必须分别相同系数必须分别相同. . 解析解析: :根据题意可设所求直线方程为根据题意可设所求直线方程为 2x+y+c=0,2x+y+c=0, 因为两直线间的距离等于因为两直线间的距离等于 5 5 , , 所以所以 d=d= 22 1 21 c = = 5 5 , ,解得解得 c=0c=0 或或 c=2.c=2. 故所求直线方程为故所求直线方程为 2x+y=02x+y=0 或或 2x+y+2=0,2x+y+2=0,故选故选 D.D. 即时训练即时训练 2 2 1:1:与直线与直线 2x+y+1=02x+y+1=0 的距离等
16、于的距离等于 5 5 的直线方程为的直线方程为( ( ) ) (A)2x+y=0(A)2x+y=0 (B)2x+y(B)2x+y- -2=02=0 (C)2x+y=0(C)2x+y=0 或或 2x+y2x+y- -2=02=0 (D)2x+y=0(D)2x+y=0 或或 2x+y+2=02x+y+2=0 距离公式的综合应用距离公式的综合应用 题型三题型三 解解: :法一法一 当直线斜率不存在时当直线斜率不存在时, ,即即 x=1,x=1,显然符合题意显然符合题意. .当直线斜当直线斜 率存在时率存在时, ,设所求直线的斜率为设所求直线的斜率为 k,k,则直线方程为则直线方程为 y y- -2=
17、k(x2=k(x- -1).1). 由条件得由条件得 2 232 1 kk k = = 2 52 1 k k , ,解得解得 k=4,k=4, 故所求直线方程为故所求直线方程为 x=1x=1 或或 4x4x- -y y- -2=0.2=0. 【例例3 3】 求经过点求经过点P(1,2),P(1,2),且使且使A(2,3),B(0,A(2,3),B(0,- -5)5)到它的距离相等的直线到它的距离相等的直线 l l的方程的方程. . 法二法二 由平面几何知识知由平面几何知识知 l lABAB 或或 l l 过线段过线段 ABAB 的中点的中点. . 因为直线因为直线 ABAB 的斜率的斜率 k
18、kAB AB=4,=4,若若 l lAB,AB,则则 l l 的方程为的方程为 4x4x- -y y- -2=0.2=0. 若若 l l 过过 ABAB 的中点的中点(1,(1,- -1),1),则直线方程为则直线方程为 x=1,x=1, 故所求直线方程为故所求直线方程为 x=1x=1 或或 4x4x- -y y- -2=0.2=0. 题后题后反思反思 解这类题目常用的方法是待定系数法解这类题目常用的方法是待定系数法, ,即根据题意设出方程即根据题意设出方程, , 然后由题意列方程求参数然后由题意列方程求参数. .也可以应用平面几何的有关知识也可以应用平面几何的有关知识, ,判断直线判断直线l
19、 l的的 特征特征, ,然后由已知条件写出然后由已知条件写出l l的方程的方程. . 解解: :因为直线因为直线 l l 过过 P(2,P(2,- -5),5), 所以可设直线所以可设直线 l l 的方程为的方程为 y+5=k(xy+5=k(x- -2),2),即即 kxkx- -y y- -2k2k- -5=0.5=0. 所以所以 A(3,A(3,- -2)2)到直线到直线 l l 的距离为的距离为 d d1 1= = 2 3225 1 kk k = = 2 3 1 k k . . B(B(- -1,6)1,6)到直线到直线 l l 的距离为的距离为 d d2 2= = 2 1625 1 k
20、k k = = 2 311 1 k k . . 因为因为 d d1 1d d2 2=1=12,2,所以所以 3 311 k k = = 1 2 . . 化简得化简得 k k 2 2+18k+17=0. +18k+17=0.解得解得 k k1 1= =- -1,k1,k2 2= =- -17.17. 所以所求直线方程为所以所求直线方程为 x+y+3=0x+y+3=0 或或 17x+y17x+y- -29=0.29=0. 即时训练即时训练3 3- -1:(20151:(2015宝鸡园丁中学宝鸡园丁中学) )直线直线l l经过点经过点P(2,P(2,- -5),5),且到点且到点A(3,A(3,-
21、-2)2)和和 B(B(- -1,6)1,6)的距离之比为的距离之比为12,12,求直线求直线l l的方程的方程. . 解析解析: :因为因为 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -2y+2=(x2y+2=(x- -1)1) 2 2+(y +(y- -1)1) 2 2, , 所以式子所以式子 S=S= 22 11xy可看成是一个动点可看成是一个动点 M(x,y)M(x,y)到一个定到一个定 点点 N(1,1)N(1,1)的距离的距离. . 即为点即为点 N N 与直线与直线 l:x+y+1=0l:x+y+1=0 上任意一点上任意一点 M(x,y)M(x,y)的距离的距离. .
22、所以所以|MN|MN|min min=d=d= 1 1 1 2 = = 3 2 2 . . 【备用例【备用例2 2】 若实数若实数x,yx,y满足关系式满足关系式x+y+1=0,x+y+1=0,则式子则式子S=S= 22 222xyxy的的 最小值为最小值为 . . 答案答案: : 3 2 2 解解: :|AB|=|AB|= 22 12= =5, , 直线直线 ABAB 的方程为的方程为 x+x+ 2 y =1,=1,即即 2x2x- -y y- -2=0.2=0. 设设 C(a,aC(a,a 2 2), ), 则则 C C 到直线到直线 ABAB 的距离的距离 d=d= 2 22 5 aa . . 所以所以 S S ABCABC= = 1 2 |AB|AB|d=d= 1 2 |a|a 2 2- -2a+2|= 2a+2|= 1 2 (a(a- -1)1) 2 2+1 +1 1 2 . . 所以当所以当 a=1a=1 时时, ,ABCABC 的面积最小的面积最小, ,最小值为最小值为 1 2 . . 【备用例备用例3 3】 在在ABCABC中中,A(1,0),B(0,A(1,0),B(0,- -2),2),点点C C在抛物线在抛物线y=x2y=x2上上, ,求求ABCABC 面积的最小值面积的最小值. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
