1、第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.12.1.1 平平 面面 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.正确理解平面的概念正确理解平面的概念. . 2.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. . 3.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理, ,理解三个公理的地理解三个公理的地 位与作用位与作用. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.
2、平面平面 (1)(1)平面的概念平面的概念 几何里所说的“平面”几何里所说的“平面”, ,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象 出来的出来的. .几何里的平面是几何里的平面是 的的. . (2)(2)平面的画法平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形水平放置的平面通常画成一个平行四边形, ,用平行四边形表示平面用平行四边形表示平面, ,平行平行 四边形的锐角通常画成四边形的锐角通常画成 , ,且横边长等于其邻边长的且横边长等于其邻边长的 . .如图如图(1).(1). 如果一个平面被另一个平面遮挡住如果一个平面被另一个平面遮挡住, ,
3、为了增强它的立体感为了增强它的立体感, ,把被遮挡部分把被遮挡部分 用用 画出来画出来. .如图如图(2).(2). (3)(3)平面的表示平面的表示 图图(1)(1)的平面可表示为平面的平面可表示为平面ABCD,ABCD,平面平面AC,AC,平面平面BDBD或平面或平面 . .注意注意:“:“平面”平面” 二字不能省略二字不能省略. . 无限延展无限延展 4545 2 2倍倍 虚线虚线 2.2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达文字语言表达 图形语言表达图形语言表达 符号语言表达符号语言表达 点点 A A 在直线在直线 l l 上上 A
4、 Al l 点点 A A 在直线在直线 l l 外外 A A l l 点点 A A 在平面在平面内内 A A 点点 A A 在平面在平面外外 A A 直线直线 l l 在平面在平面内内 l l 直线直线 l l 在平面在平面外外 l l 平面平面, ,相交于相交于 l l =l=l 3.3.平面的基本性质平面的基本性质 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 公公 理理 1 1 如果一条直线上的如果一条直线上的 在一在一 个平面内个平面内, ,那么这条直线在此平那么这条直线在此平 面内面内 A Al,Bl,Bl,l,且且 A A,B,B l l 公公 理理 2 2 过过 的三点的
5、三点, , 有且只有一个平面有且只有一个平面 A,B,CA,B,C 三点不共线三点不共线存在存在 惟一的平面惟一的平面, ,使使 A,B,CA,B,C 公公 理理 3 3 如果两个不重合的平面有如果两个不重合的平面有 公共点公共点, ,那么它们有且只有一条那么它们有且只有一条 的公共直线的公共直线 P P,P,P =l,=l,且且 P Pl l 两点两点 不在一条直线上不在一条直线上 一个一个 过该点过该点 自我检测自我检测 1 1.(.(符号表示符号表示) )下列符号表述中下列符号表述中, ,错误的是错误的是( ( ) ) (A)Ab(A)Ab (B)A(B)A (C)a (C)a (D)P
6、(D)P( ) ) 2.(2.(公理公理2)(20152)(2015蚌埠市五河高中高二蚌埠市五河高中高二( (上上) )期中期中) )三条两两平行的直线可以三条两两平行的直线可以 确定平面的个数为确定平面的个数为( ( ) ) (A)0(A)0 (B)1(B)1 (C)0(C)0或或1 1 (D)1(D)1或或3 3 3.(3.(符号表示符号表示) )如图所示如图所示, ,用符号语言可表达为用符号语言可表达为( ( ) ) (A)(A) =m,n=m,n ,mn=A,mn=A (B)(B) =m,n=m,n ,mn=A,mn=A (C)(C) =m,n=m,n ,A,A m,Am,A n n
7、(D)(D) =m,n=m,n ,Am,An,Am,An 4.(4.(平面的概念平面的概念)(2015)(2015运城市康杰中学高二运城市康杰中学高二( (上上) )期中期中) )三个平面将空间最三个平面将空间最 多能分成多能分成( ( ) ) (A)6(A)6部分部分 (B)7(B)7部分部分 (C)8(C)8部分部分 (D)9(D)9部分部分 C C D D A A C C 5.(5.(公理公理1)1)点点M M在直线在直线l l上上,M,M不在平面不在平面 内内, ,则则l l与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 个个. . 答案答案: :0 0或或1 1 6.(6.(公理公理
8、3)3)如图如图, ,已知已知D,ED,E是是ABCABC的边的边AC,BCAC,BC上的点上的点, ,平面平面 经过经过D,ED,E两点两点, ,若若 直线直线ABAB与平面与平面 的交点是的交点是P,P,则点则点P P与直线与直线DEDE的位置关系是的位置关系是 . . 答案答案: :点点P P在直线在直线DEDE上上 课堂探究课堂探究 文字语言、图形语言、符号语言的转换文字语言、图形语言、符号语言的转换 题型一题型一 【例例1 1】 完成下列各题完成下列各题: : (1)(1)将下列文字语言转换为符号语言将下列文字语言转换为符号语言. . 点点A A在平面在平面 内内, ,但不在平面但不
9、在平面 内内. . 直线直线a a经过平面经过平面 外一点外一点M.M. 直线直线l l在平面在平面 内内, ,又在平面又在平面 内内( (即平面即平面 和平面和平面 相交于直线相交于直线l).l). (2)(2)将下列符号语言转换为图形语言将下列符号语言转换为图形语言. . a a ,b,b =A,A=A,A a.a. =c,a=c,a ,b,b ,ac,bc=P.,ac,bc=P. 解解: : (1)(1)A,AA,A .Ma,MMa,M .=l.=l. (2)(2) 题后反思题后反思 实现三种语言转换要注意实现三种语言转换要注意 (1)(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时用文字语言、
10、符号语言表示一个图形时, ,首先仔细观察图形有几个平首先仔细观察图形有几个平 面、几条直线且相互之间的位置关系如何面、几条直线且相互之间的位置关系如何, ,试着用文字语言表示试着用文字语言表示, ,再用符再用符 号语言表示号语言表示. . (2)(2)符号语言的意义符号语言的意义. .如点与直线的位置关系只能用如点与直线的位置关系只能用“”或或“ ”, ,直线直线 与平面的位置关系只能用与平面的位置关系只能用“ ”或或“ ”. . (3)(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时由符号语言或文字语言画相应的图形时, ,要注意把被遮挡的部分画成要注意把被遮挡的部分画成 虚线虚线. . 即时训练即时
11、训练1 1- -1 1:(1):(1)下列四个选项中的图形表示两个相交平面下列四个选项中的图形表示两个相交平面, ,其中画法正确的其中画法正确的 是是( ( ) ) (2)(2)如图如图, ,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. . 解解: : (1)(1)在立体几何中凡是被遮挡的线都画成虚线在立体几何中凡是被遮挡的线都画成虚线. .故选故选D.D. (2)(2)在中在中,=l,a=A,a=B.,=l,a=A,a=B.在中在中,=l,a,=l,a , b b ,al=P,bl=P.,al=P,bl=P. 点线共面点线共面 题型二题型
12、二 【教师备用教师备用】 1.1.过直线与直线外一点能否惟一确定一平面过直线与直线外一点能否惟一确定一平面? ? 2.2.两条相交直线能否惟一确定一平面两条相交直线能否惟一确定一平面? ?两条平行直线呢两条平行直线呢? ? 提示提示: :由公理由公理2,2,易证明上述三个问题中易证明上述三个问题中, ,均能惟一确定一平面均能惟一确定一平面. . 【例例2 2】 如图如图,l,l1 1ll2 2=A,l=A,l2 2ll3 3=B,l=B,l1 1ll3 3=C,=C,求证直线求证直线l l1 1、l l2 2、l l3 3在同一在同一 平面内平面内. . 证明证明: :法一法一 ( (纳入法纳
13、入法) ) 因为因为l l1 1ll2 2=A,=A,所以所以l l1 1和和l l2 2在同一平面在同一平面内内. . 因为因为l l2 2ll3 3=B,=B,所以所以BlBl2 2. .又因为又因为l l2 2 ,所以所以B.B.同理可证同理可证C.C. 又因为又因为BlBl3 3,Cl,Cl3 3, ,所以所以l l3 3 .所以直线所以直线l l1 1、l l2 2、l l3 3在同一平面内在同一平面内. . 法二法二 ( (重合法重合法) ) 因为因为l l1 1ll2 2=A,=A,所以所以l l1 1、l l2 2确定一个平面确定一个平面. 因为因为l l2 2ll3 3=B,
14、=B,所以所以l l2 2、l l3 3确定一个平面确定一个平面. 因为因为AlAl2 2,l,l2 2 ,所以所以A.A.因为因为AlAl2 2,l,l2 2 ,所以所以A.A. 同理可证同理可证B,B,C,C.B,B,C,C. 所以不共线的三个点所以不共线的三个点A A、B B、C C既在平面既在平面内内, ,又在平面又在平面内内. . 所以平面所以平面和和重合重合, ,即直线即直线l l1 1、l l2 2、l l3 3在同一平面内在同一平面内. . 题后题后反思反思 证明点线共面问题的理论依据是公理证明点线共面问题的理论依据是公理2,2,常用方法有常用方法有: : (1)(1)纳入法纳
15、入法: :先由部分直线确定一个平面先由部分直线确定一个平面, ,再证明其他直线在这个平面内再证明其他直线在这个平面内. . (2)(2)重合法重合法: :先说明一些直线在一个平面内先说明一些直线在一个平面内, ,另一些直线在另一个平面内另一些直线在另一个平面内, ,再再 证明两个平面重合证明两个平面重合. . 即时训练即时训练 2 2 1:1:已知直线已知直线 a ab bc,c,直线直线 l la=A,la=A,lb=B,lb=B,lc=C,c=C,求证求证:a,b,c,l:a,b,c,l 共面共面. . 证明证明: :如图所示如图所示. . 因为因为ab,ab, 所以所以a,ba,b可确定
16、一个平面可确定一个平面. 又因为又因为la=A,lb=B,la=A,lb=B, 所以所以Aa,Bb,A,B,Aa,Bb,A,B,所以所以ABAB , 又又Al,Bl,Al,Bl,所以所以l l . 又因为又因为bc,bc,所以所以b,cb,c可确定一个平面可确定一个平面.同理同理l l . 因为平面因为平面,均经过直线均经过直线b,l,b,l,且且b b和和l l是两条相交直线是两条相交直线, , 所以所以l l与与b b确定的平面是惟一的确定的平面是惟一的, , 所以所以a,b,c,la,b,c,l四线共面四线共面. . 【备用例【备用例 1 1】 已知在正方体已知在正方体 ABCDABCD
17、 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. . (1)AA(1)AA1 1与与 CCCC1 1是否在同一平面内是否在同一平面内? ? (2)(2)点点 B,CB,C1 1,D,D 是否在同一平面内是否在同一平面内? ? (3)(3)画出平面画出平面 ACCACC1 1A A1 1与平面与平面 BCBC1 1D D 的交线的交线, ,平面平面 ACDACD1 1与平面与平面 BDCBDC1 1的交线的交线. . 解解: :(1)(1)如图所示如图所示, ,在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , 因为因为 AAAA1 1CCCC
18、1 1, ,所以所以 AAAA1 1与与 CCCC1 1可确定平面可确定平面 ACCACC1 1A A1 1, , 所以所以 AAAA1 1与与 CCCC1 1在同一平面内在同一平面内. . (2)(2)因为点因为点B,CB,C1 1,D,D不共线不共线, ,所以所以B,CB,C1 1,D,D可确定平面可确定平面BCBC1 1D,D,所以点所以点 B,CB,C1 1,D,D在同一平面内在同一平面内. . (3)(3)因为因为ACBD=O,DACBD=O,D1 1CDCCDC1 1=E,=E, 所以所以OO平面平面ACCACC1 1A A1 1, ,且且OO平面平面BCBC1 1D.D. 又又C
19、 C1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1, ,且且C C1 1平面平面BCBC1 1D,D, 所以平面所以平面ACCACC1 1A A1 1平面平面BCBC1 1D=OCD=OC1 1. .同理平面同理平面ACDACD1 1平面平面BDCBDC1 1=OE.=OE. 多点共线、多线共点问题多点共线、多线共点问题 题型三题型三 【例【例 3 3】 如图所示如图所示, ,在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E 为为 ABAB 的中点的中点,F,F 为为 AAAA1 1的中的中 点点. .求证求证:CE:CE、D D1 1F F、DA
20、DA 三线交于一点三线交于一点. . 证明证明: :连接连接 EFEF、D D1 1C C、A A1 1B,B,因为因为 E E 为为 ABAB 的中点的中点,F,F 为为 AAAA1 1的中点的中点, , 所以所以 EFEF 1 2 A A1 1B.B.又因为又因为 A A1 1B BD D1 1C,C,所以所以 EFEF 1 2 D D1 1C,C, 所以所以 E E、F F、D D1 1、C C 四点共面四点共面, ,可设可设 D D1 1F FCE=P.CE=P. 又又 D D1 1F F 平面平面 A A1 1D D1 1DA,CEDA,CE 平面平面 ABCD,ABCD, 所以点所
21、以点 P P 为平面为平面 A A1 1D D1 1DADA 与平面与平面 ABCDABCD 的公共点的公共点. . 又因为平面又因为平面 A A1 1D D1 1DADA平面平面 ABCD=DA,ABCD=DA,所以据公理所以据公理 3 3 可得可得 P PDA,DA,即即 CECE、D D1 1F F、DADA 三线交于一点三线交于一点. . 题后题后反思反思 (1)(1)证明三线共点常用的方法证明三线共点常用的方法: : 先证明两条直线相交于一点先证明两条直线相交于一点, ,然后证明这个点在两个平面内然后证明这个点在两个平面内, ,第三条线是这第三条线是这 两个平面的交线两个平面的交线,
22、 ,于是该点在第三条直线上于是该点在第三条直线上, ,从而得到三线共点从而得到三线共点. .也可以先证也可以先证 明明a a、b b相交于一点相交于一点A,bA,b与与c c相交于一点相交于一点B,B,再证明再证明A A、B B是同一点是同一点, ,从而得到从而得到a a、 b b、c c三线共点三线共点. . (2)(2)类比线共点的证明方法类比线共点的证明方法, ,可得到三点共线的证明方法可得到三点共线的证明方法: : 首先找出两个平面的交线首先找出两个平面的交线, ,然后证明这三点都是这两个平面的公共点然后证明这三点都是这两个平面的公共点, ,根根 据公理据公理3,3,可推知这些点都在交
23、线上可推知这些点都在交线上, ,即三点共线即三点共线. . 选择其中两点确定一条直线选择其中两点确定一条直线, ,然后证明第三个点也在这条直线上然后证明第三个点也在这条直线上. . 即时训练即时训练3 3 1:1:在长方体在长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,O,O1 1是是A A1 1C C1 1与与B B1 1D D1 1的交点的交点, ,长方体体对长方体体对 角线角线 A A1 1C C 交截面交截面 ABAB1 1D D1 1于点于点 P.P.求证求证:O:O1 1,P,A,P,A 三点在同一条直线上三点在同一条直线上. . 证明证明: :因为
24、因为O O1 1平面平面ABAB1 1D D1 1,O,O1 1平面平面AAAA1 1C C1 1C,AC,A平面平面ABAB1 1D D1 1,A,A平面平面AAAA1 1C C1 1C,C, 又因为又因为A A1 1CC平面平面ABAB1 1D D1 1=P.=P.所以所以PP直线直线A A1 1C,PC,P平面平面ABAB1 1D D1 1, ,所以所以PP平面平面 AAAA1 1C C1 1C,C,所以所以PP直线直线AOAO1 1, ,即即O O1 1、P P、A A三点在同一条直线上三点在同一条直线上. . 【备用例【备用例 2 2】 如图如图, ,空间四边形空间四边形 ABCDA
25、BCD 中中,E,E、H H 分别是分别是 ABAB、ADAD 中点中点,F,F、G G 分别是分别是 BCBC、 CDCD 上的点上的点, ,且且 CF CB = = CG CD = = 2 3 . . 求证求证: :三条直线三条直线 EFEF、GHGH、ACAC 交于一点交于一点. . 证明证明: :因为因为 E E、H H 分别是分别是 ABAB、ADAD 中点中点, ,所以所以 EHEH 1 2 BD,BD, 因为因为 CF CB = = CG CD = = 2 3 , ,所以所以 GFGFBD,GF=BD,GF= 2 3 BD,BD, 所以所以 EHEHGFGF 且且 EHEHGF,
26、GF,所以四边形所以四边形 EFGHEFGH 为梯形为梯形, , 所以两腰所以两腰 EFEF、GHGH 交于一点交于一点, ,记为记为 P.P. 因为因为 EFEF 平面平面 ABC,ABC,所以所以 P P平面平面 ABC,ABC, 同理同理 P P平面平面 ADC,ADC,所以所以 P P 在平面在平面 ADCADC 和平面和平面 ABCABC 的交线的交线 ACAC 上上, , 所以三条直线所以三条直线 EFEF、GHGH、ACAC 交于一点交于一点. . 【备用例【备用例 3 3】 在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E、 F
27、F 分别是分别是 CCCC1 1和和 AAAA1 1的中点的中点, ,画出平面画出平面 BEDBED1 1F F 与平面与平面 ABCDABCD 的交线的交线, ,并说明理由并说明理由. . 解解: :在平面在平面AAAA1 1D D1 1D D内内, ,延长延长D D1 1F,F, 因为因为D D1 1F F与与DADA不平行不平行, ,所以所以D D1 1F F与与DADA必相交于一点必相交于一点, , 设为设为P,P,则则PFDPFD1 1,PDA.,PDA. 又因为又因为D D1 1F F 平面平面BEDBED1 1F,DAF,DA 平面平面ABCD,ABCD, 所以所以PP平面平面BEDBED1 1F,PF,P平面平面ABCD,ABCD, 所以所以P P为平面为平面BEDBED1 1F F与平面与平面ABCDABCD的公共点的公共点. . 又又B B为平面为平面ABCDABCD与平面与平面BEDBED1 1F F的公共点的公共点, , 所以连接所以连接PB(PB(如图如图),PB),PB即为平面即为平面BEDBED1 1F F与平面与平面ABCDABCD的交线的交线. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
