1、2.3.32.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 2.3.42.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 理解直线与平面垂直理解直线与平面垂直, ,平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质, ,并能运用性质定理解决并能运用性质定理解决 一些简单问题一些简单问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线 符号语言符号语言 a b 图形语言图形语言 平行平行 abab 2.2.平面与平面垂直的性
2、质定理平面与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言 两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平面内则一个平面内 的直线与另一个平面垂直的直线与另一个平面垂直 符号语言符号语言 a l l a a a 图形语言图形语言 垂直于交线垂直于交线 自我检测自我检测 1.(1.(面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理) )已知平面已知平面 平面平面 , ,则下列命题正确的个数是则下列命题正确的个数是 ( ( ) ) 内的直线必垂直于内的直线必垂直于 内的无数条直线内的无数条直线 在在 内垂直于内垂直于 与与 的交线的直线必垂直于的交线的直线必垂直于 内的任意一条直线内的任意一条直线 内的任何一条直线必垂直于内的
3、任何一条直线必垂直于 过过 内的任意一点作内的任意一点作 与与 交线的垂线交线的垂线, ,则这条直线必垂直于则这条直线必垂直于 (A)4(A)4 (B)3(B)3 (C)2(C)2 (D)1(D)1 C C 解析解析: :内一定存在无数条平行直线都垂直于内一定存在无数条平行直线都垂直于,也即垂直于也即垂直于内的直线内的直线, , 正确正确; ;符合两平面垂直性质定理符合两平面垂直性质定理, ,正确正确;内的直线与内的直线与位置关系不位置关系不 确定确定, ,错错; ;如果过如果过、交线上一点交线上一点, ,作交线的垂线作交线的垂线, ,且垂线不在且垂线不在内内, ,则则 这条直线不一定垂直于这
4、条直线不一定垂直于,错错, ,故选故选C.C. 2.(2.(面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用) )平面平面 平面平面 =l,=l,平面平面 , , , ,则则 ( ( ) ) (A)l(A)l (B)l (B)l (C)l(C)l与与 斜交斜交 (D)l(D)l 3.(3.(线面、面面垂直的综合应用线面、面面垂直的综合应用)(2015)(2015唐山市玉田县林南仓中学高二期中唐山市玉田县林南仓中学高二期中) ) 已知直线已知直线ll平面平面 , ,直线直线m m 平面平面 , ,给出下列命题给出下列命题, ,其中正确的是其中正确的是( ( ) ) lmlm lmlm lmlm lmlm (
5、A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D) D D C C 4.(4.(面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理)(2015)(2015 太原五中高二期中太原五中高二期中) )如图所示如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,BAC=90BAC=90,BC,BC1 1AC,AC,则则 C C1 1在面在面 ABCABC 上的射影上的射影 H H 必在直线必在直线 上上. . 答案答案: :ABAB 课堂探究课堂探究 直线与平面垂直的性质定理的应用直线与平面垂直的性质定理的应用 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.直线与平面垂直的性
6、质定理的作用是线面垂直直线与平面垂直的性质定理的作用是线面垂直线线平行线线平行, ,它揭示它揭示 了平行与垂直之间的转化了平行与垂直之间的转化. . 2.2.空间中平行关系与垂直关系的相互转化空间中平行关系与垂直关系的相互转化. . 【例【例 1 1】 如图如图, ,正方体正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,EF,EF 与异面直线与异面直线 ACAC、 A A1 1D D 都垂直相交都垂直相交. . 求证求证:EF:EFBDBD1 1. . 证明证明: :如图所示如图所示, ,连接连接ABAB1 1、B B1 1D D1 1、B B1 1C C、BD
7、,BD, 因为因为DDDD1 1平面平面ABCD,ACABCD,AC 平面平面ABCD,ABCD, 所以所以DDDD1 1AC.AC. 又又ACBD,DDACBD,DD1 1BD=D,BD=D,所以所以ACAC平面平面BDDBDD1 1B B1 1, , 又又BDBD1 1 平面平面BDDBDD1 1B B1 1, ,所以所以ACBDACBD1 1. . 同理可证同理可证BDBD1 1BB1 1C,C, 又又ACBACB1 1C=C,C=C,所以所以BDBD1 1平面平面ABAB1 1C.C. 因为因为EFAC,EFAEFAC,EFA1 1D,D, 又又A A1 1DBDB1 1C,C,所以所
8、以EFBEFB1 1C.C.所以所以EFEF平面平面ABAB1 1C,C,所以所以EFBDEFBD1 1. . 题后反思题后反思 线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据, ,也也 是由垂直关系转化为平行关系的重要方法是由垂直关系转化为平行关系的重要方法. . 即时训练即时训练1 1 1:1:如图所示如图所示, ,在正方体在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M是是ABAB上一点上一点,N,N是是A A1 1C C 的中点的中点,MN,MN平面平面 A A1 1DC.DC. 求证求证:(1)M
9、N:(1)MNADAD1 1; ; (2)M(2)M 是是 ABAB 的中点的中点. . 证明证明: : (1)(1)因为四边形因为四边形ADDADD1 1A A1 1为正方形为正方形, , 所以所以ADAD1 1AA1 1D.D. 又又CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1, , 所以所以CDADCDAD1 1. . 因为因为A A1 1DCD=D,DCD=D, 所以所以ADAD1 1平面平面A A1 1DC.DC. 又又MNMN平面平面A A1 1DC,DC,所以所以MNADMNAD1 1. . (2)(2)连接连接 ON,ON,在在A A1 1DCDC 中中, , A A1 1O
10、=OD,AO=OD,A1 1N=NC,N=NC, 所以所以 ONON 1 2 CDCD 1 2 AB,AB,所以所以 ONONAM,AM, 又又 MNMNOA,OA, 所以四边形所以四边形 AMNOAMNO 为平行四边形为平行四边形, , 所以所以 ON=AM.ON=AM. 因为因为 ON=ON= 1 2 AB,AB, 所以所以 AM=AM= 1 2 AB,AB, 所以所以 M M 是是 ABAB 的中点的中点. . 平面与平面垂直的性质定理的应用平面与平面垂直的性质定理的应用 题型二题型二 【例例2 2】 如图所示如图所示,P,P是四边形是四边形ABCDABCD所在平面外的一点所在平面外的一
11、点, ,四边形四边形ABCDABCD是是 DAB=60DAB=60且边长为且边长为a a的菱形的菱形. .侧面侧面PADPAD为正三角形为正三角形, ,其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面 ABCD.GABCD.G为为ADAD边的中点边的中点. .求证求证: : (1)BG(1)BG平面平面PAD;PAD; (2)ADPB.(2)ADPB. 证明证明: : (1)(1)由题意知由题意知PADPAD为正三角形为正三角形,G,G是是ADAD的中点的中点, , 所以所以PGAD.PGAD.又平面又平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,所以所以PGPG平面平面ABCD,ABCD,所以所以PG
12、BG.PGBG. 又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是菱形且是菱形且DAB=60DAB=60, , 所以所以ABDABD是正三角形是正三角形, ,所以所以BGAD.BGAD.又又ADPG=G,ADPG=G,所以所以BGBG平面平面PAD.PAD. (2)(2)由由(1)(1)可知可知BGAD,PGAD,BGPG=G,BGAD,PGAD,BGPG=G, 所以所以ADAD平面平面PBG,PBG,所以所以ADPB.ADPB. 题后题后反思反思 利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理, ,证明线面垂直的问题时证明线面垂直的问题时, ,要注意以下要注意以下 三点三点:(1):(1)两个平面垂
13、直两个平面垂直;(2);(2)直线必须在其中一个平面内直线必须在其中一个平面内;(3);(3)直线必须垂直直线必须垂直 于它们的交线于它们的交线. . 即时训练即时训练 2 2 1:(20151:(2015 河源市高二期中河源市高二期中) )在三棱锥在三棱锥 P P ABCABC 中中, ,平面平面 PBCPBC平面平面 ABC,AB=AC,E,FABC,AB=AC,E,F 分别为分别为 BC,BPBC,BP 的中点的中点. .求证求证: : (1)(1)直线直线 EFEF平面平面 PAC;PAC; (2)(2)平面平面 AEFAEF平面平面 PBC.PBC. 证明证明: : (1)(1)因为
14、因为E,FE,F分别是分别是BC,BPBC,BP的中点的中点, ,所以所以EFPC.EFPC. 又又EFEF 平面平面PAC,PCPAC,PC 平面平面PAC,PAC,所以所以EFEF平面平面PAC.PAC. (2)(2)在在ABCABC中中, ,因为因为AB=AC,EAB=AC,E为为BCBC中点中点, ,所以所以AEBC.AEBC. 因为平面因为平面PBCPBC平面平面ABC,ABC, 平面平面PBCPBC平面平面ABC=BC,ABC=BC,所以所以AEAE平面平面PBC.PBC. 又又AEAE 平面平面AEF,AEF,所以平面所以平面AEFAEF平面平面PBC.PBC. 【备用例【备用例
15、 1 1】 (2015 (2015 安庆市石化一中高二期中安庆市石化一中高二期中) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 P P ABCDABCD 中中, , 平面平面 PABPAB平面平面 ABCD,BCABCD,BC平面平面 PAD,PAD,PBC=90PBC=90, ,PBAPBA9090. .求证求证: : (1)AD(1)AD平面平面 PBC;PBC; (2)(2)平面平面 PBCPBC平面平面 PAB.PAB. 证明证明: : (1)(1)因为因为BCBC平面平面PAD,PAD, 而而BCBC 平面平面ABCD,ABCD,平面平面ABCDABCD平面平面PAD=AD,PAD=AD,所以
16、所以BCAD.BCAD. 因为因为ADAD 平面平面PBC,BCPBC,BC 平面平面PBC,PBC,所以所以ADAD平面平面PBC.PBC. (2)(2)自自P P点作点作PHABPHAB于于H,H,因为平面因为平面PABPAB平面平面ABCD,ABCD,且平面且平面PABPAB平面平面 ABCD=AB,ABCD=AB,所以所以PHPH平面平面ABCD.ABCD. 因为因为BCBC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以BCPH.BCPH. 因为因为PBC=90PBC=90, ,所以所以BCPB,BCPB, 而而PBA90PBA90, ,于是点于是点H H与与B B不重合不重合, ,即即PBP
17、H=P.PBPH=P. 因为因为PB,PHPB,PH 平面平面PAB,PAB,所以所以BCBC平面平面PAB.PAB. 因为因为BCBC 平面平面PBC,PBC,故平面故平面PBCPBC平面平面PAB.PAB. 线面、面面垂直的综合问题线面、面面垂直的综合问题 题型三题型三 【例【例 3 3】 (2013(2013 高考北京卷高考北京卷) )如图如图, ,在四在四棱锥棱锥 P P ABCDABCD 中中,AB,ABCD,ABCD,ABAD,AD, CD=2AB,CD=2AB,平面平面 PADPAD底面底面 ABCD,PAABCD,PAAD,EAD,E 和和 F F 分别为分别为 CDCD 和和
18、 PCPC 的中点的中点, ,求证求证: : (1)PA(1)PA底面底面 ABCD;ABCD; (2)BE(2)BE平面平面 PAD;PAD; (3)(3)平面平面 BEFBEF平面平面 PCD.PCD. 证明证明: : (1)(1)因为平面因为平面PADPAD底面底面ABCD,ABCD,且且PAPA垂直于这两个平面的交线垂直于这两个平面的交线AD,AD, 所以所以PAPA底面底面ABCD.ABCD. (2)(2)因为因为ABCD,CD=2AB,EABCD,CD=2AB,E为为CDCD的中点的中点, , 所以所以ABDE,ABDE,且且AB=DE.AB=DE.所以四边形所以四边形ABEDAB
19、ED为平行四边形为平行四边形. . 所以所以BEAD.BEAD. 又因为又因为BEBE 平面平面PAD,ADPAD,AD 平面平面PAD,PAD,所以所以BEBE平面平面PAD.PAD. (3)(3)因为因为ABAD,ABAD,而且四边形而且四边形ABEDABED为平行四边形为平行四边形. . 所以所以BECD,ADCD,BECD,ADCD, 由由(1)(1)知知PAPA底面底面ABCD.ABCD. 所以所以PACD.PACD.又又ADPA=A,ADPA=A, 所以所以CDCD平面平面PAD.PAD. 所以所以CDPD.CDPD. 因为因为E E和和F F分别是分别是CDCD和和PCPC的中点
20、的中点, , 所以所以PDEF.PDEF. 所以所以CDEF.CDEF.又又EFBE=E,EFBE=E, 所以所以CDCD平面平面BEF.BEF.又又CDCD 平面平面PCD,PCD, 所以平面所以平面BEFBEF平面平面PCD.PCD. 题后题后反思反思 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系, ,当已当已 知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化, ,要证线面、面面垂直或平要证线面、面面垂直或平 行时要用判定定理进行论证行时要用判定定理进行论证. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:
21、 (2015 (2015 宿州市高二期中宿州市高二期中) )如图如图, ,在矩形在矩形 ABCDABCD 中中,AB=2BC,P,Q,AB=2BC,P,Q 分分 别为线段别为线段 AB,CDAB,CD 的中点的中点,EP,EP平面平面 ABCD.ABCD. (1)(1)求证求证:AQ:AQ平面平面 CEP;CEP; (2)(2)求证求证: :平面平面 AEQAEQ平面平面 DEP.DEP. 解解: :(1)(1)在矩形在矩形 ABCDABCD 中中, , 因为因为 AP=PB,DQ=QC,AP=PB,DQ=QC,所以所以 APAPCQ.CQ. 所以所以 AQCPAQCP 为平行四边形为平行四边
22、形. .所以所以 CPCPAQ.AQ. 因为因为 CPCP 平面平面 CEP,AQCEP,AQ 平面平面 CEP,CEP, 所以所以 AQAQ平面平面 CEP.CEP. (2)(2)因为因为EPEP平面平面ABCD,AQABCD,AQ 平面平面ABCD,ABCD,所以所以AQEP.AQEP. 因为因为AB=2BC,PAB=2BC,P为为ABAB的中点的中点, ,所以所以AP=AD.AP=AD.连接连接PQ,PQ,则四边形则四边形ADQPADQP为正方形为正方形. . 所以所以AQDP.AQDP.又又EPDP=P,EPDP=P,所以所以AQAQ平面平面DEP.DEP. 因为因为AQAQ 平面平面
23、AEQ,AEQ,所以平面所以平面AEQAEQ平面平面DEP.DEP. 【思维激活】【思维激活】 (2014(2014 高考天津卷高考天津卷) )如图如图, ,四棱锥四棱锥 P P ABCDABCD 的底面的底面 ABCDABCD 是平行是平行 四边形四边形,BA=BD=,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=,AD=2,PA=PD=5,E,F,E,F 分别是棱分别是棱 ADAD、PCPC 的中点的中点. . ( (1)1)证明证明:EF:EF平面平面 PAB;PAB; (2)(2)若二面角若二面角 P P ADAD B B 为为 6060, , 证明证明: :平面平面 PBCPBC平面平面 A
24、BCD;ABCD; 求直线求直线 EFEF 与平面与平面 PBCPBC 所成角的正弦值所成角的正弦值. . (1)(1)证明证明: :如图如图, ,取取 PBPB 中点中点 M,M,连接连接 MF,AM.MF,AM. 因为因为 F F 为为 PCPC 中点中点, ,故故 MFMFBCBC 且且 MF=MF= 1 2 BC.BC. 由已知有由已知有 BCBCAD,BC=AD.AD,BC=AD. 又由于又由于 E E 为为 ADAD 中点中点, ,因而因而 MFMFAEAE 且且 MF=AE,MF=AE, 故四边形故四边形 AMFEAMFE 为平行四边形为平行四边形, ,所以所以 EFEFAM.A
25、M. 又又 AMAM 平面平面 PAB,PAB,而而 EFEF 平面平面 PAB,PAB,所以所以 EFEF平面平面 PAB.PAB. (2)(2)证明证明: :连接连接 PE,BE.PE,BE. 因为因为 PA=PD,BA=BD,PA=PD,BA=BD,而而 E E 为为 ADAD 中点中点. .故故 PEPEAD,BEAD,BEAD,AD, 所以所以PEBPEB 为二面角为二面角 P P ADAD B B 的平面角的平面角. . 在在PADPAD 中中, ,由由 PA=PD=PA=PD=5,AD=2,AD=2,可解得可解得 PE=2.PE=2. 在在ABDABD 中中, ,由由 BA=BD
26、=BA=BD=2,AD=2,AD=2,可解得可解得 BE=1.BE=1. 在在PEBPEB 中中,PE=2,BE=1,PE=2,BE=1,PEB=60PEB=60. . 由余弦定理由余弦定理, ,可解得可解得 PB=PB=3, , 从而从而PBE=90PBE=90, ,即即 BEBEPB.PB. 又又 BCBCAD,BEAD,BEAD,AD,从而从而 BEBEBC,BC, 因此因此 BEBE平面平面 PBC.PBC. 又又 BEBE 平面平面 ABCD.ABCD.所以所以, ,平面平面 PBCPBC平面平面 ABCD.ABCD. 解解: :连接连接 BF.BF. 由知由知,BE,BE平面平面
27、PBC,PBC, 所以所以EFBEFB 为直线为直线 EFEF 与平面与平面 PBCPBC 所成的角所成的角. . 由由 PB=PB=3及已知及已知, ,得得ABPABP 为直角为直角. . 而而 MB=MB= 1 2 PB=PB= 3 2 , , 可得可得 AM=AM= 11 2 , ,故故 EF=EF= 11 2 . . 又又 BE=1,BE=1, 故在直角三角形故在直角三角形 EBFEBF 中中,sin,sinEFB=EFB= BE EF = = 2 11 11 . . 所以所以, ,直线直线 EFEF 与平面与平面 PBCPBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 2 11 11 . . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
