1、3.23.2 直线的方程直线的方程 3.2.13.2.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解直线的点斜式方程的推导过程了解直线的点斜式方程的推导过程. . 2.2.掌握直线的点斜式方程并会应用掌握直线的点斜式方程并会应用. . 3.3.掌握直线的斜截式方程掌握直线的斜截式方程, ,了解截距的概念了解截距的概念. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.直线的点斜式方程直线的点斜式方程 (1)(1)定义定义: :如图所示如图所示, ,直线直线l l过定点过定点P(xP(x0 0,y,y0 0),),斜率为斜率为k,k,则把
2、方程则把方程y y- -y y0 0=k(x=k(x- -x x0 0) ) 叫做直线叫做直线l l的点斜式方程的点斜式方程, ,简称点斜式简称点斜式. . (2)(2)说明说明: :如图所示如图所示, ,过定点过定点P(xP(x0 0,y,y0 0),),倾斜角是倾斜角是9090的直线没有点斜式的直线没有点斜式, , 其方程为其方程为x x- -x x0 0=0,=0,或或 . . x=xx=x0 0 2.2.直线的斜截式方程直线的斜截式方程 (1)(1)定义定义: :如图所示如图所示, ,直线直线l l的斜率为的斜率为k,k,且与且与y y轴的交点为轴的交点为(0,b),(0,b),则方程
3、则方程 叫叫 做直线做直线l l的斜截式方程的斜截式方程, ,简称斜截式简称斜截式. . y=kx+by=kx+b (2)(2)说明说明: :一条直线与一条直线与y y轴的交点轴的交点(0,b)(0,b)的纵坐标的纵坐标b b叫做直线在叫做直线在y y轴上的轴上的 . . 倾斜角是倾斜角是 的直线没有斜截式方程的直线没有斜截式方程. . 截距截距 直角直角 自我检测自我检测 1.(1.(直线的点斜式方程直线的点斜式方程) )直线直线l l的点斜式方程是的点斜式方程是y y- -2=3(x+1),2=3(x+1),则直线则直线l l的斜率的斜率 是是( ( ) ) (A)2(A)2 (B)(B)
4、- -1 1 (C)3(C)3 (D)(D)- -3 3 2.(2.(直线的点斜式方程直线的点斜式方程) )过点过点P(P(- -2,0),2,0),斜率为斜率为3 3的直线方程是的直线方程是( ( ) ) (A)y=3x(A)y=3x- -2 2 (B)y=3x+2(B)y=3x+2 (C)y=3(x(C)y=3(x- -2)2) (D)y=3(x+2)(D)y=3(x+2) 3.(3.(直线的斜截式方程直线的斜截式方程) )直线直线y=2xy=2x- -4 4在在y y轴上的截距为轴上的截距为( ( ) ) (A)(A)- -2 2 (B)2(B)2 (C)(C)- -4 4 (D)4(D
5、)4 4.(4.(直线的斜截式方程直线的斜截式方程) )在在y y轴上的截距为轴上的截距为2,2,且与直线且与直线y=y=- -3x3x- -4 4平行的直线的平行的直线的 斜截式方程为斜截式方程为 . . 答案答案: :y=y=- -3x+23x+2 C C D D C C 若直线若直线l l1 1:y=(2a:y=(2a- -1)x+31)x+3与直线与直线l l2 2:y=4x:y=4x- -3 3垂直垂直, , 则则a=a= . . 5.(5.(两直线平行或垂直关系两直线平行或垂直关系) ) 答案答案: : 3 8 课堂探究课堂探究 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 题型一题型一 【教
6、师备用教师备用】 使用直线的点斜式方程有什么条件使用直线的点斜式方程有什么条件? ? 提示提示: :点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在, ,因此点斜式方程因此点斜式方程 不能表示与不能表示与x x轴垂直的直线轴垂直的直线, ,过点过点P(xP(x1 1,y,y1 1),),且与且与x x轴垂直的直线方程可轴垂直的直线方程可 写成写成x=xx=x1 1. . 【例【例1 1】 根据下列条件写出直线的方程根据下列条件写出直线的方程. . (1)(1)经过点经过点A(A(- -1,4),1,4),倾斜角为倾斜角为135135; ; (2)(2)经过点经过
7、点B(1,B(1,- -2),2),且与且与y y轴平行轴平行; ; (3)(3)经过点经过点C(C(- -1,2),1,2),且与且与x x轴平行轴平行. . 解解: : (1)(1)因为倾斜角为因为倾斜角为135135, ,所以所以k=tan 135k=tan 135= =- -1,1, 所以直线方程为所以直线方程为y y- -4=4=- -(x+1),(x+1),即即x+yx+y- -3=0.3=0. (2)(2)因为直线与因为直线与y y轴平行轴平行, ,所以倾斜角为所以倾斜角为9090, , 所以直线的斜率不存在所以直线的斜率不存在, ,所以直线方程为所以直线方程为x=1.x=1.
8、(3)(3)因为直线与因为直线与x x轴平行轴平行, ,所以倾斜角为所以倾斜角为0 0, ,所以所以y=2.y=2. 题后反思题后反思 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的 坐标坐标, ,均可用直线方程的点斜式表示均可用直线方程的点斜式表示, ,直线方程的点斜式直线方程的点斜式, ,应在直线斜率应在直线斜率 存在的条件下使用存在的条件下使用. .当直线的斜率不存在时当直线的斜率不存在时, ,直线方程为直线方程为x=xx=x0 0. . 解解: :(1)(1)直线斜率为直线斜率为 tan 60tan 60= =3, , 所以直线方程
9、为所以直线方程为 y y- -4=4=3(x+1).(x+1). 即时训练即时训练1 1- -1:1:根据条件写出下列直线的点斜式方程根据条件写出下列直线的点斜式方程. . (1)(1)经过点经过点A(A(- -1,4),1,4),倾斜角为倾斜角为6060; ; (2)(2)经过点经过点B(4,2),B(4,2),倾斜角为倾斜角为9090; ; (3)(3)经过原点经过原点, ,倾斜角为倾斜角为6060; ; (4)(4)经过点经过点D(D(- -1,1),1,1),与与x x轴平行轴平行. . (2)(2)直线斜率不存在直线斜率不存在, ,直线平行于直线平行于 y y 轴轴, , 所以所求直
10、线方程为所以所求直线方程为 x=4.x=4. (3)(3)直线斜率为直线斜率为 tan 60tan 60= =3, , 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 y=y=3x.x. (4)(4)直线斜率为直线斜率为 0,0,所以直线方程为所以直线方程为 y=1.y=1. 解解: :由题意知由题意知,k,kBC BC= = 60 22 = = 3 2 , ,因为因为 ADADBC,BC,所以直线所以直线 ADAD 的斜率存在的斜率存在, , 且且 k kAD AD= =- - 2 3 . . 故直线故直线 ADAD 的方程为的方程为 y+4=y+4=- - 2 3 (x(x- -1).1). 【
11、思维激活思维激活】 已知已知ABCABC中中,A(1,A(1,- -4),B(2,6),C(4),B(2,6),C(- -2,0),ADBC2,0),ADBC于于D,D,求求 直线直线ADAD的方程的方程. . 解解: :方程方程 y y- -1=4x1=4x- -3 3 可化为可化为 y y- -1=41=4( (x x- - 3 4 ) ), ,由直线的点斜式方程知其斜由直线的点斜式方程知其斜 率为率为 k=4,k=4,又因为直线又因为直线 l l 的斜率与直线的斜率与直线 y y- -1=4x1=4x- -3 3 的斜率互为负倒数的斜率互为负倒数, , 所以直线所以直线 l l 的斜率为
12、的斜率为- - 1 4 , , 又又因为直线因为直线 l l 过点过点 A(2,1),A(2,1), 所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 y y- -1=1=- - 1 4 (x(x- -2).2). 【备用例备用例1 1】 已知直线已知直线l l过点过点A(2,1),A(2,1),且斜率与直线且斜率与直线y y- -1=4x1=4x- -3 3的斜率互的斜率互 为负倒数为负倒数, ,求直线求直线l l的方程的方程. . 解解: :易知直线易知直线 l l 与坐标轴不垂直与坐标轴不垂直. . 因为因为 l l 过点过点 P(P(- -5,5,- -4),4),所以可设所以可设 l l
13、的方程为的方程为 y+4=k(x+5)(ky+4=k(x+5)(k0),0), 则直线则直线 l l 与与 x x 轴的交点为轴的交点为( ( 4 k - -5,05,0) ), ,与与 y y 轴的交点为轴的交点为(0,5k(0,5k- -4).4). 所以所以 l l 与坐标轴所围成的三角形的面积与坐标轴所围成的三角形的面积 S=S= 1 2 | | 4 k - -5 5| |5k|5k- -4|=5,4|=5, 即即(5k(5k- -4)4) 2 2=10|k|. =10|k|. 当当 k k0 0 时时, ,方程可化为方程可化为(5k(5k- -4)4) 2 2=10k, =10k,解
14、得解得 k=k= 2 5 或或 k=k= 8 5 ; ; 当当 k0k0 时时, ,方程可化为方程可化为(5k(5k- -4)4) 2 2= =- -10k, 10k,此时方程无解此时方程无解. . 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 y+4=y+4= 2 5 (x+5)(x+5)或或 y+4=y+4= 8 5 (x+5).(x+5). 【备用例备用例2 2】 直线直线l l经过点经过点P(P(- -5,5,- -4),4),且且l l与坐标轴围成的三角形的面积与坐标轴围成的三角形的面积 为为5,5,试求试求l l的方程的方程. . 直线的斜截式方程直线的斜截式方程 题型二题型二 【教师备用
15、教师备用】 1.1.直线的斜截式方程与一次函数有何关系直线的斜截式方程与一次函数有何关系? ? 提示提示: :当当k0k0时时, ,斜截式方程斜截式方程y=kx+by=kx+b是一次函数的形式是一次函数的形式; ;而一次函数而一次函数y=kx+by=kx+b 中中,k,k是直线的斜率是直线的斜率, ,常数常数b b是直线在是直线在y y轴上的截距轴上的截距, ,一次函数表示直线一次函数表示直线, ,但是但是 有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式. . 2.2.截距与距离有何区别截距与距离有何区别? ? 提示提示: :截距与距离是两个不同的概念截距与距
16、离是两个不同的概念, ,截距截距b b可以大于等于或小于可以大于等于或小于0,0,而距离而距离 只能是非负的实数只能是非负的实数. . 解解: :已知直线已知直线y=y=3x+1x+1的斜率为的斜率为k kl l = =3, ,所以直线所以直线l l的倾斜角为的倾斜角为6060, , 所以直线所以直线 l l 的倾斜角为的倾斜角为 3030, , 设直线设直线 l l 的斜截式方程为的斜截式方程为 y=kx+b,y=kx+b,则则 k=tan 30k=tan 30= = 3 3 , , 又直线又直线 l l 过点过点(3,4),(3,4),所以所以 4=4= 3 3 3+b,3+b,所以所以
17、b=4b=4- -3, , 所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 y=y= 3 3 x x- -3+4.+4. 【例【例2 2】 直线直线l l的方程是的方程是y=y=3x+1,x+1,直线直线l l的倾斜角比直线的倾斜角比直线l l的倾斜角小的倾斜角小3030, , 且直线且直线 l l 过点过点(3,4),(3,4),求直线求直线 l l 的方程的方程. . 题后反思题后反思 直线的斜截式方程的求解策略直线的斜截式方程的求解策略 (1)(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y y轴上的截距轴上的截距, ,代代 入方程即可入方程即
18、可. . (2)(2)当斜率和截距未知时当斜率和截距未知时, ,可结合已知条件可结合已知条件, ,先求出斜率和截距先求出斜率和截距, ,再写出再写出 直线的斜截式方程直线的斜截式方程. . 解析解析: :(1)(1)因为倾斜角因为倾斜角=30=30, ,所以斜率所以斜率 k=tan 30k=tan 30= = 3 3 , ,故所求直故所求直 线的斜截式方程为线的斜截式方程为 y=y= 3 3 x x- -3.3. (1)(1)倾斜角为倾斜角为3030, ,在在y y轴上的截距是轴上的截距是- -3 3的直线的斜截式方程的直线的斜截式方程 为为 ; ; (2)(2)直线直线l l1 1与直线与直
19、线l l2 2:y=3x+1:y=3x+1平行平行, ,又直线又直线l l1 1过点过点(3,5),(3,5),则直线则直线l1l1的方程的方程 为为 . . 即时训练即时训练2 2- -1:1: (2)(2)由题意可知直线由题意可知直线 l l1 1的斜率为的斜率为 3.3. 设其方程为设其方程为 y=3x+b,y=3x+b,代入点代入点(3,5)(3,5)可得可得,5=3,5=33+b,3+b, 所以所以 b=b=- -4.4.故所求方程为故所求方程为 y=3xy=3x- -4.4. 答案答案: :(1)y=(1)y= 3 3 x x- -3 3 (2)y=3x(2)y=3x- -4 4
20、平行与垂直的应用平行与垂直的应用 题型三题型三 解解: :(1)(1)设两直线的斜率分别为设两直线的斜率分别为 k k1 1、k k2 2, ,则则 k k1 1=a,k=a,k2 2=a+2.=a+2. 因为两直线互相垂直因为两直线互相垂直, ,所以所以 k k1 1k k2 2=a(a+2)=a(a+2)=- -1.1.解得解得 a=a=- -1.1. 所以当所以当 a=a=- -1 1 时时, ,两条直线互相垂直两条直线互相垂直. . 【例例3 3】 当当a a为何值时为何值时, , (1)(1)两直线两直线y=axy=ax- -2 2与与y=(a+2)x+1y=(a+2)x+1互相垂直
21、互相垂直? ? (2)(2)两直线两直线y=y=- -x+4ax+4a与与y=(ay=(a2 2- -2)x+42)x+4互相平行互相平行? ? (2)(2)设两直线的斜率分别为设两直线的斜率分别为 k k3 3,k,k4 4, ,则则 k k3 3= =- -1,k1,k4 4=a=a 2 2- -2. 2. 因为两条直线互相平行因为两条直线互相平行, , 所以所以 2 21, 44, a a 解得解得 a=a=- -1.1. 所以当所以当 a=a=- -1 1 时时, ,两直线互相平行两直线互相平行. . 题后题后反思反思 设直线设直线l l1 1和和l l2 2的斜率的斜率k k1 1,
22、k,k2 2都存在都存在, ,其方程分别为其方程分别为l l1 1: : y=ky=k1 1x+bx+b1 1,l,l2 2:y=k:y=k2 2x+bx+b2 2, ,那么那么l l1 1ll2 2k k1 1=k=k2 2且且b b1 1bb2 2; ;k k1 1=k=k2 2且且b b1 1=b=b2 2 两条直线重合两条直线重合; ;l l1 1ll2 2k k1 1k k2 2= =- -1.1. 解解: :(1)(1)法一法一 因为因为 l l 与与 y=y=- -2x+52x+5 平行平行, ,所以所以 k kl l= =- -2,2, 由直线的点斜式方程由直线的点斜式方程,
23、,知知 y+3=y+3=- -2(x2(x- -2).2). 法二法二 已知直线方程为已知直线方程为 y=y=- -2x+5,2x+5,而而 l l 与其平行与其平行, ,所以所以 y=y=- -2x+b,2x+b, 又过点又过点(2,(2,- -3),3),所以所以 b=1,b=1,所以所以 l l 的方程为的方程为 y=y=- -2x+1.2x+1. 即时训练即时训练3 3- -1:1:已知直线已知直线l l过点过点A(2,A(2,- -3).3). (1)(1)若若l l与直线与直线y=y=- -2x+52x+5平行平行, ,求其方程求其方程; ; (2)(2)若若l l与直线与直线y=
24、y=- -2x+52x+5垂直垂直, ,求其方程求其方程. . (2)(2)法一法一 因为因为 l l 与与 y=y=- -2x+52x+5 垂直垂直, , 所以所以 k kl l= = 1 2 , ,由直线的点斜式方程知由直线的点斜式方程知 y y- -( (- -3)=3)= 1 2 (x(x- -2).2). 法二法二 因为直线因为直线 y=y=- -2x+52x+5 的斜率为的斜率为- -2,l2,l 与其垂直与其垂直, , 所以可设所以可设 l l 的方程为的方程为 y=y= 1 2 x+c,x+c, 又因为过点又因为过点(2,(2,- -3),3),所以所以 c=c=- -4,4,所以所以 l l 的方程为的方程为 y=y= 1 2 x x- -4.4. 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
