1、3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 3.3.13.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 3.3.23.3.2 两点间的距离两点间的距离 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系. . 2.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标. . 3.3.掌握两点间距离公式并能灵活应用掌握两点间距离公式并能灵活应用. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.两条直线的交点两条直线的交点
2、已知两直线已知两直线 l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0;l=0;l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0.=0. 将两直线方程联立将两直线方程联立, ,得方程组得方程组 111 222 0, 0 AxB yC A xB yC 若方程组有惟一解若方程组有惟一解 0 0 , , xx yy 则两直线相交则两直线相交, ,交点坐标为交点坐标为(x(x0 0,y,y0 0););若方程组无解若方程组无解, ,则两条直线无则两条直线无 公共点公共点, ,此时两直线平行此时两直线平行. . 2.2.平面上两点间的距离公式平面上两点间的距离公式 (1)
3、(1)两点两点 P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )间的距离公式间的距离公式|P|P1 1P P2 2|=|= 22 2121 xxyy. . (2)(2)原点原点 O(0,0)O(0,0)与任一点与任一点 P(x,y)P(x,y)的距离的距离|OP|=|OP|= 22 xy. . 自我检测自我检测 1.(1.(两直线的交点两直线的交点) )直线直线 x+2yx+2y- -2=02=0 与直线与直线 2x+y2x+y- -3=03=0 的交点坐标为的交点坐标为( ( ) ) (A)(4,1) (B)(1,4)(A)(4,1) (B)(1,
4、4) (C)(C) 4 1 , 3 3 (D) (D) 1 4 , 3 3 C C 2.(2.(由斜率确定两直线位置关系由斜率确定两直线位置关系) )与直线与直线2x2x- -y y- -3=03=0相交的直线的方程是相交的直线的方程是( ( ) ) (A)4x(A)4x- -2y2y- -6=06=0 (B)y=2x(B)y=2x (C)y=2x+5(C)y=2x+5 (D)y=(D)y=- -2x+32x+3 3.(3.(两点间的距离两点间的距离) )已知点已知点P(3,2),Q(P(3,2),Q(- -1,2),1,2),则则P P、Q Q两点之间的距离为两点之间的距离为( ( ) )
5、(A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3 (D)4(D)4 D D D D 4.(4.(两直线的交点两直线的交点) )直线直线y=x+2y=x+2与直线与直线y=y=- -x+2ax+2a的交点在的交点在x x轴上轴上, ,则则a=a= . . 答案答案: : - -1 1 5.(5.(两点间的距离两点间的距离) )已知已知 A(A(- -1,2),B(3,b)1,2),B(3,b)的距离是的距离是 4 42, ,则则 b=b= . . 答案答案: : - -2 2或或6 6 课堂探究课堂探究 两条直线的交点问题两条直线的交点问题 题型一题型一 【教师备用教师备用】 两直线相交的条
6、件两直线相交的条件 1.1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况? ? 提示提示: :有三种有三种: :平行、相交、重合平行、相交、重合. . 2.2.已知直线已知直线l l1 1,l,l2 2的方程分别是的方程分别是l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,l=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,如何如何 判断两条直线的位置关系判断两条直线的位置关系? ? 提示提示: :两条直线平行两条直线平行A A1 1B B2 2- -A A2 2B B1 1=0=0 且且 A A
7、1 1C C2 2- -A A2 2C C1 10(0(或或 B B1 1C C2 2- -B B2 2C C1 10);0); 两条直线相交两条直线相交A A1 1B B2 2- -A A2 2B B1 10;0; 两条直线重合两条直线重合 1221 1221 1221 0, 0, 0. ABA B ACA C BCB C 解解: :法一法一 联立方程联立方程 20, 40 xy xy 解得解得 1, 3, x y 即直线即直线 l l 过点过点( (- -1,3).1,3). 因为直线因为直线 l l 的斜率为的斜率为 3 2 , ,所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 y y- -
8、3=3= 3 2 (x+1)(x+1)即即 3x3x- -2y+9=0.2y+9=0. 【例【例 1 1】 直线直线 l l 过直线过直线 x+yx+y- -2=02=0 和直线和直线 x x- -y+4=0y+4=0 的交点的交点, ,且与直线且与直线 3x3x- -2y+4=02y+4=0 平行平行, ,求直线求直线 l l 的方程的方程. . 法二法二 因为直线因为直线 x+yx+y- -2=02=0 不与不与 3x3x- -2y+4=02y+4=0 平行平行, , 所以可设直线所以可设直线 l l 的方程为的方程为 x x- -y+4+y+4+(x+y(x+y- -2)=0,2)=0,
9、 整理得整理得(1+(1+)x+()x+(- -1)y+41)y+4- -2 2=0,=0, 因为直线因为直线 l l 与直线与直线 3x3x- -2y+4=02y+4=0 平行平行, , 所以所以 1 3 = = 1 2 42 4 , ,解得解得= = 1 5 , , 所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 6 5 x x- - 4 5 y+y+ 18 5 =0,=0,即即 3x3x- -2y+9=0.2y+9=0. 题后反思题后反思 (1)(1)解本题有两种方法解本题有两种方法: :一是采用常规方法一是采用常规方法, ,先通过解方程组先通过解方程组 求出两直线交点求出两直线交点, ,再
10、根据平行关系求出斜率再根据平行关系求出斜率, ,由点斜式写出直线方程由点斜式写出直线方程; ;二二 是设出过两直线交点的方程是设出过两直线交点的方程, ,再根据平行条件待定系数求解再根据平行条件待定系数求解. . (2)(2)过两条相交直线过两条相交直线l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,l=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的直线方程可交点的直线方程可 设为设为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0()=0(不含直线不含直线l l2 2).). 解解:
11、 :由由 240, 20 xy xy 可得交点坐标为可得交点坐标为(0,2),(0,2), (1)(1)因为直线因为直线 l l 与与 3x3x- -4y+1=04y+1=0 平行平行, ,所以所以 l l 的斜率的斜率 k=k= 3 4 , , l l 的方程的方程 y=y= 3 4 x+2,x+2,即为即为 3x3x- -4y+8=0.4y+8=0. (2)(2)因为直线因为直线 l l 与与 5x+3y5x+3y- -6=06=0 垂直垂直, ,所以所以 l l 的斜率的斜率 k=k= 3 5 , , l l 的方程的方程 y=y= 3 5 x+2,x+2,即为即为 3x3x- -5y+
12、10=0.5y+10=0. 即时训练即时训练1 1- -1:1:求过两直线求过两直线x x- -2y+4=02y+4=0和和x+yx+y- -2=02=0的交点的交点, ,且分别满足下且分别满足下 列条件的直线列条件的直线l l的方程的方程 (1)(1)直线直线l l与直线与直线3x3x- -4y+1=04y+1=0平行平行; ; (2)(2)直线直线l l与直线与直线5x+3y5x+3y- -6=06=0垂直垂直. . 证明证明: :法一法一 取取 m=1m=1 时时, ,直线方程为直线方程为 y=y=- -4;4;取取 m=m= 1 2 时时, ,直线方程为直线方程为 x=9.x=9. 两
13、直线的交点为两直线的交点为 P(9,P(9,- -4),4),将点将点 P P 的坐标代入原方程左边的坐标代入原方程左边 =(m=(m- -1)1)9+(2m9+(2m- -1)1)( (- -4)=m4)=m- -5.5. 故不论故不论 m m 取何实数取何实数, ,点点 P(9,P(9,- -4)4)总在直线总在直线(m(m- -1)x+(2m1)x+(2m- -1)y=m1)y=m- -5 5 上上, , 即直线恒过点即直线恒过点 P(9,P(9,- -4).4). 法二法二 原方程化为原方程化为(x+2y(x+2y- -1)m+(1)m+(- -x x- -y+5)=0.y+5)=0.
14、若对任意若对任意 m m 都成立都成立, , 则有则有 210, 50, xy xy 得得 9, 4. x y 所以不论所以不论 m m 为何实数为何实数, ,所给直线都过定点所给直线都过定点 P(9,P(9,- -4).4). 【备用例备用例1 1】 求证求证: :不论不论m m为何实数为何实数, ,直线直线(m(m- -1)x+(2m1)x+(2m- -1)y=m1)y=m- -5 5都过某一定点都过某一定点. . 两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用 题型二题型二 【例例2 2】 已知已知ABCABC的三个顶点坐标是的三个顶点坐标是A(1,A(1,- -1),B(1),B(- -1,
15、3),C(3,0).1,3),C(3,0). (1)(1)判断判断ABCABC的形状的形状. . (2)(2)求求ABCABC的面积的面积. . 解解: :(1)(1)如图如图, ,因为因为|AB|=|AB|= 2 2 1 131 = =20=2=25, , |AC|=|AC|= 2 2 3 101 = =5, , |BC|=|BC|= 2 2 3103 = =25=5,=5, 所以所以|AB|AB| 2 2+|AC| +|AC| 2 2=|BC| =|BC| 2 2, , 即即ABCABC 是以是以 A A 为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形. . (2)(2)由于由于ABCABC
16、 是以是以 A A 为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形, , 所以所以 S S ABCABC= = 1 2 |AB|AC|=|AB|AC|= 1 2 2 255=5.=5. 题后反思题后反思 (1)(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件 时时, ,设出所求点的坐标设出所求点的坐标, ,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方 程或方程组求解程或方程组求解. . (2)(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状利用两点间距离公式可以判定三角形的形状. .从三边长入手从三边长
17、入手, ,如果边长如果边长 相等则可能是等腰或等边三角形相等则可能是等腰或等边三角形, ,如果满足勾股定理则是直角三角形如果满足勾股定理则是直角三角形. . 解解: :设所求点设所求点 P(x,0),P(x,0), 于是由于是由|PA|=|PB|PA|=|PB|得得 22 102x= = 2 2 207x, , 即即 x x 2 2+2x+5=x +2x+5=x 2 2- -4x+11, 4x+11,解得解得 x=1.x=1. 所以所以, ,所求所求 P P 点坐标为点坐标为(1,0),(1,0), |PA|=|PA|= 22 1 102=2=22. . 即时训练即时训练 2 2 1:1:已知
18、点已知点 A(A(- -1,2),B(2,1,2),B(2, 7),),在在 x x 轴上求一点轴上求一点 P,P,使使|PA|=|PB|,|PA|=|PB|,并求并求 |PA|PA|的值的值. . 【备用例【备用例2 2】 ABCABC中中,D,D是是BCBC边上的一点边上的一点(D(D与与B,CB,C不重合不重合),),且且|AB|2=|AD|2+|AB|2=|AD|2+ |BD|DC|.|BD|DC|.求证求证: :ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . 证明证明: :作作AOBC,AOBC,垂足为垂足为O,O,以以BCBC所在的直线为所在的直线为x x轴轴,OA,OA所在的直线所在
19、的直线 为为y y轴轴, ,建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系. . 设设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0). 已知已知|AB|AB|2 2=|AD|=|AD|2 2+|BD|DC|,+|BD|DC|,则由两点间距离公式得则由两点间距离公式得 b b2 2+h+h2 2=d=d2 2+h+h2 2+(d+(d- -b)(cb)(c- -d),d),化简化简, ,得得- -(d(d- -b)(b+d)=(db)(b+d)=(d- -b)(cb)(c- -d).d). 因为点因为点D D与点与点B,C
20、B,C不重合不重合, ,所以所以d d- -b0,b0, 故故- -b b- -d=cd=c- -d,d,即即- -b=c.b=c. 所以所以|OB|=|OC|,|OB|=|OC|,于是于是|AB|=|AC|,|AB|=|AC|,即即ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . 对称问题对称问题 题型三题型三 解解: :设点设点 A(2,3)A(2,3)关于直线关于直线 l l 的对称点为的对称点为 A A(x(x0 0,y,y0 0),), 则则 00 0 0 23 10, 22 3 1, 2 xy y x 解得解得 A A( (- -4,4,- -3).3). 所以反射光线所在直线的方程为所
21、以反射光线所在直线的方程为 y y- -1=(x1=(x- -1)1) 13 14 , , 即即 4x4x- -5y+1=0.5y+1=0. 【例例3 3】 光线通过点光线通过点A(2,3),A(2,3),在直线在直线l:x+y+1=0l:x+y+1=0上反射上反射, ,反射光线经过点反射光线经过点 B(1,1),B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程试求入射光线和反射光线所在直线的方程. . 解方程组解方程组 4510, 10 xy xy 得得 P P 21 , 33 . . 所以入射光线所在直线的方程为所以入射光线所在直线的方程为 y y- -3=(x3=(x- -2)2) 1
22、 3 3 2 2 3 , , 即即 5x5x- -4y+2=0.4y+2=0. 题后题后反思反思 (1)(1)光线的反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点光线的反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点, , 使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题. .解决这类问解决这类问 题的方法是设对称点坐标题的方法是设对称点坐标, ,由由“垂直垂直”和和“平分平分”列方程解得列方程解得. . (2)(2)点点M(xM(x0 0,y,y0 0) )关于直线关于直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的对称点的对称点M M(x,y
23、)(x,y)可由方程组可由方程组 0 0 00 10 0 22 yyA AB xxB xxyy ABC 求得求得. . (3)(3)求直线关于求直线关于l l对称的直线方程对称的直线方程, ,可转化为求直线上的点关于可转化为求直线上的点关于l l的对称点的对称点 的问题解决的问题解决. . 解析解析: :k kAB AB= = 31 12 = = 2 3 , , 故故 k=k=- - 3 2 ,AB,AB 的中点的中点 1 ,2 2 在在 y=kx+by=kx+b 上上. . 所以所以 2=2=- - 3 2 1 2 +b,b=+b,b= 5 4 . . 故故 k+b=k+b= 5 4 - - 3 2 = =- - 1 4 . . 即时训练即时训练3 3- -1:(20151:(2015蚌埠一中月考蚌埠一中月考) )若点若点A(1,3)A(1,3)关于直线关于直线y=kx+by=kx+b的对称点的对称点B(B(- - 2,1),2,1),则则k+b=k+b= . . 答案答案: :- - 1 4 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
