1、4.1.24.1.2 圆的一般方程圆的一般方程 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解圆的一般方程的特点了解圆的一般方程的特点, ,会由一般方程求圆心和半径会由一般方程求圆心和半径. . 2.2.会根据给定的条件求圆的一般方程会根据给定的条件求圆的一般方程, ,并能用圆的一般方程解决简单并能用圆的一般方程解决简单 问题问题. . 3.3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法初步掌握求动点的轨迹方程的方法. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.圆的一般方程圆的一般方程 当当D D 2 2+E +E 2 2- -4F0 4F0时时, ,方程方程x x 2 2+y
2、+y 2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0表示一个圆表示一个圆, ,此方程叫做圆的一般方此方程叫做圆的一般方 程程, ,其中圆心为其中圆心为, 22 DE , ,半径长为半径长为 22 1 4 2 DEF. . 2.2.方程方程 x x 2 2+y +y 2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 表示的图形表示的图形 方程方程 条件条件 图形图形 D D 2 2+E +E 2 2- -4F0 表示以表示以, 22 DE 为圆心为圆心, ,以以 22 1 4 2 DEF为半径为半径 长的圆长的圆 3.3.用用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的大致步骤求圆的方程的大致步骤 (
3、1)(1)根据题意根据题意, ,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一般方程; ; (2)(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组的方程组; ; (3)(3)解出解出a,b,ra,b,r或或D,E,F,D,E,F,代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程. . 自我检测自我检测 1.(1.(二元二次方程与圆二元二次方程与圆) )圆圆x x2 2+y+y2 2- -2x+4y=02x+4y=0的圆心坐标是的圆心坐标是( ( ) ) (A)(1,(A)(1,- -2)2) (B)(1,2)(B)(1,2) (C)(C)(- -1,2)1,2)
4、(D)(D)(- -1,1,- -2)2) A A 2.(2.(圆的一般方程圆的一般方程) )圆圆x x2 2+y+y2 2- -6x+8y=06x+8y=0的半径等于的半径等于( ( ) ) (A)3(A)3 (B)4(B)4 (C)5(C)5 (D)25(D)25 C C 3.(3.(圆的一般方程圆的一般方程) )若方程若方程x x2 2+y+y2 2- -4x+2y+5k=04x+2y+5k=0表示圆表示圆, ,则则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) ) (A)(1,+)(A)(1,+) (B)(B)(- -,1),1) (C)1,+)(C)1,+) (D)(D)(- -,1,1
5、B B 4.(4.(求圆的一般方程求圆的一般方程) )以点以点A(0,0),B(4,3)A(0,0),B(4,3)为直径的两个端点的圆的一般方为直径的两个端点的圆的一般方 程是程是 . . 答案答案: :x x2 2+y+y2 2- -4x4x- -3y=03y=0 5.(5.(与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题) )一动点一动点M M到到A(A(- -4,0)4,0)的距离是它到的距离是它到B(2,0)B(2,0)的距离的的距离的 2 2倍倍, ,则动点则动点M M的轨迹方程是的轨迹方程是 . . 答案答案: :x x2 2+y+y2 2- -8x=08x=0 课堂探究课堂探究 二元二次方
6、程与圆的关系二元二次方程与圆的关系 题型一题型一 【教师备用教师备用】 圆的方程的判断圆的方程的判断 1.1.圆的一般方程的结构有什么特征圆的一般方程的结构有什么特征? ? 提示提示: :x x2 2和和y y2 2的系数相等均为的系数相等均为1,1,没有没有xyxy项项. . 2.2.二元二次方程二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0具备什么条件才能表示圆具备什么条件才能表示圆? ? 提示提示: :需同时具备三个条件需同时具备三个条件: :A=C0;A=C0;B=0;B=0;D D2 2+E+E2 2- -4AF0.4AF0. (
7、4)(4)方程方程 2x2x 2 2+2y +2y 2 2- -5x=0 5x=0 化为化为 2 5 4 x +y+y 2 2= = 2 5 4 , , 所以它表示以所以它表示以 5 ,0 4 为圆心为圆心, ,半径长为半径长为 5 4 的圆的圆. . 下列方程是否表示圆下列方程是否表示圆, ,若是若是, ,求出圆心和半径求出圆心和半径. . (1)2x(1)2x2 2+y+y2 2- -7y+5=0; (2)x7y+5=0; (2)x2 2- -xy+yxy+y2 2+6x+7y=0;+6x+7y=0; (3)x(3)x2 2+y+y2 2- -2x2x- -4y+10=0;(4)2x4y+
8、10=0;(4)2x2 2+2y+2y2 2- -5x=0.5x=0. 【例例1 1】 解解: : (1)(1)因为方程因为方程2x2x2 2+y+y2 2- -7y+5=07y+5=0中中x x2 2与与y y2 2的系数不相同的系数不相同, ,所以它所以它 不表示圆不表示圆. . (2)(2)因为方程因为方程x x2 2- -xy+yxy+y2 2+6x+7y=0+6x+7y=0中含有中含有xyxy这样的项这样的项, ,所以它不表所以它不表 示圆示圆. . (3)(3)方程方程x x2 2+y+y2 2- -2x2x- -4y+10=04y+10=0化为化为 (x(x- -1)1)2 2+
9、(y+(y- -2)2)2 2= =- -5,5, 所以它不表示圆所以它不表示圆. . 题后反思题后反思 判断二元二次方程判断二元二次方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法是否表示圆的方法: : (1)(1)利用圆的一般方程的定义利用圆的一般方程的定义, ,求出求出D D2 2+E+E2 2- -4F4F利用其符号判断利用其符号判断. . (2)(2)将方程配方化为将方程配方化为(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=m=m的形式的形式, ,根据根据m m的符号判断的符号判断. . 解解: :由方程由方程 x x 2 2+y
10、 +y 2 2- -4mx+2my+20m 4mx+2my+20m- -20=0,20=0, 可知可知 D=D=- -4m,E=2m,F=20m4m,E=2m,F=20m- -20,20, 所以所以 D D 2 2+E +E 2 2- -4F=16m 4F=16m 2 2+4m +4m 2 2- -80m+80=20(m 80m+80=20(m- -2)2) 2 2, ,因此 因此, ,当当 m=2m=2 时时,D,D 2 2+E +E 2 2- -4F=0, 4F=0, 它表示一个点它表示一个点, ,当当 m m2 2 时时,D,D 2 2+E +E 2 2- -4F0, 4F0,原方程表示
11、圆的方程原方程表示圆的方程, ,此时此时, ,圆的圆的 圆心为圆心为(2m,(2m,- -m),m),半径为半径为 r=r= 22 1 4 2 DEF= =5|m|m- -2|.2|. 方程方程x x2 2+y+y2 2- -4mx+2my+20m4mx+2my+20m- -20=020=0能否表示圆能否表示圆? ?若能表示圆若能表示圆, ,求求 出圆心和半径出圆心和半径. . 即时训练即时训练1 1- -1:1: 解解: :(1)(1)因为方程因为方程 x x 2 2+y +y 2 2- -2(2 2(22t t- -3)x+2(13)x+2(1- -4t4t 2 2)y+16t )y+16
12、t 4 4+9=0(t +9=0(tR)R)表示圆表示圆, , 所以所以 D=D=- -2(22(22t t- -3),E=2(13),E=2(1- -4t4t 2 2),F=16t ),F=16t 4 4+9, +9,由由 D D 2 2+E +E 2 2- -4F0 4F0 得得, ,- -48482t+40,t+40,解之得解之得 t0),由题意可得由题意可得 5260, 2280, 55500, DEF DEF DEF 解得解得 4, 2, 20. D E F 故圆的方程为故圆的方程为 x x 2 2+y +y 2 2- -4x 4x- -2y2y- -20=0.20=0. 法二法二
13、由题意可求得弦由题意可求得弦 ACAC 的中垂线方程为的中垂线方程为 x=2,x=2, BCBC 的中垂线方程为的中垂线方程为 x+yx+y- -3=0,3=0, 由由 2, 30, x xy 解得解得 2, 1, x y 所以圆心所以圆心 P P 的坐标为的坐标为(2,1).(2,1). 圆半径圆半径 r=|AP|=r=|AP|= 22 (21)(15)=5.=5.所以圆的方程为所以圆的方程为(x(x- -2)2) 2 2+(y +(y- -1)1) 2 2=25. =25. 即即 x x 2 2+y +y 2 2- -4x 4x- -2y2y- -20=0.20=0. 【例例2 2】 已知
14、已知ABCABC的三个顶点分别为的三个顶点分别为A(A(- -1,5),B(1,5),B(- -2,2,- -2),C(5,5),2),C(5,5),求其外求其外 接圆的一般方程接圆的一般方程. . 题后反思题后反思 对圆的一般方程和标准方程的选择对圆的一般方程和标准方程的选择: : (1)(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径 来列方程的问题来列方程的问题, ,一般采用圆的标准方程一般采用圆的标准方程, ,再用待定系数法求出再用待定系数法求出a,b,r.a,b,r. (2)(2)如果已知条件和圆心或半径都
15、无直接关系如果已知条件和圆心或半径都无直接关系, ,一般采用圆的一般方程一般采用圆的一般方程, ,再再 利用待定系数法求出常数利用待定系数法求出常数D,E,F.D,E,F. 特别提醒特别提醒 当条件与圆的圆心和半径有关时当条件与圆的圆心和半径有关时, ,常设圆的标准方程常设圆的标准方程; ;条件与条件与 点有关时点有关时, ,常设圆的一般方程常设圆的一般方程. . 解解: :设圆的一般方程为设圆的一般方程为 x x 2 2+y +y 2 2+Dx+Ey+F=0(D +Dx+Ey+F=0(D 2 2+E +E 2 2- -4F0), 4F0),则圆心坐标为则圆心坐标为 , 22 DE , , 由
16、题意可得由题意可得 2 2 , 22 220, 440, ED DF EF 解得解得 6, 6, 8. D E F 所以圆的一般方程为所以圆的一般方程为 x x 2 2+y +y 2 2- -6x+6y+8=0, 6x+6y+8=0,化为标准方程为化为标准方程为 (x(x- -3)3) 2 2+(y+3) +(y+3) 2 2=10. =10. 即时训练即时训练2 2- -1:1:求圆心在求圆心在y=y=- -x x上且过两点上且过两点(2,0),(0,(2,0),(0,- -4)4)的圆的一般方程的圆的一般方程, , 并把它化成标准方程并把它化成标准方程. . 解解: :设圆的一般方程为设圆
17、的一般方程为 x x 2 2+y +y 2 2+Dx+Ey+F=0, +Dx+Ey+F=0,令令 y=0,y=0,得得 x x 2 2+Dx+F=0, +Dx+F=0,所以所以 圆在圆在x x轴上的截距之和为轴上的截距之和为x x1 1+x+x2 2= =- -D;D;令令x=0,x=0,得得y y 2 2+Ey+F=0, +Ey+F=0,所以圆在所以圆在y y 轴上的截距之和为轴上的截距之和为 y y1 1+y+y2 2= =- -E;E; 由题设由题设,x,x1 1+x+x2 2+y+y1 1+y+y2 2= =- -(D+E)=2,(D+E)=2, 所以所以 D+E=D+E=- -2.2
18、. 又又 A(4,2),B(A(4,2),B(- -1,3)1,3)两点在圆上两点在圆上, , 所以所以 16+4+4D+2E+F=0,16+4+4D+2E+F=0, 1+91+9- -D+3E+F=0,D+3E+F=0, 由可得由可得 D=D=- -2,E=0,F=2,E=0,F=- -12,12, 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -12=12=0.0. 【备用例【备用例2 2】 求经过两点求经过两点A(4,2),B(A(4,2),B(- -1,3),1,3),且在两坐标轴上的四个截距且在两坐标轴上的四个截距 之和为之和为2 2的圆的方程
19、的圆的方程. . 求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程( (或轨迹或轨迹) ) 题型三题型三 【例例3 3】 已知直角已知直角ABCABC的斜边为的斜边为AB,AB,且且A(A(- -1,0),B(3,0),1,0),B(3,0),求求: : (1)(1)直角顶点直角顶点C C的轨迹方程的轨迹方程; ; (2)(2)直角边直角边BCBC中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 解解: :(1)(1)法一法一 设顶点设顶点 C(x,y),C(x,y),因为因为 ACACBC,BC,且且 A,B,CA,B,C 三点不共线三点不共线, ,所以所以 x x3 3 且且 x x- -1.1. 又又 k kA
20、C AC= = 1 y x ,k,kBC BC= = 3 y x , ,且且 k kAC ACk kBCBC= =- -1,1,所以所以 1 y x 3 y x = =- -1,1,化简得化简得 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -3=0.3=0. 因此因此, ,直角顶点直角顶点 C C 的轨迹方程为的轨迹方程为 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -3=0(x3=0(x3 3 且且 x x- -1).1). 法二法二 同法一得同法一得 x x3 3 且且 x x- -1.1. 由勾股定理得由勾股定理得|AC|AC| 2 2+|BC| +|BC| 2 2=|A
21、B| =|AB| 2 2, ,即 即(x+1)(x+1) 2 2+y +y 2 2+(x +(x- -3)3) 2 2+y +y 2 2=16, =16,化简得化简得 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -3=0.3=0.因此因此, ,直角顶点直角顶点 C C 的轨迹方程为的轨迹方程为 x x 2 2+y +y 2 2- -2x 2x- -3=0(x3=0(x3 3 且且 x x- -1).1). 法三法三 设设 ABAB 中点为中点为 D,D,由中点坐标公式得由中点坐标公式得 D(1,0),D(1,0),由直角三角形的性质由直角三角形的性质 知知,|CD|=,|CD|= 1
22、2 |AB|=2,|AB|=2,由圆的定义知由圆的定义知, ,动点动点 C C 的轨迹是以的轨迹是以 D(1,0)D(1,0)为圆心为圆心, ,以以 2 2 为为 半径长的圆半径长的圆( (由于由于 A,B,CA,B,C 三点不共线三点不共线, ,所以应除去与所以应除去与 x x 轴的交点轴的交点).). 设设 C(x,y),C(x,y),则直角顶点则直角顶点 C C 的轨迹方程为的轨迹方程为(x(x- -1)1) 2 2+y +y 2 2=4(x =4(x3 3 且且 x x- -1).1). (2)(2)设点设点 M(x,y),M(x,y),点点 C(xC(x0 0,y,y0 0),),因
23、为因为 B(3,0),MB(3,0),M 是线段是线段 BCBC 的中点的中点, ,由中点坐标公由中点坐标公 式得式得 x=x= 0 3 2 x (x (x3 3 且且 x x1),y=1),y= 0 3 2 y , ,于是有于是有 x x0 0=2x=2x- -3,y3,y0 0=2y.=2y. 由由(1)(1)知知, ,点点 C C 在圆在圆(x(x- -1)1) 2 2+y +y 2 2=4(x =4(x3 3 且且 x x- -1)1)上运动上运动, ,将将 x x0 0,y,y0 0代入该方程得代入该方程得 (2x(2x- -4)4) 2 2+(2y) +(2y) 2 2=4, =4
24、,即即(x(x- -2)2) 2 2+y +y 2 2=1. =1. 因此动点因此动点 M M 的轨迹方程为的轨迹方程为(x(x- -2)2) 2 2+ +y y2 2=1(x =1(x3 3 且且 x x1).1). 题后题后反思反思 求与圆有关的轨迹方程的常用方法求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)(1)直接法直接法: :根据题目的条件根据题目的条件, ,建立适当的平面直角坐标系建立适当的平面直角坐标系, ,设出动点坐标设出动点坐标, ,并并 找出动点所满足的条件找出动点所满足的条件, ,并用坐标表示并用坐标表示, ,化简即得轨迹方程化简即得轨迹方程. . (2)(2)定义法定义法: :
25、当动点的轨迹符合圆的定义时当动点的轨迹符合圆的定义时, ,可直接写出动点的轨迹方程可直接写出动点的轨迹方程. . (3)(3)相关点法相关点法: :若动点若动点P(x,y)P(x,y)随着圆上的另一动点随着圆上的另一动点Q(xQ(x1 1,y,y1 1) )运动而运动运动而运动, ,且且 x x1 1,y,y1 1可用可用x,yx,y表示表示, ,则可将则可将Q Q点的坐标代入已知圆的方程点的坐标代入已知圆的方程, ,即得动点即得动点P P的轨迹的轨迹 方程方程. . 解解: :设设 Q Q 点坐标为点坐标为(x,y),P(x,y),P 点坐标为点坐标为(x(x,y,y),), 则则 x=x=
26、 4 2 x 且且 y=y= 0 2 y , , 即即 x x=2x=2x- -4,y4,y=2y.=2y. 又又 P P 点在圆点在圆 x x 2 2+y +y 2 2=4 =4 上上, , 所以所以(x(x) ) 2 2+(y +(y) ) 2 2=4, =4, 将将 x x=2x=2x- -4,y4,y=2y=2y 代入得代入得(2x(2x- -4)4) 2 2+(2y) +(2y) 2 2=4, =4, 即即(x(x- -2)2) 2 2+y +y 2 2=1. =1. 故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为(x(x- -2)2) 2 2+y +y 2 2=1. =1. 已知定点已知定点
27、A(4,0),PA(4,0),P点是圆点是圆x x2 2+y+y2 2=4=4上一动点上一动点,Q,Q点是点是APAP的中点的中点, , 求求Q Q点的轨迹方程点的轨迹方程. . 即时训练即时训练3 3- -1:1: 解解: :以直线以直线ABAB为为x x轴轴,AB,AB的中垂线为的中垂线为y y轴建立坐标系轴建立坐标系( (如图如图),),则则A(A(- -2,0),B(2,0),2,0),B(2,0), 设设 C(x,y),BCC(x,y),BC 中点中点 D(xD(x0 0,y,y0 0).). 所以所以 0 0 2 , 2 0 . 2 x x y y 因为因为|AD|=3,|AD|=
28、3,所以所以(x(x0 0+2)+2) 2 2+ +2 0 y=9.=9. 将代入将代入, ,整理得整理得(x+6)(x+6) 2 2+y +y 2 2=36. =36. 因为点因为点 C C 不能在不能在 x x 轴上轴上, ,所以所以 y y0.0. 综上综上, ,点点C C的轨迹是以的轨迹是以( (- -6,0)6,0)为圆心为圆心,6,6为半径的圆为半径的圆, ,去掉去掉( (- -12,0)12,0)和和(0,0)(0,0)两点两点. . 轨迹方程为轨迹方程为(x+6)(x+6) 2 2+y +y 2 2=36(y =36(y0).0). 【备用例【备用例3 3】 已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为4,4,若若BCBC边上的中线为定长边上的中线为定长3,3,求顶点求顶点C C的的 轨迹方程轨迹方程. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
