1、2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解二面角及其平面角的定义了解二面角及其平面角的定义, ,并会求简单二面角的大小并会求简单二面角的大小. . 2.2.理解两个平面互相垂直的定义理解两个平面互相垂直的定义. . 3.3.理解两个平面垂直的判定定理理解两个平面垂直的判定定理, ,并能用定理判定面面垂直并能用定理判定面面垂直. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.二面角二面角 (1)(1)定义定义: :从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
2、角, ,这条直线叫二面角这条直线叫二面角 的的 , ,这两个半平面叫二面角的这两个半平面叫二面角的 . .图中的二面角可记作图中的二面角可记作: :二面角二面角ABAB 或或l l 或或 P P ABAB Q.Q. 面面 棱棱 (2)(2)二面角的平面角二面角的平面角: :如图如图, ,在二面角在二面角l l 的棱的棱l l上任取一点上任取一点O,O,以点以点O O为垂足为垂足, ,在半平在半平 面面 和和 内分别作内分别作 的射线的射线 OA,OB,OA,OB,则射线则射线 OAOA 和和 OBOB 构成的构成的AOBAOB 叫做二面叫做二面 角的平面角角的平面角. .平面角是平面角是 的二
3、面角叫做直二面角的二面角叫做直二面角. . 垂直于棱垂直于棱l l 直角直角 2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,两个平面相交两个平面相交, ,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是 , ,就就 说这两个平面互相垂直说这两个平面互相垂直. .平面平面 与与 垂直垂直, ,记作记作 . . 直二面角直二面角 (2)(2)判定定理判定定理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 一个平面过一个平面过 , ,则这则这 两个平面垂直两个平面垂直 l l 另一个平面的垂线另一个平面的垂线 自我检测自我检测 1.(1.(空间角空间角) )以
4、下角以下角: :异面直线所成角异面直线所成角; ;直线和平面所成角直线和平面所成角; ;二面角的二面角的 平面角平面角. .可能为钝角的有可能为钝角的有( ( ) ) (A)0(A)0个个 (B)1(B)1个个 (C)2(C)2个个 (D)3(D)3个个 2.(2.(判定定理判定定理) )直线直线ll平面平面 ,l,l 平面平面 , ,则则 与与 的位置关系是的位置关系是( ( ) ) (A)(A)平行平行 (B)(B)可能重合可能重合 (C)(C)相交且垂直相交且垂直 (D)(D)相交不垂直相交不垂直 B B C C 3.(3.(面面垂直的判定面面垂直的判定) )如图如图, ,在三棱锥在三棱
5、锥A A- -BCDBCD中中,AB,AB平面平面BCD,BCCD,BCD,BCCD,则三则三 棱锥的四个面中棱锥的四个面中, ,互相垂直的有互相垂直的有( ( ) ) (A)1(A)1对对 (B)2(B)2对对 (C)3(C)3对对 (D)4(D)4对对 C C 4.(4.(二面角二面角)(2014)(2014太和二中高一期末太和二中高一期末) )三棱锥三棱锥P P ABCABC的两侧面的两侧面PAB,PBCPAB,PBC都是都是 边长为边长为 2 2 的正三角形的正三角形,AC=,AC=3, ,则二面角则二面角 A A PBPB C C 的大小为的大小为 . . 答案答案: :6060 5
6、.(5.(二面角二面角) )已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为 12,12,底面对角线的长为底面对角线的长为 2 26, ,则侧面与则侧面与 底面所成的二面角等于底面所成的二面角等于 . . 答案答案: :3030 课堂探究课堂探究 二面角二面角 题型一题型一 【例例1 1】 下列命题中下列命题中: :两个相交平面组成的图形叫做二面角两个相交平面组成的图形叫做二面角; ;异面异面 直线直线a,ba,b分别和一个二面角的两个面垂直分别和一个二面角的两个面垂直, ,则则a,ba,b所成的角与这个二面所成的角与这个二面 角相等或互补角相等或互补; ;二面角的平面角是从棱上一点出发二面角的平面角
7、是从棱上一点出发, ,分别在两个面内分别在两个面内 作射线所成的角作射线所成的角; ;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没 有关系有关系, ,其中正确的是其中正确的是( ( ) ) (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D) 解析解析: :对对, ,显然混淆了平面与半平面的概念显然混淆了平面与半平面的概念, ,是错误的是错误的; ;对对, ,由于由于a,ba,b 分别垂直于两个面分别垂直于两个面, ,所以也垂直于二面角的棱所以也垂直于二面角的棱, ,但由于异面直线所成的但由于异面直线所成的 角为锐角角为锐角( (或直角或直角),),所
8、以应是相等或互补所以应是相等或互补, ,是正确的是正确的; ;对对, ,因为不一定因为不一定 垂直于棱垂直于棱, ,所以是错误的所以是错误的; ;是正确的是正确的. .故选故选B.B. 题后反思题后反思 (1)(1)二面角的平面角满足二面角的平面角满足: :顶点在二面角的棱上顶点在二面角的棱上; ;两边分两边分 别在二面角的面内别在二面角的面内; ;两边分别与二面角的棱垂直两边分别与二面角的棱垂直. . (2)(2)二面角的平面角二面角的平面角是两条射线所成的角是两条射线所成的角, ,因此二面角不一定是锐角因此二面角不一定是锐角, , 其范围为其范围为0 0180180. . 即时训练即时训练
9、1 1 1:1:如图长方体中如图长方体中,AB=AD=2,AB=AD=23,CC,CC1 1= =2, ,则二面角则二面角C C1 1BDBD C C的大的大 小为小为( ( ) ) (A)30(A)30 (B)45(B)45 (C)60(C)60 (D)90(D)90 解析解析: :取取 BDBD 的中点的中点 O,O,连接连接 CO,CCO,C1 1O.O. 由由 AB=AD=2AB=AD=23, ,得得 COCOBD,BD,且且 CO=CO= 1 2 BD=BD=6. . 又又 C C1 1B=CB=C1 1D,D,所以所以 C C1 1O OBD,BD, 则则C C1 1OCOC 是二
10、面角是二面角 C C1 1BDBD C C 的平面角的平面角. . 在在 RtRtC C1 1COCO 中中,OC=,OC=6,CC,CC1 1= =2, ,则则 tantanC C1 1OC=OC= 3 3 , ,所以所以C C1 1OC=30OC=30. .故选故选 A.A. 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 题型二题型二 【例例2 2】 如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,O,O是正方形的中心是正方形的中心,PO,PO底面底面ABCD,EABCD,E是是 PCPC的中点的中点. . 求证求证:(1)PA:(1)PA平面平面BDE;BDE; (2)(2)平面
11、平面PACPAC平面平面BDE.BDE. 证明证明: :(1)(1)连接连接OE,AC,OE,AC,则则O O是是ACAC的中点的中点, ,又又E E是是PCPC的中点的中点, , 所以所以OEAP,OEAP, 又因为又因为OEOE 平面平面BDE,PABDE,PA 平面平面BDE.BDE.所以所以PAPA平面平面BDE.BDE. (2)(2)因为因为POPO底面底面ABCD,POBD,ABCD,POBD, 又因为又因为ACBD,ACBD,且且ACPO=O,ACPO=O, 所以所以BDBD平面平面PAC,PAC,而而BDBD 平面平面BDE,BDE,所以平面所以平面PACPAC平面平面BDE.
12、BDE. 题后题后反思反思 判定两平面垂直的常用方法判定两平面垂直的常用方法:(1):(1)定义法定义法: :即说明两个平面所成的即说明两个平面所成的 二面角是直二面角二面角是直二面角;(2);(2)判定定理法判定定理法: :其关键是在其中一个平面内寻找一直线其关键是在其中一个平面内寻找一直线 与另一个平面垂直与另一个平面垂直, ,即把问题转化为即把问题转化为“线面垂直线面垂直”;(3);(3)性质法性质法: :两个平行平两个平行平 面中的一个垂直于第三个平面面中的一个垂直于第三个平面, ,则另一个也垂直于此平面则另一个也垂直于此平面. . 即时训练即时训练 2 2 1:1:(2015(201
13、5 蚌埠一中高二期中蚌埠一中高二期中) )如图如图,E,E、F F 分别为直角三角形分别为直角三角形 ABCABC 的直角边的直角边 ACAC 和斜边和斜边 ABAB 的中点的中点, ,沿沿 EFEF 将将AEFAEF 折起到折起到A AEFEF 的位置的位置, ,连接连接 A AB B、A AC,PC,P 为为 A AC C 的中点的中点. . (1)(1)求证求证:EP:EP平面平面 A AFB.FB. (2)(2)求证求证: :平面平面 A AECEC平面平面 A ABC.BC. 证明证明: : (1)(1)因为因为E E、P P分别为分别为ACAC、ACAC的中点的中点, , 所以所以
14、EPAA,EPAA,又又AAAA 平面平面AAB,AAB,而而EPEP 平面平面AAB,AAB, 所以所以 EPEP平面平面AAB,AAB,即即 EPEP平面平面AFB.AFB. (2)(2)因为因为E E、F F分别为直角三角形分别为直角三角形ABCABC的直角边的直角边ACAC和斜边和斜边ABAB的中点的中点, ,所以所以 EFBC.EFBC.因为因为BCAC,EFAE,BCAC,EFAE, 故故EFAE,EFAE,所以所以BCAE.BCAE.而而AEAE与与ACAC相交相交, ,所以所以BCBC平面平面AEC.AEC. 又又BCBC 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ABCABC平
15、面平面AEC.AEC. 【备用例【备用例 1 1】 如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P P ABCABC 中中,PA=PB=AB=BC,PA=PB=AB=BC,PBC=90PBC=90,D,D 为为 ACAC 的中点的中点,AB,ABPD.PD. 求证求证: :平面平面 PABPAB平面平面 ABC.ABC. 证明证明: :取取ABAB的中点为的中点为O,O,连接连接OD,OP.OD,OP. 因为因为PA=PB,PA=PB,所以所以ABOP.ABOP.又又ABPD,OPPD=P,ABPD,OPPD=P, 所以所以ABAB平面平面POD.POD. 因为因为ODOD 平面平面POD,POD,所以所
16、以ABOD.ABOD. 由已知由已知,BCPB,BCPB, 又又ODBC,ODBC,所以所以ODPB,ODPB, 因为因为ABPB=B,ABPB=B,所以所以ODOD平面平面PAB.PAB. 又又ODOD 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面PABPAB平面平面ABC.ABC. 【备用例【备用例 2 2】 (2014 (2014 高考北京卷高考北京卷) )如图如图, ,在三棱柱在三棱柱 ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面, , ABABBC,AABC,AA1 1=AC=2,BC=1,E,F=AC=2,BC=1,E,F 分别是分别是 A
17、A1 1C C1 1,BC,BC 的中点的中点. . (1)(1)求证求证: :平面平面 ABEABE平面平面 B B1 1BCCBCC1 1; ; (2)(2)求证求证:C:C1 1F F平面平面 ABE;ABE; (3)(3)求三棱锥求三棱锥 E E ABCABC 的体积的体积. . (1)(1)证明证明: :因为在三棱柱因为在三棱柱 ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面 所以所以 BBBB1 1AB,AB, 又因为又因为 ABABBC,BBBC,BB1 1BC=B,BC=B, 所以所以 ABAB平面平面 B B1 1BCCBCC1
18、1, , 因为因为 ABAB 平面平面 ABE.ABE. 所以平面所以平面 ABEABE平面平面 B B1 1BCCBCC1 1. . (2)(2)证明证明: :取取 ABAB 的中点的中点 G,G,连接连接 EG,FG.EG,FG. 因为因为 E,FE,F 分别是分别是 A A1 1C C1 1,BC,BC 的中点的中点, , 所以所以 FGFGAC,AC,且且 FG=FG= 1 2 AC.AC. 因为因为 ACACA A1 1C C1 1, ,且且 AC=AAC=A1 1C C1 1, ,所以所以 FGFGECEC1 1, ,且且 FG=ECFG=EC1 1. . 所以四边形所以四边形 F
19、GECFGEC1 1为平行四边形为平行四边形, ,所以所以 C C1 1F FEG.EG. 又因为又因为 EGEG 平面平面 ABE,CABE,C1 1F F 平面平面 ABE,ABE, 所以所以 C C1 1F F平面平面 ABE.ABE. (3)(3)解解: :因为因为 AAAA1 1=AC=2,BC=1,AB=AC=2,BC=1,ABBC,BC,所以所以 AB=AB= 22 ACBC= =3. . 所以三棱锥所以三棱锥 E E ABCABC 的体积的体积 V=V= 1 3 S S ABCABCAAAA1 1= = 1 3 1 2 31 12=2= 3 3 . . 线面垂直、面面垂直的综合
20、问题线面垂直、面面垂直的综合问题 题型三题型三 提示提示: :作二面角的三种常用方法作二面角的三种常用方法: : (1)(1)定义法定义法: :在二面角的棱上找一个特殊点在二面角的棱上找一个特殊点, ,在两个半平面内分别作垂直于在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线棱的射线. .如图如图, ,则则AOBAOB 为二面角为二面角 l l 的平面角的平面角. . 【教师备用教师备用】 如何作二面角的平面角如何作二面角的平面角? ? (2)(2)垂直法垂直法: :过棱上一点作棱的垂直平面过棱上一点作棱的垂直平面, ,该平面与二面角的两个半平面产该平面与二面角的两个半平面产 生交线生交线, ,这两条交线
21、所成的角这两条交线所成的角, ,即为二面角的平面角即为二面角的平面角. .如图如图, ,AOBAOB 为二面为二面 角角 l l 的平面角的平面角. . (3)(3)垂线法垂线法: :过二面角的一个面内异于棱上的过二面角的一个面内异于棱上的 A A 点向另一个平面作垂线点向另一个平面作垂线, ,垂足垂足 为为 B,B,由点由点 B B 向二面角的棱作垂线向二面角的棱作垂线, ,垂足为垂足为 O,O,连接连接 AO,AO,则则AOBAOB 为二面角的平为二面角的平 面角或其补角面角或其补角. .如图如图, ,AOBAOB 为二面角为二面角 l l 的平面角的平面角. . 【例【例 3 3】 如图
22、如图, ,在四棱锥在四棱锥 P P ABCDABCD 中中, ,底面是边长为底面是边长为 a a 的正方形的正方形, ,侧棱侧棱 PD=a,PA=PC=PD=a,PA=PC=2a,a, (1)(1)求证求证:PD:PD平面平面 ABCD;ABCD; (2)(2)求证求证: :平面平面 PACPAC平面平面 PBD;PBD; (3)(3)求二面角求二面角 P P BCBC D D 的大小的大小. . (1)(1)证明证明: :因为因为 PD=a,DC=a,PC=PD=a,DC=a,PC=2a,a, 所以所以 PCPC 2 2=PD =PD 2 2+DC +DC 2 2, ,所以 所以 PDPDD
23、C.DC. 同理可证同理可证 PDPDAD,AD, 因为因为 ADAD 平面平面 ABCD,DCABCD,DC 平面平面 ABCD,ABCD, 且且 ADADDC=D,DC=D, 所以所以 PDPD平面平面 ABCD.ABCD. (2)(2)证明证明: :由由(1)(1)知知PDPD平面平面ABCD,ABCD, 所以所以PDAC,PDAC,而四边形而四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,所以所以ACBD,ACBD,又又BDPD=D,BDPD=D, 所以所以ACAC平面平面PBD.PBD. 因为因为ACAC 平面平面PAC,PAC, 所以平面所以平面PACPAC平面平面PBD.PBD. (
24、3)(3)解解: :由由(1)(1)知知PDBC,PDBC, 又又BCDC,PDDC=D,BCDC,PDDC=D, 所以所以BCBC平面平面PDC,PDC,所以所以BCPC.BCPC. 所以所以PCDPCD为二面角为二面角PBCDPBCD的平面角的平面角. . 而而PCDPCD为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,所以所以PCD=45PCD=45, , 即二面角即二面角PBCDPBCD的大小为的大小为4545. . 题后题后反思反思 (1)(1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂 直之间的转化直之间的转化. . (2)(2)求二
25、面角的大小的关键是作出二面角的平面角求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角, ,这就需要紧扣它的三个这就需要紧扣它的三个 条件条件, ,即这个角的顶点是否在棱上即这个角的顶点是否在棱上; ;角的两边是否分别在两个平面内角的两边是否分别在两个平面内; ;这两边这两边 是否都与棱垂直是否都与棱垂直. .在具体作图时在具体作图时, ,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方还要注意掌握一些作二面角的平面角的方 法技巧法技巧, ,如如: :线面的垂直线面的垂直, ,图形的对称性图形的对称性, ,与棱垂直的面等与棱垂直的面等. . 即时训练即时训练 3 3 1 1: :(2(2015015 临汾曲沃二中高
26、二期中临汾曲沃二中高二期中) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P P ABCABC 中中,PC,PC 底面底面 ABC,ABABC,ABBC,D,EBC,D,E 分别是分别是 AB,PBAB,PB 的中点的中点. . (1)(1)求证求证:DE:DE平面平面 PAC;PAC; (2)(2)求证求证:AB:ABPB;PB; (3)(3)若若 PC=BC,PC=BC,求二面角求二面角 P P ABAB C C 的大小的大小. . (1)(1)证明证明: :因为因为D,ED,E分别是分别是AB,PBAB,PB的中点的中点, , 所以所以DEPA.DEPA. 又因为又因为PAPA 平面平面PAC,D
27、EPAC,DE 平面平面PAC,PAC, 所以所以DEDE平面平面PAC.PAC. (2)(2)证明证明: :因为因为PCPC底面底面ABC,ABABC,AB 底面底面ABC,ABC, 所以所以PCAB.PCAB. 又因为又因为ABBC,PCBC=C,ABBC,PCBC=C, 所以所以ABAB平面平面PBC,PBC, 又因为又因为PBPB 平面平面PBC,PBC, 所以所以ABPB.ABPB. (3)(3)解解: :由由(2)(2)知知,ABPB,ABBC,ABPB,ABBC, 所以所以PBCPBC即为二面角即为二面角P P- -ABAB- -C C的平面角的平面角, , 因为因为PC=BC,
28、PCB=90PC=BC,PCB=90, , 所以所以PBC=45PBC=45, , 所以二面角所以二面角P P- -ABAB- -C C的大小为的大小为4545. . 【备用例【备用例 3 3】 (2015 (2015 合肥合肥 168168 中高二期中中高二期中) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 P P ABCDABCD 中中,PA,PA 底面底面 ABCD,ABABCD,ABAD,ACAD,ACCD,CD,ABC=60ABC=60,PA=AB=BC,E,PA=AB=BC,E 是是 PCPC 的中点的中点. . (1)(1)证明证明 CDCDAE;AE; (2)(2)证明证明 PDPD平面
29、平面 ABE;ABE; (3)(3)求二面角求二面角 A A PDPD C C 的正切值的正切值. . (1)(1)证明证明: :因为因为PAPA底面底面ABCD,CDABCD,CD 平面平面ABCD,ABCD, 所以所以PACD,PACD, 又又ACCD,ACPA=A,ACCD,ACPA=A, 所以所以CDCD平面平面PAC,PAC,又又AEAE 平面平面PAC,PAC, 所以所以CDAE.CDAE. (2)(2)证明证明: :因为因为PAPA底面底面ABCD,ABABCD,AB 平面平面ABCD,ABCD, 所以所以PAAB,PAAB, 又又ADAB,ADPA=A,ADAB,ADPA=A,
30、 所以所以ABAB平面平面PAD,PAD, 又又PDPD 平面平面PAD,PAD,所以所以ABPD,ABPD, 由由PA=AB=BC,ABC=60PA=AB=BC,ABC=60, , 则则ABCABC是正三角形是正三角形. .所以所以AC=AB,AC=AB,所以所以PA=AC.PA=AC. 因为因为E E是是PCPC中点中点, ,所以所以AEPC.AEPC. 由由(1)(1)知知AECD,AECD,又又CDPC=C,CDPC=C, 所以所以AEAE平面平面PCD,PCD,所以所以AEPD,AEPD, 又又ABPD,ABAE=A,ABPD,ABAE=A,所以所以PDPD平面平面ABE.ABE.
31、(3)(3)解解: :过过 E E 点作点作 EMEMPDPD 于于 M M 点点, ,连接连接 AM,AM, 由由(2)(2)知知 AEAE平面平面 PCD,PCD, 则则 AEAEPD,PD,则则 PDPD平面平面 AEM,AEM,所以所以 AMAMPD,PD, 则则AMEAME 是二面角是二面角 A A PDPD C C 的平面角的平面角. . 设设 AC=a,AD=AC=a,AD= cos30 a = = 2 3 a ,PA=a,PA=a,PD=PD= 2 2 4 3 a a = = 21 3 a,AM=a,AM= PA AD PD = = 2 3 21 3 a a a = = 2 7 a , , 在在 RtRtAEMAEM 中中, , AE=AE= 2 2 a,EM=a,EM= 22 AMAE= = 2 2 41 72 a a= = 14 14 a,a, 则则 tantanAME=AME= AE EM = = 2 2 14 14 a a = =7. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
