1、第四章第四章 圆与方程圆与方程 4.14.1 圆的方程圆的方程 4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征. . 2.2.能根据所给条件求圆的标准方程能根据所给条件求圆的标准方程. . 3.3.会判断点与圆的位置关系会判断点与圆的位置关系. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 (1)(1)以以C(a,b)C(a,b)为圆心为圆心,r(r0),r(r0)为半径的圆的标准方程为为半径的圆的标准方程为 . . (2)(2)以原点为圆心
2、以原点为圆心,r,r为半径的圆的标准方程为为半径的圆的标准方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. . 圆的标准方程圆的标准方程 (x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2 自我检测自我检测 1.(1.(圆的标准方程圆的标准方程) )圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1的圆心为的圆心为( ( ) ) (A)(0,0)(B)(1,1)(C)(0,1)(D)(A)(0,0)(B)(1,1)(C)(0,1)(D)不存在不存在 A A 2.2.( (圆的标准方程圆的标准方程) )圆圆(x(x- -1)1) 2 2+(y+2) +(y+2) 2 2=2 =2 的
3、半径为的半径为( ( ) ) (A)1(A)1 (B)(B)2 (C)2(C)2 (D)4(D)4 B B 圆心为点圆心为点(3,4)(3,4)且过点且过点(0,0)(0,0)的圆的方程是的圆的方程是( ( ) ) (A)x(A)x2 2+y+y2 2=25=25 (B)x(B)x2 2+y+y2 2=5=5 (C)(x(C)(x- -3)3)2 2+(y+(y- -4)4)2 2=25=25 (D)(x+3)(D)(x+3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=25=25 3.(3.(圆的标准方程圆的标准方程) ) C C 4.4.( (点与圆的位置关系点与圆的位置关系) )点点(2(23,
4、3),3)与圆与圆 x x 2 2+y +y 2 2=25 =25 的位置关系是在圆的位置关系是在圆 ( (选填“内”、“上”或“外”选填“内”、“上”或“外”).). 答案答案: :内内 5.5.( (点与圆的位置关系点与圆的位置关系) )若点若点P(P(- -1,1,3) )在圆在圆x x 2 2+y +y 2 2=m =m 2 2 上上, ,则实数则实数m=m= . . 答案答案: : 2 2 课堂探究课堂探究 圆的标准方程圆的标准方程 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.确定圆的标准方程的条件是什么确定圆的标准方程的条件是什么? ? 提示提示: :圆心坐标和半径圆心坐标和半径,
5、 ,其中圆心是圆的定位条件其中圆心是圆的定位条件, ,半径是圆的定量条件半径是圆的定量条件. . 2.2.方程方程(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=m=m2 2一定表示圆吗一定表示圆吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .当当m=0m=0时表示点时表示点(a,b),(a,b),当当m0m0时表示圆时表示圆. . 解解: :法一法一 设所求圆的标准方程为设所求圆的标准方程为(x(x- -a)a) 2 2+(y +(y- -b)b) 2 2=r =r 2 2, , 由已知条件得由已知条件得 222 222 (2)( 3), ( 2)( 5), 230, abr abr
6、 ab 解得解得 2 1, 2, 10. a b r 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x+1)(x+1) 2 2+(y+2) +(y+2) 2 2=10. =10. 法二法二 由由 A(2,A(2,- -3),B(3),B(- -2,2,- -5),5),得得 ABAB 的中点的中点(0,(0,- -4),k4),kAB AB= = 1 2 , , 所以所以 ABAB 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 y+4=y+4=- -2x,2x,即即 2x+y+4=0.2x+y+4=0. 解方程组解方程组 240, 230, xy xy 得得 1, 2. x y 所以圆心为所以圆心为( (
7、- -1,1,- -2),2),半径半径 r=r= 22 (2 1)( 32) = =10. . 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x+1)(x+1) 2 2+(y+2) +(y+2) 2 2=10. =10. 【例例1 1】 已知一个圆经过两个点已知一个圆经过两个点A(2,A(2,- -3)3)和和B(B(- -2,2,- -5),5),且圆心在直线且圆心在直线l:xl:x- -2y2y- - 3=03=0上上, ,求此圆的方程求此圆的方程. . 法三法三 设点设点 C C 是圆心是圆心. . 因为点因为点 C C 在直线在直线 l l 上上, ,所以设点所以设点 C(2b+3,b).C(2
8、b+3,b). 又因为又因为|CA|=|CB|,|CA|=|CB|, 所以所以 22 (233)(3)bb = = 22 (232)(5)bb , , 解得解得 b=b=- -2,2,所以圆心所以圆心 C(C(- -1,1,- -2),2),半径半径 r=r=10, , 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x+1)(x+1) 2 2+(y+2) +(y+2) 2 2=10. =10. 题后反思题后反思 确定圆的标准方程就是设法确定圆心确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)C(a,b)及半径及半径r,r,其求解的其求解的 方法方法: :一是待定系数法一是待定系数法, ,二是借助圆的几何性质直
9、接求得圆心坐标和半径二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径. . 一般地一般地, ,在解决有关圆的问题时在解决有关圆的问题时, ,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷有时利用圆的几何性质作转化较为简捷. . 解解: :法一法一 设圆的方程为设圆的方程为(x(x- -a)a) 2 2+(y +(y- -b)b) 2 2=r =r 2 2(r0). (r0). 则则 222 222 0, (5)(2), (3)( 2). b abr abr 解得解得 4, 0, 5. a b r 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x(x- -4)4) 2 2+y +y 2 2=5. =5. 法二法二 因为圆
10、过因为圆过A(5,2),B(3,A(5,2),B(3,- -2)2)两点两点, ,所以圆心一定在线段所以圆心一定在线段ABAB的中垂线上的中垂线上. . ABAB 中垂线的方程为中垂线的方程为 y=y=- - 1 2 (x(x- -4),4), 令令 y=0,y=0,得得 x=4.x=4.即圆心坐标即圆心坐标 C(4,0),C(4,0),所以所以 r=|CA|=r=|CA|= 22 (54)(20)= =5. . 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x(x- -4)4) 2 2+y +y 2 2=5. =5. 即时训练即时训练1 1- -1:1:求圆心在求圆心在x x轴上轴上, ,且过点且过
11、点A(5,2)A(5,2)和和B(3,B(3,- -2)2)的圆的标准方程的圆的标准方程. . 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 题型二题型二 【教师备用教师备用】 判断点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系 1.1.在平面几何中在平面几何中, ,点与圆有哪几种位置关系点与圆有哪几种位置关系? ? 提示提示: :在圆内在圆内, ,在圆上在圆上, ,在圆外在圆外. . 2.2.在平面几何中在平面几何中, ,如何确定点与圆的位置关系如何确定点与圆的位置关系? ? 提示提示: :利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断. . 3.3.在平面直角坐标系中在
12、平面直角坐标系中, ,已知点已知点M(xM(x0 0,y,y0 0) )和圆和圆(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2, ,如何判如何判 断点断点M M在圆外、圆上、圆内在圆外、圆上、圆内. . 提示提示: :当当(x(x0 0- -a)a)2 2+(y+(y0 0- -b)b)2 2=r=r2 2时时, ,点点M M在圆上在圆上; ; 当当(x(x0 0- -a)a)2 2+(y+(y0 0- -b)b)2 2r2 2时时, ,点点M M在圆外在圆外. . 解解: :(1)(1)设所求圆的标准方程为设所求圆的标准方程为(x(x- -a)a) 2 2+(y
13、+(y- -b)b) 2 2=r =r 2 2, , 由题意得由题意得 222 222 222 ( 1)(1), ( 2)( 6), (6)(0). abr abr abr 解得解得 a=2,b=a=2,b=- -3,r=5,3,r=5, 故外接圆方程为故外接圆方程为(x(x- -2)2) 2 2+(y+3) +(y+3) 2 2=25. =25. 【例例2 2】 已知已知A(A(- -1,1),B(1,1),B(- -2,2,- -6),C(6,0).6),C(6,0). (1)(1)求求ABCABC的外接圆方程的外接圆方程. . (2)(2)试判断试判断M(M(- -3,3,- -3),N
14、(5,2),Q(4,3),N(5,2),Q(4,- -7)7)是在是在(1)(1)所求圆的圆上所求圆的圆上, ,圆内还是圆外圆内还是圆外. . (2)(2)设圆心为设圆心为 O O, , 因为因为|O|OM|=M|= 22 2333 =5,|O=5,|ON|=N|= 22 (25)( 32) = =345,5, |O|OQ|=Q|= 22 (24)( 37) =2=250,所以所以 a=a=10. . 即时训练即时训练2 2- -1:1: (2)(2)因为因为|PN|=|PN|= 22 (35)(36)= =13,|QN|=,|QN|= 22 (55)(36)=3,=3, 所以所以|PN|QN
15、|,|PN|QN|,故点故点 P P 在圆外在圆外, ,点点 Q Q 在圆内在圆内, , 故故 30). (1)(1)若点若点M(6,9)M(6,9)在圆上在圆上, ,求半径求半径a;a; (2)(2)若点若点P(3,3)P(3,3)与与Q(5,3)Q(5,3)有一点在圆内有一点在圆内, ,另一点在圆外另一点在圆外, ,求求a a的范围的范围. . 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 题型三题型三 【例例3 3】 已知圆心在已知圆心在x x轴上的圆轴上的圆C C与与x x轴交于两点轴交于两点A(1,0),B(5,0).A(1,0),B(5,0). (1)(1)求此圆的标准方程求此圆的标准方程
16、; ; (2)(2)设设P(x,y)P(x,y)为圆为圆C C上任意一点上任意一点, ,求点求点P(x,y)P(x,y)到直线到直线x x- -y+1=0y+1=0的距离的最大值的距离的最大值 和最小值和最小值. . 解解: : (1)(1)由题意由题意, ,结合图结合图(1)(1)可知圆心为可知圆心为(3,0),r=2,(3,0),r=2, 所以圆所以圆C C的标准方程为的标准方程为(x(x- -3)3)2 2+y+y2 2=4.=4. (2)(2)如图如图(2)(2)所示所示, ,过点过点 C C 作作 CDCD 垂直于直线垂直于直线 x x- -y+1=0,y+1=0,垂足为垂足为 D.
17、D. 由点到直线的距离公式可得由点到直线的距离公式可得|CD|=|CD|= 31 2 =2=22, , 又又 P(x,y)P(x,y)是圆是圆 C C 上的任意一点上的任意一点, ,而圆而圆 C C 的半径为的半径为 2,2,结合图形易知点结合图形易知点 P P 到直到直 线线 x x- -y+1=0y+1=0 的距离的最大值为的距离的最大值为 2 22+2,+2,最小值为最小值为 2 22- -2.2. 题后题后反思反思 一般地一般地, ,求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题, ,常常 转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决转化为圆心到定点
18、或定直线的距离问题解决, ,充分体现了转化与化归的数学充分体现了转化与化归的数学 思想思想. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:圆圆 x x 2 2+y +y 2 2=1 =1 上的点到直线上的点到直线 3x+4y3x+4y- -25=025=0 的距离的最小值的距离的最小值 是是 . . 解析解析: :圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为 d=d= 22 25 34 =5,=5, 所以圆所以圆 x x 2 2+y +y 2 2=1 =1 上的点到直线上的点到直线 3x+4y3x+4y- -25=025=0 的距离的最小值是的距离的最小值是 d d- -1=4.1=4. 答案答案: :4
19、4 解析解析: :因为点因为点 P(x,y)P(x,y)是圆是圆 x x 2 2+(y+4) +(y+4) 2 2=4 =4 上的任意一点上的任意一点, ,因此因此 22 (1)(1)xy表示点表示点(1,1)(1,1)与该圆上点的距离与该圆上点的距离. . 易知点易知点(1,1)(1,1)在圆在圆 x x 2 2+(y+4) +(y+4) 2 2=4 =4 外外, , 结合图易得结合图易得 22 (1)(1)xy的最大值为的最大值为 22 (10)(14)+2=+2=26+2.+2. 设点设点P(x,y)P(x,y)是圆是圆x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=4=4上任意一点上任意一
20、点, ,则的最大值则的最大值 为为 . . 【备用例备用例2 2】 ( (基础基础) ) 答案答案: :26+2+2 解解: :如图如图, ,拱顶拱顶 O O 为坐标原点为坐标原点, ,设圆的半径为设圆的半径为 r m,r m, 则圆心则圆心 C(0,C(0,- -r),r), 即圆的方程为即圆的方程为 x x 2 2+(y+r) +(y+r) 2 2=r =r 2 2. . 将将 A A 点的坐标点的坐标(6,(6,- -2)2)代入方程解得代入方程解得 r=10.r=10. 所以圆的方程为所以圆的方程为 x x 2 2+(y+10) +(y+10) 2 2=100. =100. 当水面下降
21、当水面下降 1 m1 m 后后, , 可设点可设点 A A的坐标为的坐标为(x(x0 0, ,- -3)(x3)(x0 00),0), 将将 A A的坐标的坐标(x(x0 0, ,- -3)3)代入方程代入方程, ,解得解得 x x0 0= =51. . 所以水面下降所以水面下降 1 m1 m 后后, ,水面宽为水面宽为 2x2x0 0=2=25114.28 m.14.28 m. 【备用例【备用例3 3】 ( (拔高拔高) )如图所示如图所示, ,一座圆拱桥一座圆拱桥, ,当水面在如图位置时当水面在如图位置时, ,拱顶离拱顶离 水面水面2 m,2 m,水面宽水面宽12 m,12 m,当水面下降当水面下降1 m1 m后后, ,水面宽多少水面宽多少m?m? 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
