1、湖北省高考数学试题之评说俗话说：上有九头鸟，下有湖北佬 湖北人的精明与能干 专家说：考出能力，考出水平,考出魅力 高考命题组博学与智慧考生说：湖北考卷，想说爱你不容易 广大考生考后之感教师说：湖北考题，不说爱你又没道理 中学教师考后反思大家说：引 言立足基础立足基础 努力创新努力创新 拓展能力拓展能力 追求发展追求发展一、一、20062006年湖北省高考数学试题的几点启示年湖北省高考数学试题的几点启示三、三、20072007年高考备考工作的几点建议年高考备考工作的几点建议二、近三年全国高考数学试题要览及命题特点二、近三年全国高考数学试题要览及命题特点立足基础立足基础 努力创新努力创新 拓展能力
2、拓展能力 追求发展追求发展 2006年湖北省高考数学试题的几点启示特级教师特级教师 罗国彬罗国彬 高考命题的指导思想和命题原则高考命题的指导思想和命题原则立足基础知识，突出能力考查；淡化运算技巧，注重通性通法；考查数学思想，强调能力立意；设置实际情景，考查应用能力；关注思维过程，倡导理性思维；重视探究实践，培养创新意识；把握纵横联系，揭示普遍规律.立足基础知识，突出能力考查；淡化运算技巧，注重通性通法；考查数学思想，强调能力立意；设置实际情景，考查应用能力；关注思维过程，倡导理性思维；重视探究实践，培养创新意识；把握纵横联系，揭示普遍规律.从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计命题，
3、在能力立意的前提下创新，体现课改精神，既有利于高校新生的选拔，又有利于中学数学教学的改革.全面考查考生数学素养、综合素质和学习潜能，考查考生综合分析问题解决问题的能力.一立足基础知识，突出能力立意-新二贯穿数学思想，强调通性通法-活三注重知识交汇，考查综合能力-全四强化理性思维，注重探索创新-“难”一立足基础知识，突出能力立意-新 从“知识立意”向“能力立意”转变是我省高考命题改革的重点之一，通过近几年的实践，也基本上形成了试题立意更加新颖，选材不拘一格的命题风格。从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层面、多角度、多视点地考查了考生的数学素养和学习潜能。（1）保留常规题型保留常规题型：今年的
4、试题保持了自主命题以来重视推出创新性的题目，以考查考生潜能的特点。既有内容常考、公式常用、方法常练、思想常规的常见题，如第2、3、5、7、11、12、13题，又有紧扣教材、设置新颖的直解判断和定性分析题，如第1、4、8、9、14、19题，更有重点考查数学思想方法和综合能力的探索性推断题，如第18、20题等。一立足基础知识，突出能力立意一立足基础知识，突出能力立意-新新 （1）保留常规题型保留常规题型：（2）突出主干知识突出主干知识：今年的试题仍然立足于基础，突出了主干知识的考查。对各章节重点知识的考查仍保持了较好的比例。在解题方法上，突出了通性通法，在设问方式上，降低了题目入口的难度，多数考生
5、能在基础题上得分。但也有切入容易深入难的考题，对能力的考查保持了一定的广度、信度和深度，如第10、15、17题等。一立足基础知识，突出能力立意一立足基础知识，突出能力立意-新新 （1）保留常规题型保留常规题型：（2）突出主干知识突出主干知识：（3）注重知识整合注重知识整合：今年的试题涉及到的知识点比较多，而且很多题目在几个知识层面的交汇处命题，综合程度较高，对新教材中新增内容的考查更高于课时的比例，同时突出了它的工具性、实用性作用，如第16、17、19、21题等。一立足基础知识，突出能力立意一立足基础知识，突出能力立意-新新 （1）保留常规题型保留常规题型：（2）突出主干知识突出主干知识：（3
6、）注重知识整合注重知识整合：（4）合理调整分值合理调整分值：今年的整套试卷的题型结构、分值结构、考题长度等方面与往年相比，进行了较大的调整。选择题由上年的12题减为今年的10题，填空题由上年的4 题变为今年的5题，多选题由上年的1题增至今年的3题，如第6、8、10、15、19题等。数学思想和方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程之中。提炼数学思想方法，把握数学学科特点，是学会数学的提出问题、分析问题和解决问题，把数学学习与培养能力、发展智力结合起来的关键。二贯穿数学思想，强调通性通法-活 y x P pp A B M N O 例1：（理 科 第20题）设
7、A、B分 别 为椭 圆22ax+22by=1（a b 0）的 左、右顶 点，椭 圆 长 半 轴 的 长 等 于 焦 距，且x=4为 它 的 右 准 线.（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）设P为 右 准 线 上 不 同 于 点（4，0）的 任 意 一 点，若 直 线AP、BP分 别 与 椭 圆 相 交于 异 于A、B的 点M、N，证 明 点B在 以MN为 直径 的 圆 内.命题立意：本题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.P B N M分析 1：（1）（略）椭圆方程为42x+32y=1（2）由于要证明点 B 在以 MN 为直径
8、的圆内，联想到平面几何知识.如图，即是要证MBN90,再联想要证一个角大于 90，在解析几何内可用夹 角公式，若借助平面向量知识则可求这个角的余弦.这样一来，通过平面几何、解析几何、平面向量三个知识网络的交汇点角的计算，自然而然地可得如下的解法.y x P p p A B M N O 例 1：（理 科 第 2 0 题）设 A、B 分 别 为 椭 圆22ax+22by=1（a b 0）的 左、右顶 点，椭 圆 长 半 轴 的 长 等 于 焦 距，且 x=4 为 它 的 右 准 线.（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）设 P 为 右 准 线 上 不 同 于 点（4，0）的 任 意 一 点，若 直
9、线 A P、B P 分 别 与 椭 圆 相 交 于 异 于 A、B 的 点 M、N，证 明 点 B 在 以 M N 为 直 径 的 圆 内.P B N M解法 1：（2）由（1）得 A（2，0）、B（2，0），设 M（0 x，0y）.M 点在椭圆上，20y=)4(4320 x.又 M 点异于顶点 A、B，20 x 2.由 P、A、M 三点共线得 P 26,400 xy.从而 BM=（00,2 yx），BP=26,200 xy.BM)34(222642202000200yxxxyxBP.将式代入式，化简得)2(250 xBPBM 20 x 0，BPBM 0 于是MBP 为锐角，从而MBN 为钝角
10、，故点 B 在以 MN 为直径的圆内.Q P B N M分析 2：（2）若联想到平面几何知识，如图：即证 BQ MN21（其中 Q 为 MN 的中点），再利 用解析几何中点参数的方法，将 BQ 与 MN 用 M、N 两点的坐标表示，可求得2241MNBQ0 Q P B N M 解 法 2：（2）由（1）得 A（2，0）、B（2，0），设 M（),(),2211yxNyx，则 2 x1 2，2 x2 2，又 M N 的 中 点 Q 的 坐 标 为2,22121yyxx 2212212222241yyxxM NB Q221221)()(41yyxx 21212)(2yyxx 又 直 线 A P 的
11、 方 程 为)2(211xxyy,直 线 B P 的 方 程 为)2(222xxyy.点 P 在 准 线 x=4 上，22262211xyxy，即2)2(31122xyxy 又 M 点 在 椭 圆 上，1342121yx，即)4(432121xy.将 代 入 得：)2)(2(45412122xxM NB Q 0 从 而 B 在 以 M N 为 直 径 的 圆 内.点评：本题其考点是很常规的，思想方法是灵活的,同时对考生在全面系统掌握了相关知识的前提下，能否达到对知识网块的融会贯通，数学工具的灵活运用以及分析问题、解决问题能力的综合体现的程度方面，作了个高标准的考查.第（1）问一般考生都能得分，
12、可第（2）问就有区分度了.解法1是以向量为工具，简单易行，考生可能不容易想到，但这恰恰是我们教学中要加强之处；解法2是以设点参而不求的方法，对计算能力的要求很高，考生可能容易出错，然而这正是要考查的基本能力之一.y x P pp A B M N O 例 1：（理 科 第 20 题）设 A、B 分 别 为 椭 圆22ax+22by=1（a b 0）的 左、右顶 点，椭 圆 长 半 轴 的 长 等 于 焦 距，且 x=4 为 它 的 右 准 线.（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）设 P 为 右 准 线 上 不 同 于 点（4，0）的 任 意 一 点，若 直 线 AP、BP 分 别 与 椭 圆 相
13、 交 于 异 于 A、B 的 点 M、N，证 明 点 B 在 以 MN 为 直 径 的 圆 内.今年的试题进一步以逻辑思维能力为核心，全面考查多种能力，强调综合性。在能力立意的前提下创新，从知识网络的交汇点上命题，强化了新增内容的工具性、实用性作用，在考查考生多途径综合分析问题、解决问题的能力方面，充分表现出一个“全”字。三注重知识交汇，考查综合能力三注重知识交汇，考查综合能力-全全例 2：（理科第 21 题）设3x是函数)()()(32Rxebaxxxfx的一个极值点.（1）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b），并求)(xf的单调区间；（2）设 a0，xeaxg425)(2，若存在4
14、021，使得)()(21gf1 成立，求 a 的取值范围.命题立意：本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.分析（1）：告诉了一个极值点，要求函数的单调区间，选择导数为工具；含有两个未知的参数，用一个表示另一个，因而在求单调区间时只就其中一个进行分类讨论.解（1）：xeabxaxxf32)2()(由0)3(f得32ab.xeaa xxxf32)32()(xxeaxxeaxaxxf332)1)(3(33)2()(令0)(xf得1,321axx，由 于3x是 f(x)的 极 值 点，故1x2x，即 a 4 当 a 4时，1x 2x,故)(xf在3,上 为 减
15、 函 数，在1,3 a上 为 增 函 数，在,1a上 为 减 函 数.当 a 4时，1x 2x,故)(xf在1,a上 为 减 函 数，在3,1 a上 为 增函 数，在,3上 为 减 函 数.例2：（理 科 第2 1 题）设3x是 函 数)()()(32Rxeba xxxfx的 一 个 极值 点.（1）求a 与b 的 关 系 式（用a 表 示b），并 求)(xf的 单 调 区 间；（2）设a 0，xeaxg42 5)(2，若 存 在4021，使 得 )()(21gf 1 成 立，求a 的 取 值 范 围.分析（2）：由（1）知，在缩小了 a 的范围后再求 a 的取值范围，显然是要构造关于 a 的
16、不等式（组），这个不等式（组）又由两个函数)(xf和)(xg来确定，因而，在充分利用（1）的结论的基础上，综合（2）中的条件构造出关于 a 的不等式（组）是解决本问题的关键.解（2）：当 a 0 时，1 a 0，)(xf在3,0上 为 增 函 数，在4,3上 为 减函 数，因 此，)(xf在4,0上 的 值 域 为6,)32()3(,)4(),0(m in3aeafff 而xeaxg425)(2在4,0上 为 增 函 数，值 域 为422)425(,425eaa，注 意 到2221)6(425aaa 0 故 由 假 设 知)(4252baa 1,a 0,解 得 0 a23,故 a 的 取 值
17、范 围 是23,0.例2：（理 科 第2 1 题）设3x是 函 数)()()(32Rxeba xxxfx的 一 个 极值 点.（1）求a 与b 的 关 系 式（用a 表 示b），并 求)(xf的 单 调 区 间；（2）设a 0，xeaxg42 5)(2，若 存 在4021，使 得 )()(21gf 1 成 立，求a 的 取 值 范 围.点评:本题第（1）问也是属于常见题型，只不过是增设字母讨论，基础好的考生应该可以得分.对于第（2）问，要求就很高了，考生必须由第（1）问确定出)(xf以及)(xg的值域，再由题意理解构造出关于 a 的不等式，才能求得其解.本题作为“压轴题”无论是从知识交汇、还是
18、综合能力、以及心理素质方面，对考生都作了一个全面的考查.函数、导数、参数三位一体，与不等式构成综合大题，很富有创意.函数的基础性、导数的应用性、参数的创意性和不等式的工具性，彼此结合得当，渗透自然，毫无刀砍斧劈的人为痕迹；主干鲜明，背景正宗，过程有度，层次清晰，数学家从中看到了数学，教育家从中看到了教材，考试学家从中看到考题的信度、难度和区分度，这是近三年来湖北自主命题中较为成功的一道好题之一.数学是思维科学，主要是理性思维，包括从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、唯一性、等价性、逻辑性、应用性等）.倡导或加强理性思维，甄别数学素质，考查逻辑推理，注重探索创新，对中学教学的
19、导向作用是十分明显有效的.四强化理性思维，注重探索创新四强化理性思维，注重探索创新-“-“难难”11 21 21 31 61 31 41 121 121 41 51 201 301 2 01 51 61 301 601 601 301 61 71 421 1 051 1401 1051 421 71 例3：将杨辉三角中的每一个数rnC 都换成分数rnCn)1(1，就得到一个如右图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1，其中 x .令221)1(1160130112131nnnCnnCa，则lim_nna.命题立意：本题主要考查
20、杨辉三角的扩展、组合、数列求和等知识的灵活运用，突出考查考生类比归纳能力和逻辑推理能力.解法一：由rnrnrnnCCnCn111)1(1)1(1知，可 用合项 的办 法，将na 的和式逐步合项.221)1(1130112131nnnCnnCa 11221242322)1(1)1(1)1(11514131nnnnCnCnCnnCCCC 11121242322)1(111514131nnnCnnCnCCCC 11222)1(13131nCnCC 111)1(121nCnCnn)1(121 显然 lim2.nna 点评：本题是以教材阅读内容“杨辉三角”为背景，对组合数公式的应用进行探究性的研究，考查
21、了数列的通项与求和及数列极限的求解.本题的得分率非常低的主要原因，其一是因为条件中所给等式的推导需要花费不少时间，考生受心理影响较大，推不出结果甚至没有推；其二是因为考生对此题的式子关系没有能够从特殊到一般地发现其规律，没有达到简化式子之目的.解法二：第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即231241302)1(11514131nnnnnCnnCCCCa根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1nnCn，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为21，故1)1(121nnnCna，从而21)1(1211limlimnnxn
22、xCna 解 法 三：（2）将1 rx代 入 条 件 式，并 变 形 得rnrnrnCnnCCn)1(11)1(111 取,1r令,3,2nn 得 1211223121)12(131CCC，1312234131)13(1121CCC，1413245141)14(1301CCC，1111211)1(11nnnnCCnnC，1112)1(11)1(1nnnCnnCCn 将 以 上 诸 式 两 边 分 别 相 加，得)1(121)1(1301121312nnCnann，21)1(121limlimnnannn，故 第 二 个 空 填21.点评：以上的几种解法，充分地体现出了湖北高考试题的精髓所在.本
23、题实为一道好题，题材源于课本，凸现数学特点，既考查考生的数学素养，又考查考生的个性品质.但本题也实为一道“不好”的填空题，题型设计不妥.虽说教材阅读材料对杨辉三角的研究隐含了培养学生的观察归纳能力，但大多数考生很难达到这个能力要求，因此，本题给人印象是“不顾考情，大题小作”.不过，今年以本题为代表的“新活全”考题的出现，再一次展示了我省高考命题的发展趋向，为我省今后的中学数学教育的改革创新提出了一些值得思考和研究的课题.解法四：其实我们的祖先对这一类三角形早有研究，有称为“单位分数三角形”，它有许多类似于杨辉三角形的性质。通过观察归纳，反复利用一个“换”字，不难发现，每一个单位分数都“换”成它
24、脚下踩着的两个单位分数之和，如：301201121,613121 由此可知本题的第2 空实质上是单位分数的分拆，依上述规律我们把“脚踩”的两数，采用“踩一放一”得“拐弯分拆”的法规：如21踩31放61，61踩121放另一个121，121踩301放201，这样就有10516013011213121，同样可得42130120112161211 14016012014131 如图所示，第二空填21是理所当然的事了，这只需要观察归纳，并不需要组合公式和极限的计算。可见，观察归纳是一种重要的数学能力。11 21 21 31 61 31 41 121 121 41 51 201 301 201 51 61
25、 301 601 601 301 61 71 421 1051 1401 1051 421 71 返回返回2.若互不相等的实数,a b c成等差数列，,c a b成等比数列，且310abc，则a A4 B2 C2 D4 3.若ABC的 内 角A满 足2sin 23A，则sincosAA A.153 B153 C53 D53 5在2431()xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有 A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 7 设过点(,)P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于,A B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA 且1OQ AB ，则点P的轨迹方程是 A
26、22331(0,0)2xyxy B22331(0,0)2xyxy C22331(0,0)2xyxy D22331(0,0)2xyxy 返回返回4设2()lg2xf xx，则2()()2xffx的定义域为 A(4,0)(0,4)B(4,1)(1,4)C(2,1)(1,2)D(4,2)(2,4)1已知向量(3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b ，则b A（3 1,22）B（13,22）C（1 3 3,44）D（1,0）8有限集合S中元素的个数记做()card S，设,A B都为有限集合，给出下列命题：AB 的充要条件是()()()card ABcard Acard B；AB的充要条件
27、是()()card Acard B；AB的充要条件是()()card Acard B；AB的充要条件是()()card Acard B；其中真命题的序号是 A B C D 返回返回6关于直线,m n与平面,，有以下四个命题：若/,/mn且/，则/m n；若,mn且，则mn；若,/mn且/，则mn；若/,mn且，则/m n；其中真命题的序号是 A B C D 返回返回7 设过点(,)P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于,A B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA 且1OQ AB ，则点P的轨迹方程是 A22331(0,0)2xyxy B22331(0,0)2x
28、yxy C22331(0,0)2xyxy D22331(0,0)2xyxy 返回返回9已知平面区域 D 由以(1,3),(5,2),(3,1)ABC为顶点的三角形内部边界组成。若在区域 D 上有无穷多个点(,)x y可使目标函数|zx my取得最小值，则m A2 B1 C1 D4 14某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）返回返回10关于x的方程222(1)10 xxk，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存
29、在实数k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 8 个不同的实根；其中假命题的个数是 A0 B1 C2 D3 返回返回11设,x y为实数，且51121 3xyiii，则xy 。12接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 080，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 。（精确到 001）13已知直线5120 xy a与圆2220 xxy相切，则a的值为 。返回返回 返回返回16（本小题满分 12 分）设函数()()f xa bc，其中向量(sin,cos)axx，(sin,3cos)bxx，(cos,sin)c
30、xx，xR。（）求函数()f x的最大值和最小正周期；（）将函数()f x的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。返回返回19（本小题满分 10 分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N。已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。（）试问此次参赛学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()xP xx 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0
31、.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 返回返回17（本小题满分 13 分）已知二次函数()yf x的图像经过坐标原点，其导函数为()62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上。（）求数列na的通项公式；（）设11nnnba a，nT是数列 nb的前 n 项和，求使得20nmT 对所有nN都成立的最小正整数 m.返回返回
