1、1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1.1.理解函数的奇偶性的概念和奇偶性图象的性质理解函数的奇偶性的概念和奇偶性图象的性质.2.2.掌握奇偶性的判断方法掌握奇偶性的判断方法.3.3.利用函数的奇偶性解决一些简单的问题利用函数的奇偶性解决一些简单的问题.奇、偶函数的定义及图象特征奇、偶函数的定义及图象特征名称名称定义定义图象特征图象特征偶函数偶函数如果对于函数如果对于函数y=f(xy=f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,x,都有都有_,_,那那么函数么函数f(xf(x)就叫做偶函数就叫做偶函数图象关于图象关于_对称对称奇函数奇函数如果对于函数如果对于函数y=f(xy=f(x)的
2、定义域的定义域内任意一个内任意一个x,x,都有都有_,_,那么函数那么函数f(xf(x)就叫做奇函数就叫做奇函数图象关于图象关于_对称对称f(-x)=f(xf(-x)=f(x)y y轴轴f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)原点原点1.1.函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+(+()A.A.是奇函数是奇函数B.B.是偶函数是偶函数C.C.是非奇非偶函数是非奇非偶函数D.D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数【解析【解析】选选C.C.函数的定义域为函数的定义域为0,+),0,+),不关于原点对称不关于原点对称,函数函数是非奇非偶函数是非奇非偶函数.x2.2.奇函数奇函数y=f(x)
3、(xRy=f(x)(xR)的图象必经过点的图象必经过点()A.(a,f(-a)B.(-a,f(a)A.(a,f(-a)B.(-a,f(a)C.(-a,-f(a)D.C.(-a,-f(a)D.【解析【解析】选选C.C.因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,过点过点(-a,f(-a),(-a,f(-a),而而f(-a)=f(-a)=-f(a),-f(a),所以所以y=f(x)y=f(x)过点过点(-a,-f(a).(-a,-f(a).1(a,f()a3.3.函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-1-1是是.(.(填填“奇函数奇函数”“”“偶函数偶函数”)【解析【解析】因为因为f(-xf(-x
4、)=(-x)=(-x)2 2-1=x-1=x2 2-1=f(x-1=f(x),),所以函数所以函数f(xf(x)=x)=x2 2-1-1为偶函数为偶函数.答案答案:偶函数偶函数4.4.函数函数y=f(xy=f(x),),在在a-2,aa-2,a上为偶函数上为偶函数,则则a=a=.【解析【解析】因为函数因为函数y=f(xy=f(x),),在在a-2,aa-2,a上为偶函数上为偶函数,所以定义域关于原点对称所以定义域关于原点对称,所以所以a-2=-a,a-2=-a,即即a=1.a=1.答案答案:1 15.5.函数函数f(xf(x)=2x+a)=2x+a为奇函数为奇函数,则则a=a=.【解析【解析】
5、由由f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以-2x+a=-(2x+a)=-2x-a,-2x+a=-(2x+a)=-2x-a,因此因此a=0.a=0.答案答案:0 0一、偶函数的概念一、偶函数的概念探究探究1:1:观察下面函数的图象观察下面函数的图象,根据图象探究下面的问题根据图象探究下面的问题:(1)(1)分析分析3 3个函数的定义域个函数的定义域,从图象的对称角度考虑它们有什么从图象的对称角度考虑它们有什么共性共性?提示提示:函数函数f(xf(x)=x)=x2 2的图象是定义域为全体实数的抛物线的图象是定义域为全体实数的抛物线;函数函数f(xf(x)=)=的图象是定义域为非零
6、实数的两条曲线的图象是定义域为非零实数的两条曲线;函数函数f(xf(x)=|x|=|x|的图象是定义域为全体实数的折线的图象是定义域为全体实数的折线.各函数之间的共性为各函数之间的共性为图象都关于图象都关于y y轴对称轴对称.21x(2)(2)对于函数对于函数y=xy=x2 2,分析分析x x与与-x-x所对应的函数值关系所对应的函数值关系,说明函数的说明函数的图象为何关于图象为何关于y y轴对称轴对称?提示提示:任取任取xRxR,都有都有f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2=x=x2 2=f(x=f(x),),而点而点(x,f(x(x,f(x)与点与点(-x,f(x(-x,f(x)关
7、于关于y y轴对称轴对称,所以函数所以函数y=xy=x2 2的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.探究探究2:2:根据偶函数的概念探究下面的问题根据偶函数的概念探究下面的问题:(1)(1)对于函数对于函数f(xf(x),),若在定义域内有若在定义域内有f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),能否说明函数能否说明函数f(xf(x)是偶函数是偶函数?提示提示:不能不能.必须是在定义域内任意的必须是在定义域内任意的x x都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x)成立成立,才才能说明函数能说明函数f(xf(x)是偶函数是偶函数.(2)(2)若对定义域内任意的若对定义域内任意的x x都有都有f
8、(-x)-f(xf(-x)-f(x)=0,)=0,则函数则函数f(xf(x)是是;若对定义域内任意的若对定义域内任意的x x都有都有 =1(f(x)0)=1(f(x)0)则函则函数数f(xf(x)是是.答案答案:偶函数偶函数偶函数偶函数 fxf x【探究总结【探究总结】对偶函数概念及图象的两点说明对偶函数概念及图象的两点说明(1)(1)对称性对称性:偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称轴对称;反之如果一个函数的图反之如果一个函数的图象关于象关于y y轴对称轴对称,那么这个函数是偶函数那么这个函数是偶函数.(2)(2)任意性任意性:判断一个函数为偶函数判断一个函数为偶函数,不能仅根据几个
9、特殊值满不能仅根据几个特殊值满足条件足条件,就说明函数是偶函数就说明函数是偶函数.若一个函数为偶函数若一个函数为偶函数,则对任一则对任一特殊值特殊值a a都有都有f(-a)=f(af(-a)=f(a)成立成立.二、奇函数的概念二、奇函数的概念探究探究1:1:观察函数观察函数f(xf(x)=x)=x3 3与函数与函数f(xf(x)=)=的图象的图象,探究下面的问探究下面的问题题:1x(1)(1)分析两个函数的定义域分析两个函数的定义域,从图象的对称性角度考虑图象之间从图象的对称性角度考虑图象之间有什么共性有什么共性?提示提示:两个函数的定义域都关于原点对称两个函数的定义域都关于原点对称,函数图象
10、也关于原点函数图象也关于原点对称对称.(2)(2)计算当计算当x x取取-3,-2,-1,1,2,3-3,-2,-1,1,2,3时时,函数函数f(xf(x)=)=的值的值,并总结函并总结函数值之间的关系数值之间的关系.提示提示:f(-3)=-f(3),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).f(-3)=-f(3),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).结论结论:两个互为相反数的自变量两个互为相反数的自变量x,x,其函数值互为相反数其函数值互为相反数.1x探究探究2:2:根据奇函数的概念探究下面的问题根据奇函数的概念探究下面的问题:(1)(1)根据函数奇偶性的定义根据函数奇偶性
11、的定义,对奇函数对奇函数f(xf(x)的定义域有何要求的定义域有何要求?提示提示:因为在函数奇偶性的定义中因为在函数奇偶性的定义中,对任意的一个对任意的一个x x都有都有f(-x)f(-x)=f(x=f(x)或或f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),所以所以-x-x也属于定义域也属于定义域,因此奇函数的定义因此奇函数的定义域必须关于原点对称域必须关于原点对称.(2)(2)若对定义域内任意的若对定义域内任意的x x都有都有f(-x)+f(xf(-x)+f(x)=0,)=0,则函数则函数f(xf(x)是是;若对定义域内任意的若对定义域内任意的x x都有都有 =-1(f(x)0),=-1(
12、f(x)0),则函则函数数f(xf(x)是是.答案答案:奇函数奇函数奇函数奇函数 fxf x【探究总结【探究总结】对奇函数图象及概念的三点说明对奇函数图象及概念的三点说明(1)(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;反之如果一个函数的图象关于反之如果一个函数的图象关于原点对称原点对称,那么这个函数是奇函数那么这个函数是奇函数.(2)(2)奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称.(3)(3)若奇函数在若奇函数在x=0 x=0处有定义处有定义,则有则有f(0)=0.f(0)=0.【拓展延伸【拓展延伸】几个常见函数的奇偶性几个常见函数的奇偶性(1)y=(k0)(1)y=
13、(k0)是奇函数是奇函数.(2)y=kx+b(k0),(2)y=kx+b(k0),当当b=0b=0时是奇函数时是奇函数,当当b0b0时既不是奇函数也时既不是奇函数也不是偶函数不是偶函数.(3)y=ax(3)y=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),当当b=0b=0时是偶函数时是偶函数,当当b0b0时既不是奇函时既不是奇函数也不是偶函数数也不是偶函数.kx类型类型 一一 函数奇偶性的概念及判断函数奇偶性的概念及判断1.(20141.(2014温州高一检测温州高一检测)函数函数f(xf(x)=()=()A.A.是奇函数但不是偶函数是奇函数但不是偶函数B.B.是偶函数但不是奇函数是偶函数
14、但不是奇函数C.C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数D.D.既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2x32.2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=(1)f(x)=(2)f(x)=0,x(2)f(x)=0,x-6,-2-6,-22,62,6.21x.x22 x2x13 f x01x1x2x1.，【解题指南【解题指南】1.1.先求定义域先求定义域,判断是否关于原点对称判断是否关于原点对称,然后再根然后再根据奇偶性的定义判断据奇偶性的定义判断.2.(1)2.(1)先求定义域先求定义域,对式子进行化简对式子进行化简,再根据奇偶性的定义判断再根据奇偶性的定义判断
15、.(2)(2)紧扣奇偶性的定义判断即可紧扣奇偶性的定义判断即可.(3)(3)对变量对变量x x要分段讨论要分段讨论,分别判断分别判断.【自主解答【自主解答】1.1.选选B.B.因函数因函数f(xf(x)=)=的定义域为的定义域为R R，且且f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),故故f(xf(x)为偶函数为偶函数.2.(1)2.(1)函数函数f(xf(x)=)=定义域为定义域为-1,0)(0,1-1,0)(0,1，则则|x+2|-2=x,|x+2|-2=x,所以所以f(xf(x)=)=因为因为f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)，且，且f(xf(x)的定义域关于原点对称，的定义域关于
16、原点对称，所以所以f(xf(x)=)=为奇函数为奇函数.2x32x321xx2221xx2221x.x(2)f(x)(2)f(x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,因为因为f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)且且f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),所以所以f(xf(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.(3)(3)当当x-1x1,)=x+2,-x1,所以所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(xf(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x););当当x1x1时时,f(x,f(x)=-x+2,-x-1,)=-x+2,-x-1,f(-x)=-x+2=f(xf(-x)
17、=-x+2=f(x););当当-1x1-1x1时时,f(x)=0=f(-x,f(x)=0=f(-x).).所以对定义域内的每个所以对定义域内的每个x x都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x).).因此函数因此函数f(xf(x)为偶函数为偶函数.【规律总结【规律总结】(1)(1)看定义域看定义域:是否关于原点对称是否关于原点对称.(2)(2)定关系定关系:看看f(-xf(-x)与与f(xf(x)的关系的关系.(3)(3)下结论下结论:若若f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),则则f(xf(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),则则f(xf(x)是
18、奇函数是奇函数.【拓展延伸【拓展延伸】函数奇偶性的其他判断方法函数奇偶性的其他判断方法(1)(1)利用奇、偶函数的和、差、积、商判断利用奇、偶函数的和、差、积、商判断:在公共定义域内在公共定义域内,偶函数的和、差、积、商偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为仍为偶函数偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数奇函数的和、差仍为奇函数;奇奇(偶偶)数个奇函数的积、数个奇函数的积、商商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数函数;一个奇函数与一个偶函数的积一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数为奇函数.(2)(2)利用复合函数的奇偶性判断利用复合函数的奇偶性判断:对于复合函数对于复合函数F(x)
19、=f(g(xF(x)=f(g(x):):若若g(xg(x)为偶函数为偶函数,f(x,f(x)为偶函数为偶函数,则则F(xF(x)为偶函数为偶函数;若若g(xg(x)为奇函数为奇函数,f(x,f(x)为奇函数为奇函数,则则F(xF(x)为奇为奇函数函数;若若g(xg(x)为奇函数为奇函数,f(x,f(x)为偶函数为偶函数,则则F(xF(x)为偶函数为偶函数.【变式训练【变式训练】(2013(2013天津高一检测天津高一检测)设函数设函数y=f(xy=f(x)在区间在区间D D上是奇函数上是奇函数,函数函数y=g(xy=g(x)在区间在区间D D上是偶函数上是偶函数,则函数则函数H(x)=f(x)
20、g(xH(x)=f(x)g(x)在区间在区间D D上上是是()A.A.偶函数偶函数B.B.奇函数奇函数C.C.既奇又偶函数既奇又偶函数D.D.非奇非偶函数非奇非偶函数【解析【解析】选选B.B.因为函数因为函数y=f(xy=f(x)在区间在区间D D上是奇函数上是奇函数,所以所以f(-x)f(-x)=-f(x=-f(x),),又函数又函数y=g(xy=g(x)在区间在区间D D上是偶函数上是偶函数,所以所以g(-x)=g(xg(-x)=g(x).).由由H(-x)=f(-x)H(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(-x)=-f(x)g(x)=-H(x),g(x)=-H(x),所以函数所以
21、函数H(x)=f(x)H(x)=f(x)g(xg(x)在区间在区间D D上是奇函数上是奇函数.类型类型 二二 奇偶函数的图象奇偶函数的图象1.1.已知函数已知函数y=f(xy=f(x)是偶函数是偶函数,其图象与其图象与x x轴有四个交点轴有四个交点,则方程则方程f(xf(x)=0)=0的所有实根之和是的所有实根之和是()A.4A.4B.2B.2C.1C.1D.0D.02.(20142.(2014台州高一检测台州高一检测)函数函数y=x|xy=x|x|的图象大致是的图象大致是()3.3.设奇函数设奇函数f(xf(x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,若当若当xx0,50,5时时,f(x,f
22、(x)的图象如图所示的图象如图所示,则不等式则不等式f(xf(x)0f(3)C.f(1)f(3)D.f(1)f(3)D.f(1)0 x0时的图象时的图象,由图象可得由图象可得f(3)f(1).f(3)f(1).2.2.已知函数已知函数f(xf(x)是奇函数是奇函数,且其图象在且其图象在y y轴右侧的部分如图所示轴右侧的部分如图所示,请画出函数请画出函数f(xf(x)在在y y轴左侧的图象轴左侧的图象.【解析【解析】根据奇函数的图象关于原点对称的性质根据奇函数的图象关于原点对称的性质,可作出可作出f(xf(x)在在y y轴左侧的图象如图轴左侧的图象如图:类型类型 三三 根据函数的奇偶性求参数的值
23、根据函数的奇偶性求参数的值1.1.若函数若函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函数是偶函数,定义域为定义域为a-1,2a,a-1,2a,则则a=a=;b=;b=.2.2.已知函数已知函数f(x)=(a,b,cZf(x)=(a,b,cZ)是奇函数是奇函数,又又f(1)=2,f(1)=2,f(2)3,f(2)3,求求a,b,ca,b,c的值的值.2ax1bxc【解题指南【解题指南】1.1.根据区间两端点关于原点对称求根据区间两端点关于原点对称求a,a,再结合偶函再结合偶函数的定义求数的定义求b.b.2.2.先由先由f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)求出
24、求出c c的值的值,再由再由f(1)=2,f(2)3,f(1)=2,f(2)3,建立关于建立关于a,ba,b的等式或不等式的等式或不等式,根据根据a,bZa,bZ求解求解.【自主解答【自主解答】1.1.因为偶函数的定义域关于原点对称因为偶函数的定义域关于原点对称,所以所以a-1=-2aa-1=-2a且且a-12a,a-12a,解得解得a=,a=,又函数又函数f(xf(x)=x)=x2 2+bx+b+1+bx+b+1为偶函数为偶函数,所以所以f(-x)=f(xf(-x)=f(x)即即 (-x)(-x)2 2-bx+b+1=x-bx+b+1=x2 2+bx+b+1+bx+b+1恒成立恒成立,解得解
25、得b=0.b=0.答案答案:0 013131313132.2.因为函数因为函数f(xf(x)=(a,b,cZ)=(a,b,cZ)是奇函数，是奇函数，所以所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),即即即即-bx+c=-bx-c-bx+c=-bx-c,所以所以c=0,c=0,所以所以f(xf(x)=)=又又f(1)=2,f(1)=2,故故而而f(2)f(2)3,3,即即2ax1bxc22ax1ax1,bxcbxc 2ax1.bxa12,b4a14a133,2ba1，即所以所以-1-1a a2,2,又又aZ,aZ,所以所以a=0a=0或或a=1,a=1,当当a=0a=0时，时，b=(b=(
26、舍舍)；当当a=1a=1时，时，b=1.b=1.综上可知，综上可知，a=b=1,c=0.a=b=1,c=0.12【规律总结【规律总结】已知函数奇偶性求参数的三种方法已知函数奇偶性求参数的三种方法(1)(1)对称法对称法:根据奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称根据奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称,则可则可求解所给区间含有的参数求解所给区间含有的参数.(2)(2)定义法定义法:根据函数的奇偶性定义根据函数的奇偶性定义,得到一个恒等式得到一个恒等式,比较系数比较系数可得可得.(3)(3)赋值法赋值法:根据函数的奇偶性采用赋值法根据函数的奇偶性采用赋值法,通过特殊值求参数通过特殊值求参数的值的值.【
27、变式训练【变式训练】若函数若函数f(xf(x)=)=为区间为区间-1,1-1,1上的奇函数，则上的奇函数，则a=_a=_；b=_.b=_.【解题指南【解题指南】解答本题关键是紧扣奇函数的定义列出方程求解解答本题关键是紧扣奇函数的定义列出方程求解.【解析【解析】因为函数因为函数f(xf(x)=)=为区间为区间-1,1-1,1上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(0)=0f(0)=0，得，得a=0a=0，且，且f(1)+f(-1)=0f(1)+f(-1)=0，即即 =0=0，得，得b=0.b=0.答案：答案：0 00 0 xabx1xabx111b1b1【加固训练【加固训练】若函数若函数f(xf(x)=)=为奇函数，则为奇函数，则a=()a=()【解析【解析】选选A.A.因为因为f(xf(x)=)=为奇函数，为奇函数，所以有所以有f(-1)=-f(1)f(-1)=-f(1)，即：即：所以所以a+1=3(1-a)a+1=3(1-a)，解得，解得x2x1(xa)123A.B.C.D.1234x2x1(xa)112 11 a2 1 1 a ，1a.2
