1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四1第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 第二章第二章 三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、问题的提出一、问题的提出四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、小结与思考题五、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四2一、问题的提出一、问题的提出1.导数的定义导数的定义0 xxy)(0 xf 000()()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 0
2、00()()limhf xhf xh返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四32.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：(sin)cosxx（3）(cos)sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa（5）(e)exx（6）1(log)(0,1)lnaxaaxa（7）1(ln)xx（8）()0C （1）()sinxx （2）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四4但是，但是，对于比较复杂的函数，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它直接根据定义求它们的导数往往很困难们的导数往往很困难.例如，例如，求下列函数的极限：为此，为
3、此，我们有必要研究一下函数的求导法则函数的求导法则！返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四5二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四6此法则可推
4、广到任意有限项的情形.设,则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.例如例如,证证:（1）()uvwuvw 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四7vuvuvu)(证证:设,)()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv
5、推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu(C为常数)（2）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四8)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证证:设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2CCvvv(C为常数)（3）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四
6、932cosxyxax的导数.例例1 求函数答案：答案：23ln2sinxyxaax tanyx和例例2 求函数的导数.cotyx2(tan)secxx 答案：答案：2(cot)cscxx secyx和例例3 求函数的导数.cscyx(sec)sec tanxxx 答案：答案：2(csc)csc cotxx 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四10三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 )(xf定理定理2 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或
7、,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf11返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四11例例4 求反三角函数的导数。1解解:设,arcsin xy 则,sin yx)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy,则返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四12四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则在点 x 可导,
8、lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy()g x且d()()dyf u g xx在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有()()f u g xuy)(uf()(0)yuuf uxxxx 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四13 说说 明：明：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四14例如例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键:搞清复合函数
9、结构,由外向内逐层求导.（3）此法则可推广到多个中间变量的情形.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四151 2exy的导数.例例5 求函数答案：答案：221xyx ln|,yx.y求例例6 设提示：提示：分情况讨论。答案：答案：1(ln|)xx由此可见，由此可见，即即|(n)l|f x)ln(f x()()fxf x答案：答案：()()()()ln()().()v xv xyu xv xu xu xu x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四16,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思
10、考思考:若)(uf 存在,如何求)cos(lnxef的导数?ddfx)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例例8 设练习练习（习题（习题22 10）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四17五、基本求导法则与导数公式五、基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxsin x)(tan xx2sec)(cot x2csc x)(secxxxtansec)(cscxcsc cotxx)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln
11、xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四182.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导,)()(1的反函数为设yfxxfy1()fyy邻在 的某域1()0fy ，且则则 )(xf1)(1yf4.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5.初等函数在定义区间内可导初等函数在定
12、义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四19(0)aaxaxayxaaa，.y求例例9 设解解:1aaaxayaaaxln1aaxaaxalnlnxaa答案：答案：1sincos,0,()0,(1),0.xxxxfxxxx=不存在,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四20内容小结内容小结1.掌握函数求导的法则掌握函数求导的法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意注意:1),)(vuuvvuvu2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,
13、由外向内逐层求导由外向内逐层求导.2.记住一些基本初等函数的导数公式记住一些基本初等函数的导数公式作业作业习习 题题 2-2 6（奇数题）；（奇数题）；7（4，9）；）；8返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四21思考与练习思考与练习41143x1.xx1431x对吗对吗?1423 114xx.)2(,)1(xbbayxay2.求下列函数的导数答案：答案：11bba byx （）2lnxbbyaa（）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四22,)()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)
14、()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时,下列做法是否正确?在求处连续,3.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四23),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解:方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f4.设返回返回上页上页下页下页目录目录2022年10月27日星期四24考研真题考研真题1tan21111etanseccosxyxxxx （1990 III）设1tan1esinxyx答案：答案：
