1、函数逼近和希尔伯特矩阵函数逼近和希尔伯特矩阵博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏3引例引例.求二次多项式求二次多项式 P(x)=a0+a1x+a2x2 使使min)sin()(102 dxxxP 0 0.5 1 0 1 连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近已知已知 f(x)C0,1,求多项式求多项式 P(x)=a0+a1x+a2 x2+an x n使得使得min)()(102 dxxfxPL 102010)(),(dxxfxaaaaLnjjjn令令 njjjnjjjdxxfdxxfxadxxaL0102101020)()(23/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，
2、笃行之。精心整理，欢迎收藏4 10010)(22dxxfxdxxaaLknjkjjk nnbbbaaannnn1010)12/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11系数矩阵被称为系数矩阵被称为Hilbert矩阵矩阵0 kaL令令 10)(dxxfxbkk记记4/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏5定义定义6.3 设设 f(x),g(x)Ca,b,(x)是区间是区间a,b上的上的权函数权函数,若等式若等式0)()()(),(badxxgxfxgf 成立成立,则称则称f(x),g(x)在在a,b上带权上带权(x)正交正交.当当(x)=1时时,简称正交简称
3、正交。例例1 1 验证验证 0(x)=1,1(x)=x 在在 1,1上正交上正交,并求二次多项式并求二次多项式 2(x)使之与使之与 0(x),1(x)正交正交01)()(111110 xdxdxxx 解解:4/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏6 设设 2(x)=x2+a21x+a22 0)(1112 dxx 0)(112 dxxx 31)(22 xx 所以所以,0)(1122212 dxaxax0)(1122212 dxaxaxxa22=-1/3 a21=02/3+2a22=02a21/3=05/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏7切
4、比雪夫多项式切比雪夫多项式:T0(x)=1,T1(x)=cos =x,T2(x)=cos2 Tn(x)=cos(n),由由 cos(n+1)=2 cos cos(n)cos(n-1)得得 Tn+1(x)=2 x Tn(x)Tn-1(x)(n 1)所以所以,T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2 1,1.递推公式递推公式:7/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏8 T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2 1T3(x)=4x3 3x,T4(x)=8x4 8x2+1 前五个切比雪夫多项式图形前五个切比雪夫多项式图形8/18博学之，审问之，慎寺之，明辩
5、之，笃行之。精心整理，欢迎收藏90)cos()cos(0 dnm(m n)0coscos)()(11),(0112 dnmdxxTxTxTTnmnm所以所以,切比雪夫多项式在切比雪夫多项式在 1,1上带权上带权 正交正交211)(xx 2.切比雪夫多项式的正交性切比雪夫多项式的正交性9/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏103.切比雪夫多项式零点切比雪夫多项式零点n阶阶Chebyshev多项式多项式:Tn=cos(n),或或,Tn(x)=cos(n arccos x)2)12(arccos kxn(k=0,1,n-1)取取T1=cos=x)2)12(cos(nkxk
6、 即即(k=0,1,n-1)10/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏114.切比雪夫多项式的极性切比雪夫多项式的极性Tn(x)的最高次项的最高次项 xn 的系数为的系数为 2n 1 所有最高次项系数为所有最高次项系数为1的的n次多项式中次多项式中,Pn(x)=21 n Tn(x)则则min|)(|max11 xPnx例如例如 tk=1+0.2k (k=0,1,2,10)22)12(cos(kxk(k=0,1,2,10)11/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏12令令,P11(x)=(x x0)(x x1)(x x10)Q11(x)=(x
7、t0)(x t1)(x t10)则有则有|)(|max|)(|max11111111xQxPxx -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.01-0.00500.0050.01P11(x)Q11(x)12/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏13勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式1.表达式表达式 P0(x)=1,P1(x)=x)1(!21)(2nnnnnxdxdnxP (n 1)2.正交性正交性 nmnnmdxxPxPnm,122,0)()(1113/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏143.递推式递推
8、式 111011121nnnpnnxpnnpxpp,)()(132122xxp)()(xxxp3521334.零点分布零点分布Pn(x)的的n 个零点个零点,落入区间落入区间 1,1中中P2(x)的两个零点的两个零点:P3(x)的三个零点的三个零点:311 x312 x531 x02 x533 x14/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏15用正交多项式作最佳平方逼近用正交多项式作最佳平方逼近设设P0(x),P1(x),Pn(x)为区间为区间a,b上的正交上的正交多项式多项式,即即 0)()(),(bajkjkdxxPxPPP(k j,k,j=0,1,n )求求 P(
9、x)=a0P0(x)+a1P1(x)+anPn(x)min)()(2 badxxfxPL使使15/18 banjjjndxxfxPaaaaL2010)()(),(博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏16),(),(kkkkPPfPa (k=0,1,2,n)dxxfxPaxPaLnjjjbakk 0)()()(20 kaL令令 10)()(dxxfxPk记记(Pk,f)=)(,0)()(),(jkdxxPxPPPbajkjk 由于由于则有则有),(),(fPaPPkkkk(k=0,1,2,n)nkkkkkxPPPfPxP0)(),(),()(f(x)的平方逼近的平方逼近16
10、/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏17例例6 6 在区间在区间1/4,1上求函数上求函数 f(x)=的一次的一次多项式最佳平方逼近多项式最佳平方逼近x解解:令令 P0(x)=1,P1(x)=x 5/8,则则(P0,P0)=3/4,(P1,P1)=9/256,(P0,f)=7/12,(P1,f)=11/480所以所以,97),(),(0000 PPfPa13588),(),(1111 PPfPa广义付立叶级数部分和广义付立叶级数部分和)(),(),()(),(),()(),(),()(11110000 xPPPfPxPPPfPxPPPfPxPNNNN 17/18博学之，审问之，慎寺之，明辩之，笃行之。精心整理，欢迎收藏180.20.30.40.50.60.70.80.910.50.60.70.80.91)85(1358897)(xxPxxf)(最佳平方逼近最佳平方逼近:)85(1358897)(xxP18/18谢谢大家！谢谢大家！
