1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新 第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧
2、长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用第三节 曲线的凹凸性、函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?OxyAB?!.一、曲线的凹凸性、拐点,)(),(时baxf它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题.简单地说,在区间 I 上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹Oxy221
3、xx)(xfy 2x1xOxy221xx)(xfy 2x1x.)I ()(Cxf设 ,)(I,2121恒有如果xxxx)()(21)2(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy 在区间 I 上是凸的;,)(I,2121恒有如果xxxx)()(21)2(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy 在区间 I 上是凹的.凹凸性的一般性定义是Oxy凸xabPQ:的方程弦线 PQ )()()()(112121xxxxxfxfxfy弦:的坐标点x)1 ,0(,)1(21xxx:曲线位于弦线上方弦yxf)()()1()()1(2121xfxfxxf即)(xfy 2x1xOxy凹xabPQ:的方程
4、弦线 PQ)()()()(112121xxxxxfxfxfy弦:的坐标点x)1 ,0(,)1(21xxx:曲线位于弦线下方)(弦yxf)()1()()1(2121xfxfxxf即)(xfy 1x2x.)1 ,0(,)I ()(Cxf设)()1()()1(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy 在区间 I 上是凸的;,)(I,2121恒有如果xxxx)()1()()1(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy 在区间 I 上是凹的;,)(I,2121恒有如果xxxx1.曲线凹凸性的定义及其判别法.3的凹凸性分析立方抛物线xy )2(21xxf8333222122131xxxxxx2
5、)()(21323121xxxfxf,)0 ,(上在,)()(21)2(2121xfxfxxf.3是凸的xy,),0(上在,)()(21)2(2121xfxfxxf.3是凹的xy 例1分析分析Oxy3xy,)0 ,(上在,3是凸的xy,32xy,6xy .0 y此时,),0(上在,3是凹的xy.0 y此时,0 时x,0 y .)0 ,0(是曲线凹凸性的分界点点有何体会？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？判别可微函数的凸凹性主要是对)()(2121xfxf)2(21xxf进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式 .),(,),()(
6、内有二阶导数在设babaCxf,),(,21baxx则令 ,2 210 xxx22 2121101xxxxxxx22 1221202xxxxxxx)(0102xxxx20000)(!2)()()()(xxfxxxfxfxf 由泰勒公式201101001)(!2)()()()(xxfxxxfxfxf 有202202002)(!2)()()()(xxfxxxfxfxf .,202101之间与在之间与在其中xxxx20121021)()()(2)(xxffxfxfxf 于是20121021)()()(2)(xxffxfxfxf 即 ,),(,0)(则若baxxf ,0)(2)(021xfxfxf22
7、10 xxx .)()(21)2(2121xfxfxxf即)(,),(,0)(xfybaxxf 曲线时故 .,上是凹的在区间ba .,202101之间与在之间与在其中xxxx20121021)()()(2)(xxffxfxfxf 于是20121021)()()(2)(xxffxfxfxf 即 ,),(,0)(则若baxxf ,0)(2)(021xfxfxf2210 xxx .)()(21)2(2121xfxfxxf即)(,),(,0)(xfybaxxf 曲线时故 .,上是凹的在区间ba凸以上的讨论是对开区间),(ba进行的,但结论却出现了闭区间,ba这正确吗?结论是正确的,我们是利用函数的连续
8、性将开区间内的结论延伸到了闭区间上.以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.定理 .),(,),()(内有二阶导数在设babaCxf.,)(,),(,0)(上是凹的在则曲线若baxfybaxxf .,)(,),(,0)(上是凸的在则曲线若baxfybaxxf 在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.,),(,0)(0)(baxxf 如果.1 的凹凸性判别曲线xy .),0()0 ,(函数的定义域为,2 ,1 32xyxy 因为,1 ,0 ,)0 ,(为凸的时所以xyyx .1 ,0 ,),0(为凹的时xyyx 该函数的图形 请自己绘出.例2解解 .)0(14
9、32231的凹凸性研究aaxaxaxay,233221axaxay,2621axay ,0 ,3 12 yaax时故 ,0 ,312 yaax时 ,0,312 yaax时例3解解 .),(函数的定义域为;)3 ,(12中是凸的曲线在aa;),3(12中是凹的曲线在aa .312是曲线凹凸性的分界点aax .1),1(4内的凹凸性在研究 xy,43xy,122xy ,0 ,)1 ,1(yx时,0 ,0 yx时且仅在.1)1,(4内是凹的在故 xyOxy4xy 0 x只是使0 y的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例3解解 比较例3 和例4,发现使得曲线所对的分界点.我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸
10、性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.OxyOxy)(xfy)(xgy 2.曲线拐点的定义及判别法 .)(上二阶可导在区间设 Ixf .0)(,)()(),(0000 xfIxxfyyx则的拐点为曲线若 .)(),(0的拐点为函数设xfbaIx :,不妨设由拐点的定义 .)(,),(0为凹的时xfybxx ,)(故上二阶可导在由Ixf );0(,),(,0)(00 xxxxxxf ),0(,),(,0)(00 xxxxxxf定理(判别拐点的必要条件).0)(xf且仅在孤立点处出现;)(,),(0为凸的时xfyxax ,)(),(00 xxxxf
11、于是,)(),(00 xxxxf ,)(0处取极小值在故xxxf .0)()(00 xxxfxf从而必有,)(0)(不存在的点及使xfxf 称为曲线的拐点可疑点.定理(判别拐点的充分条件).)I()(U )(,)I ()(00内二阶可导在设xxxfCxf ,)(0则两侧符号相反在点若xxf .)()(,(00的拐点为曲线点xfyxfx根据拐点的定义立即可证明该定理.定理(判别拐点的充分条件).)()U()(,)()(00内三阶可导在设IxxxfICxf ,0)(,0)(00则且若 xfxf .)()(,(00的拐点为曲线点xfyxfx,0)(0 xf由于.0)(0 xf故不妨设,0)(0 xf
12、又000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0 )(lim00 xxxfxx .)(,)(U :000同号与内在由极限的保号性可知xxxfx ,得故由导数的定义;0)(,0 xfxx时故,0)(,0 xfxx时 .)()(,(,00的拐点为曲线点从而xfyxfx你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？求拐点一般步骤:)(拐点的一般步骤求曲线xfy;)()()1 (或确定讨论区间的定义域求xf;)(,)(,)()2(xfxfxf 如需要可求出计算;)(0)(不存在的点的点和使xfxf .)4(否确为拐点根据定理判别可疑点是 :)3(求拐点可疑点.,22并求拐点的凹凸性讨论曲线xe
13、y),(:定义域为,22xxey,)1(222xexy :0 得拐点可疑点令 y)(1 ,1横坐标xxxy y)1 ,(1)1 ,1(1),1(00拐点拐点拐点拐点例4解解,),1()1,(内为凹的及在.1),1(内为凸的在.),1 (),1(2121为其拐点及点eeOxy1122xey:22xey曲线.)(21 ,:2yxyxeeeyx时证明,),(,)(tetft令,),(,0)()(tetftft .),()(内是凹的所对应的曲线在故tetf,),(,yx,)(212yxyxeee.)(yx 例5解解 ,有由曲线凹性的定义,0 )2.5 ,2(2的拐点为曲线已知点ybxayx .,的值求
14、ba.0 :2bx由题意 ,得由隐函数求导法则,22bxayxy,)(246222bxybxayxy .0 :1 y由拐点的必要条件得 :5.2,2 代入得以yx(1)05860ba例6解解 :,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上 (2)05.2210ba ,)2(,)1(解之得成方程组联立,320a.34b例7 ,)(其一阶导数的图形上二阶可导，在设函数baxf .如下图所示 .)(性、凹凸性的极值点、拐点、单调指出函数xf ;,内单调增加TQPKJa .,内单调减少QPKJ ;Q ,:;,:KPJ极小点极大点 凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸 .,:IHFEDCB拐点xyO)(xfyABCD
15、EFHIKJPQTabMW 函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.极大凸 0)(xf 极小凹 0)(xf 现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线Oxyxy1,01limxx .0 y水平渐近线,1lim0 xx .0 x垂直渐近线水平渐近线 .)(,)(lim byxfbxfx有一
16、条水平渐近线则曲线若 .)(lim )(lim bxfbxfxx或这里的极限可以是 .)(,)(lim axxfyxfax有一条垂直渐近线则曲线若这里的极限可以是;)(lim ,)(limxfxfaxax.)(lim ,)(limxfxfaxax;)(limxfax垂直渐近线Oxy)(xfy bxay,0)()(limbxaxfx .bxay斜渐近线想想：怎么求 a,b?)(,)(lim ,)(lim xfybxaxfaxxfxx则曲线若 .bxay有一条斜渐近线这里的极限过程可以是.,xx以上的极限实际是.0)()(limbxaxfx 斜渐近线.sin 的渐近线求曲线xxy,0sinlim
17、xxx.sin 0 的水平渐近线是曲线xxyyOxyxxysin0y 曲线可以穿过其渐近线.例8解解.ln 的渐近线求曲线xy 的定义域：ln xy),0(x,lnlim 0 xx是曲线 0 x.ln的垂直渐近线xy Oxyxyln1例9解解.1 2的渐近线求曲线xxy 1lim2xxx曲线无水平渐近线,1lim20 xxx 1lim20 xxx.0 x曲线有垂直渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解解11lim1lim222xxxxxxx1a0 1 lim 11 lim)()(2xxxxxx0b .xbxay曲线有斜渐近线请同学课后自己绘出此函数的图形.)0(13 ,13 323的渐近
18、线求曲线kttkyttkx1lim33limlim121ttktkxyttx1a ,1 yxt由于所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.)1(limxyxktttkt13lim21kb .kxy故曲线有斜渐近线例11解解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值 域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极 值、最 值、凹凸性、拐 点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.(4)求曲线的渐近线.(
19、5)作出函数的图形.三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点.)1()1(23的图形作出函数xxy :函数的定义域.),1()1,(x,)1()5()1(32xxxy,)1()1(244 xxy ,5 ,1 ,0 xxy得驻点令 ,1 ,0 xy得拐点可疑点令例12解解xyy y)5,(5)1,5(1)1 ,1(1),1(000极大拐点,5:x极大点,5.13)5(:f极大值.)0 ,1(拐点为 ,)1()1(lim23xxx曲线无水平渐近线.,)1()1(lim231xxx.1为垂直渐近线x1)1()1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5)1(125lim)(lim22xxxxaxfxx5b .5 xy曲线有斜渐近线.)1 ,0(,轴相交于点曲线与此外yOxy15 xy523)1()1(xxy5.130)(1,
