1、8.1 向量的内积一、内容分布一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的二、教学目的：1理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离2掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与的内积3掌握,2三、重点难点三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式,2的灵活运用.一些不等式8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 1),2),3),aa00,4)当时,定义定义1 设设V
2、是实数域是实数域R上一个向量空间上一个向量空间.如果对于如果对于V中任意一对向量中任意一对向量 有一个有一个确定确定的记作的记作,的实数与它们对应，并且下列条件被满足：的实数与它们对应，并且下列条件被满足：,这里,是V的任意向量，a是任意实数，,那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.叫做向量与的内积，而V叫做对于nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,2211例例1 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 nR对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,2211例例2
3、 在规定 里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.nR例例3 3 令Ca,b是定义在a,b上一切连续实函数,)(),(baCxgxf我们规定所成的向量空间,.)()(,dxxgxfgfba根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间.例例4 4 令H是一切平方和收敛的实数列),.,(21nxxx12nnx所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:设 .),(,.),(2121Rayyxx,.);,(2211yxyx,.),(21axaxa规定 1,nnnyx向量 的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.),(,.),(2121yyx
4、x),(),(2121bbaa2R2211,bnabma练习练习1 为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m 0,n 0.8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角,定义定义2 设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做的长度，向量的长度用符号表示：定理定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量.,有不等式,2(6)当且仅当与线性相关时，上式才取等号.定义定义3 3 设与是欧氏空间的两个非零向量，与的夹角由以下公式定义：,cos例例5 5 令 nR是例1 中的欧氏空间.中向量),.,(21nxxx的长度是22221.,nxxx由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 和任
5、意实数a,有 nR注：一个实数注：一个实数a a与一个向量与一个向量的乘积的长的乘积的长度度 等于等于a a的绝对值与的绝对值与的长度的乘积的长度的乘积.例例 6 6 考虑例 1 的欧式空间 nR由不等式(6)推出,对于任意实数 nnbbbaaa,2121有不等式 2121211)()()(nnnnbbaababa(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.aaaaa,2例例7 7 考虑例3的欧氏空间Ca,b，由不等式（6）推出，对于定义在a,b上的任意连续函数),(),(xgxf有不等式.)()()()(22bababadxxdxxdxxgxfgf(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)
6、不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一 起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.例例8 8 设,为欧氏空间V 中任意两个(1)0(aa当且仅当 的夹角为0;非零向量.证明:,(2)0(aa当且仅当 的夹角为;,8.1.3 向量的正交 定义定义4 4 欧氏空间的两个向量与说是正交的,0 如果定理定理8.1.28.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量r,21中每一个正交，那么与 的任意一个线性组合也正交.r,21与思考题思考题1 1：设设 ,是 n 维欧氏空间V 中,1|证明:.1,两个不同的向量,且 思考题思考题2 2：在欧氏空间在欧氏空间 nR中,设 ),2,1)(,(2
7、1niaaainiii两两正交,且 i的长度 nnijiaAi)(,|求 A 的行列式|A的值.8.2 正交基一、内容分布一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的：二、教学目的：1掌握正交向量组、掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质质 2熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一
8、个标熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组准正交向量组3掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补本性质，并会求某些子空间的正交补4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系5掌握掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论维欧氏空间同构的概念及基本理论三、重点难点：正交向量组、三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念维欧氏空间的标准正交基等概念;子空子空间的正交补的概念及基本性质间的正交补的概念及基本性质;施密特正交
9、化方法施密特正交化方法8.2.1正交组的定义、性质 定义定义1 1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1 1正交组的定义正交组的定义例例1 1 向量,21,0,21,0,1,02121,0,213构成 3R一个标准正交组，因为 ,1321.0,1332212正交组的性质正交组的性质定理定理8.2.18.2.1 设 ,21n一个正交组，那么 n,21线性无关.是欧氏空间的证：证：设有 Raaan,21使得 02211nnaaa因为当ij 时 0,ji，所以 但 0,ii，所以 ,2,1nai即 n,21线
10、性无关.iiinjjijnjjjiiaaa,0,0118.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 1 1标准正交基的定义标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n,21n 个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。例例2 2 欧氏空间 nR的基是 ),0,0,1,0,0()(iii=1,2,n,nR的一个标准正交基.如果 ,21n正交基。令是V的任意一个向量那么是可.2211nnxxx是是n 维欧氏空间V的一个标准以唯一写成 nxxx,21是关于
11、,21n的坐标。由于,21n是规范正交基，我们有（3）injijjixx1,这就是说，向量关于一个规范正交基的第i i个坐标等于与第i i个基向量的内积；nnyyy2211其次，令那么 （4）nnyxyxyx2211,由此得 （5）22221,|nxxx（6）2211)()(),(nnyxyx2 2标准正交基的性质标准正交基的性质设 ,21是2V的一个基，但不一定是正交基 ,21问题就解决了,因为将 21和再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交.11借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 2V的一个基。先取,2我们考虑线性组合 ,12a从这里决定实数a，使 112与a正交，
12、由 1112112,0aa及及 得得 011112,a取取 1111222,那么 ,0,12又因为又因为 21,线性无关，所以对于任意实数 a,01212aa因而,02这就得到 2V的一个正交基 .,213 3标准正交基的存在性标准正交基的存在性 定理定理8.2.28.2.2（施密特正交化方法（施密特正交化方法)设设 ,21n是欧氏空间V的一组线性无关的向量,那么可以求,21n使得 k可以由 k,21线性表示，k=1,2,m.出V 的一个正交组 证证 先取 ,11那么 2是 1的线性组合，且 .01其次取 1111222,又由 0,1111121212所以所以 12与正交。正交。假设假设1 1
13、 k mk m，而满足定理要求的，而满足定理要求的 121,k都已作出.那么那么是是 221,的线性组合，并且因为 线性无关，所以 .0221,11111111,kkkkkkkk取.112211kkkkaaa所以 k是 k,21的线性组合。由于假定了 ii,21是i=1,2,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合，k,21线性无关，由 ,0k得 又因为假定了 121,k两两正交。这样，这样，k,21也满足定理的要求。1,2,1,0,kiiiiiikikik所以定理得证。定理定理8.2.38.2.3 任意任意n（n 0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例例4 4 在欧氏空间
14、 3R中对基 )3,0,2(),2,1,0(),1,1,1(321施行正交化方法得出 3R的一个标准正交基.31,31,31|111解解:第一步，取第二步，先取)1,0,1(31,31,313)2,1,0(,11221111222然后令21,0,21|222第三步，取 65,35,6521,21,212131,31,3135)3,0,2(,231133222231111333再令61,62,61|333于是 321,就是 3R的一个规范正交基。练习练习1 1 设 ),0,2,0,1(1),3,0,2,0(2),9,4,6,2(3试把 ),(321L4R的基的一个基,并将它标准正交化.扩充成 1
15、.1.向量与一个非空子集正交向量与一个非空子集正交 定理定理8.2.48.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维WWV子空间，那么0,WW因而V的每一个向量可以唯一写成这里(7)(7).V,2211ssrrrrrr.设令证明证明 当W=0W=0时，定理显然成立，这时 .VW.0W.dim,21Wss设由于 W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基那么,W而.,2,1,0,sirrrrrriiiiiis,21.W由于是W的基，所以与W正交，这就证明了.WWV即,WW.0,.0剩下来只要证明这个和是直和。这是那么从而定理被证明。显然的，因为如果证明证明 对于任意对于任意 ,W.,WW而所以.0,
16、.定理定理8.2.58.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量，都有 ,于是.,222如果 ,那么 .02所以 ,22即我们也把向量我们也把向量在子空间在子空间W W上的正射影上的正射影叫做叫做W W到到的最佳逼近。的最佳逼近。定义定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 IUUUU定理定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例例6 设 n,21是欧氏空间V的标准正交基，且)(,),(2121RMTTnnn证明证明：当T是正交矩阵时,n,21是标准正交基.练习练习2 设
17、 321,标准正交基,证明:)22(313211)22(313212)22(313213也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的8.2.5 8.2.5 n n 维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别1n维欧氏空间同构的定义维欧氏空间同构的定义定义定义3 欧氏空间V与 V说是同构的，如果(i)作为实数域上向量空间，存在作为实数域上向量空间，存在V 到 V的一个同构映射;:VVf(ii)对于任意对于任意 V,，都有)(),(,ff2n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别定理定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等.推论推论8.2.8 任
18、意n维欧氏空间都与 nR同构.思考题思考题 求求0022532154321xxxxxxxxx的解空间W的一个标准正交基.W的一个标准正交基.并求其正交补8.3 正交变换一、内容分布一、内容分布8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件8.3.1 正交变换的定义正交变换的定义1掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件 3掌握并会用正交矩阵的某些性质 二、教学目的：二、教学目的：2掌握的正交变换的全部类型32.VV三、重点难点：三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件正交变换的概念及几个等价条件 定义定义1 欧氏空间V的一个线性变换叫做一个正交变换，如果对于任意 V都有|)(|例例1 在 2
19、V里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是 2V例例2 令H是空间 3V里过原点的一个平面.对于每一向量 3V，令对于H的镜面反射 与它对应.:是 3V的一个正交变换.例例3 3 欧氏空间欧氏空间V V的一个线性变换是正交变换的充要的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切即对一切,都有都有.V,|)()(|8.3.2 8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件 定理定理8.3.18.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ，.,)(),(证明证明 条件的充分性是明显
20、的.因为（1）中 取=，就得到 ，从而 .反过来，设是一个正交变换，那么对于,V，我们有 22|)(|)(|22|)(|然而)(),(2)(),()(),()()(),()()(),(|)(|2,2,|2,)(),(,)(),(由于比较上面两个等式就得到：,)(),(定理定理8.3.28.3.2 设设V V 是一个是一个n n维欧氏空间，维欧氏空间，是是V V 的一的一个线性变换，如果个线性变换，如果是正交变换，那么是正交变换，那么把把V V 的任的任意一个标准正交基仍旧变成意一个标准正交基仍旧变成V V 的一个标准正交基；的一个标准正交基；反过来，如果反过来，如果把把V V 的某一标准正交基
21、仍旧变成的某一标准正交基仍旧变成V V的一个标准正交基，那么的一个标准正交基，那么是是V V 的一个正交变换的一个正交变换.定理定理8.3.38.3.3 n n 维欧氏空间维欧氏空间V V的一个正交变换的一个正交变换关于关于V V的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果来，如果V V的一个线性变换关于某一标准正交基的的一个线性变换关于某一标准正交基的矩 阵 是 正 交 矩 阵，那 么矩 阵 是 正 交 矩 阵，那 么 是 一 个 正 交 变 换是 一 个 正 交 变 换.例例5 5 在欧氏空间 中,规定线性变换为:3R321321213213
22、33333,366666,2222),(xxxxxxxxxxx证明:是正交变换.思考题思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合 321,32111313232)(32122323132)(练习练习 设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于 ,规定V的一个变换 VV,2)(证明:是V的一个正交变换,且 是单位变换.,28.4 对称变换和对称矩阵 一、内容分布一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 二、教学目的：二、教学目的：1掌握对称变换的概念，能
23、够运用对称变换和对称矩阵之间掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题的关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质掌握对称变换的特征根、特征向量的性质 3对一个实对称矩阵对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对角形为对角形三、重点难点：三、重点难点：1.对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征对称变换的特征根、特征向量的性质向量的性质;2.对实对称矩阵对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对为对角形角形ATTATT 定义定义1 设是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V
24、中的任意向量 ，等式成立，那么就称是一个对称变换.,)(,),(例例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?3R),(),(1332213211xxxxxxxxx);2,2,(),(32132313212xxxxxxxxxx),(),(3123213xxxxxx定理定理8.4.28.4.2 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换.证证 设关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么n,21)(ijaA niiiniiiyx11,njjininkkkiinjjiniiiyaxyx11111,)(),(同样的计算可得
25、ninjjiijyxa11)(,njnijijinjjiknkniikiyxayxa11111,因为,ijjiaa所以 ninjjiijyxa11)(,),(即是一个对称变换。8.4.3 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 定理定理8.4.38.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数.证证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得)(ijaA nccc,21（2）nnccccccA2121令iicc 表示的共轭复数。用矩阵 左乘（2）的两边得nccc,21nnnncccccccccAccc21212121,即:（3）niiininjjiijccc
26、ca111等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得ija（4）iniininjjiijcccca111又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 ijjiaainiiiniicccc11而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，是实数。ici iniicc1定理定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交.证证 设是n维欧氏空间的一个对称变换，是的本征值，且 。令和分别是属于和的本征向量：（）=，（）=我们有 =因为 ,所以必须=0.定理定理8.4.5 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵是对角形式.定理定理8.4.6 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.AUU例例2 2 设422242224A找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。AUU第一步，先求A的全部特征根.我们有 822xxAxI所以A的特征根是2，2，8.第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组000222222222321xxx的一个基础解系 101,01121再 把正交化，得 21,626161,0212121对于特征根8,3131313求出属于它的一个单位特征向量第三步，以 为列，作一个矩阵321,31620316121316121U那么U是正交矩阵，并且 800020002AUU
