1、第第4 4章章 立体的表面交线立体的表面交线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交4.2 4.2 立体与立体相交立体与立体相交第第4 4章章 立体的表面交线立体的表面交线立体被平面截切，该平面称为截平面截平面，立体表面产生的交线称为截交线截交线；曲面立体与曲面立体相交称为相贯相贯，由此而产生的表面交线称为相贯线相贯线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交截交线截交线截平面截平面与立体表面的交线与立体表面的交线称为称为截交线截交线。截交线所围成的图形称。截交线所围成的图形称为为截断面截断面。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：平面立体截
2、交线平面立体截交线和和曲面立体截交线曲面立体截交线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交 平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。称为平面立体的截交线。平面体平面体截交线的形状是由直线段围截交线的形状是由直线段围成的成的平面多边形。具有封闭性。平面多边形。具有封闭性。一）平面体截交线的性质：一）平面体截交线的性质：平面体平面体截交线是截平面与平面立体截交线是截平面与平面立体表面的表面的公有线。具有共有性。公有线。具有共有性。平面平面多边形的顶点是平面立体棱线多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的与截平面的交点，交点，边是
3、截平面与平边是截平面与平面立体各表面的面立体各表面的交线（截交线段）交线（截交线段）。一、平面与平面立体相交一、平面与平面立体相交二）平面立体截交线的求法二）平面立体截交线的求法1 1、线面交点法、线面交点法2 2、面面交线法、面面交线法将平面立体上参与相交将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求的各条棱线与截平面求交点交点，并将位于立体同一棱面上的并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。所求平面立体的截交线。将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。这些交线即
4、围成所求的平面立体截交线。a a、截平面与立体的那几个表面相交截平面与立体的那几个表面相交 确定确定截交线的形状（多少截交线段）截交线的形状（多少截交线段）确定确定截交线的投影特性（积聚性）截交线的投影特性（积聚性）b b、截平面、立体表面是否具有积聚性截平面、立体表面是否具有积聚性 运用运用线面交点法线面交点法或或面面交线法面面交线法，分别求出截平，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。面与棱面的交线，并连接成多边形。【例题例题1 1】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1 1、空间分析、空间分析2 2、投影分析、投影分析3 3、投影作图、投
5、影作图4 4、整理图线、整理图线截交线为平面五边形，对截交线为平面五边形，对V V面具有积聚性面具有积聚性 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和的是截交线的水平投影和侧面投影。侧面投影。12345【例题例题2 2】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。1 1、空间分析、空间分析 空间空间1010边形边形2 2、投影分析、投影分析正面投影落在截平面的正面投影落在截平面的积聚性投影上；积聚性投影上；1210210393948485757661 12 210
6、103 39 911221010993388448 84 47755666 67 75 5水平截平面截切的交线水平截平面截切的交线平行四棱锥对应底边；平行四棱锥对应底边；侧平截平面截切的交线侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。平行于四棱锥前后棱线。3 3、投影作图、投影作图4 4、整理图线、整理图线 平面截切曲面立体，在曲面立体表面留有的平面截切曲面立体，在曲面立体表面留有的交线，称为曲面立体的截交线。交线，称为曲面立体的截交线。一）曲面立体截交线性质一）曲面立体截交线性质1 1、截交线是截平面与曲面立体、截交线是截平面与曲面立体表面的公有线。截交线上的点为表面的公有线。截交线上的点为截
7、平面与曲面立体表面的公有点截平面与曲面立体表面的公有点。2 2、截交线的形状通常为平面曲、截交线的形状通常为平面曲线，线，特殊情况特殊情况下可含有直线段组下可含有直线段组成。是封闭的平面图形。截交线成。是封闭的平面图形。截交线的形状取决于曲面立体表面性质的形状取决于曲面立体表面性质和截平面与曲面立体的相对位置。和截平面与曲面立体的相对位置。二、平面与曲面立体相交二、平面与曲面立体相交二）曲面立体截交线的求解方法二）曲面立体截交线的求解方法1 1、表面取点法、表面取点法2 2、辅助平面法、辅助平面法三）曲面立体截交线的求解步骤三）曲面立体截交线的求解步骤1 1、截交分析、截交分析a)a)截平面和
8、立体表面的积聚性截平面和立体表面的积聚性;b);b)截交线段的多少；截交线段的多少；c)c)截交线的对称性；截交线的对称性；d)d)截交线在各投影面上的可见性。截交线在各投影面上的可见性。2 2、求特殊点、求特殊点 包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）和转向轮廓线上的点。最左和最右点）和转向轮廓线上的点。3 3、求一般点、求一般点 用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点4 4、整理曲面立体轮廓线、整理曲面立体轮廓线 检查曲面立体被截切后的轮廓素线。擦除被截掉部分检查曲面立体被截切后的轮廓素线
9、。擦除被截掉部分的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。四）圆柱体的截交线四）圆柱体的截交线分析截平面与立体的相对位置分析截平面与立体的相对位置水平面截切，截交线为矩形；水平面截切，截交线为矩形；侧平面截切为圆弧。侧平面截切为圆弧。分析截平面与投影面分析截平面与投影面的相对位置。的相对位置。截交线的正面投影落截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；面的积聚性投影上；截交线的侧面投影落截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；积聚性投影上；【例题例题4 4】完成圆柱体截切后的
10、侧面投影。完成圆柱体截切后的侧面投影。截平面截平面位置位置过锥顶过锥顶垂直于轴线垂直于轴线倾斜于轴线且倾斜于轴线且与所有素线相与所有素线相交交平行于轴线平行于轴线平行于任一素平行于任一素线线截交线截交线两直素线（交两直素线（交于锥顶的两直于锥顶的两直线）线）圆周圆周椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线立体图立体图投影图投影图五、圆锥的截交线五、圆锥的截交线求求圆圆锥锥截交线截交线上上点的方法点的方法1 1、素线法：在圆锥表面取若干素线，并求出这些、素线法：在圆锥表面取若干素线，并求出这些素线与截交平面的交点；素线与截交平面的交点；2 2、纬圆法：在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出、纬圆法：在圆锥表面
11、上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。这些纬圆与截平面的交点。截交线为椭圆，截截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影要作出椭圆的水平投影和侧面投影。和侧面投影。运用锥面取点方运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光和一般点，用曲线光滑连接各点。滑连接各点。截交线形状为抛物截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。平投影和侧面投影。运用锥
12、面取点方法运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连一般点，用曲线光滑连接各点。接各点。截交线为圆弧和两截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和作截交线的水平投影和侧面投影。侧面投影。截交线圆弧的水平截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。投影反映圆弧的实形。【例题例题1 1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。【例题例题2 2】完成半
13、球被截切后的水平投影和侧面投影。完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。221 例题例题3 3 求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为截平面为两个侧平面和一个水两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交和直线的组合；截交线的水平投影和侧面线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线投影均为圆弧和直线的组合；的组合；2 2求出截交线上的求出截交线上的特殊点特殊点、；3 3求出各段圆弧求出各段圆弧；4 4判别可见性，整判别可见性，整理轮廓线。理轮廓线。33312一、相贯线的性质一、相贯线的性质二、相贯线的画法实例二、相贯线的画法实例相贯线的性质：相贯线
14、的性质：1 1、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的公有点；点是两曲面立体表面的公有点；2 2、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。除特殊点外，还要作出适当数量的一般点，以便使连除特殊点外，还要作出适当数量的一般点，以便使连接光滑。同时，要用虚、实线分别表示不可见和可见部分。接光滑。同时，要用虚、实线分别表示不可见和可见部分。判别可见性的原则是：只有同时位于两立体可见表面的相判别可见性的原则是：只有同时位于两立体可见表面的相贯线的投影才是可见的，否则为不可见。贯线的投影才是可见的，否则为
15、不可见。基本知识基本知识一）求相贯线常用的方法有：一）求相贯线常用的方法有：（1 1）表面取点法）表面取点法 （2 2）辅助平面法）辅助平面法 作图时，应尽可能首先定相贯线上的特殊点。例如，相作图时，应尽可能首先定相贯线上的特殊点。例如，相贯线上最高、最低、最前、最后、最左、最右各点以及位于贯线上最高、最低、最前、最后、最左、最右各点以及位于曲面转向轮廓线上的点、对称轴上的点，这些点决定了相贯曲面转向轮廓线上的点、对称轴上的点，这些点决定了相贯线投影的大概形状或是可见与不可见的分界点。线投影的大概形状或是可见与不可见的分界点。通常利用圆柱面的积聚性，在另一表面上取点。通常利用圆柱面的积聚性，在
16、另一表面上取点。（1）表面取点法）表面取点法 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。三面共点的方法。做辅助平面与两个立体都相交，截交线的交点为相贯线上的点。（2）辅助平面法）辅助平面法基本知识基本知识二）二）求相贯线的步骤求相贯线的步骤1 1、分析相贯的情况、分析相贯的情况 a)a)两立体表面的积聚性两立体表面的积聚性;b);b)两立体表面的相交情况；两立体表面的相交情况；c)c)相贯线的对称性；相贯线的对称性；d)d)相贯线在各投影面上的可见性相贯线在各投影面上的可见性.2 2、求特殊点、求特殊点 极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右
17、点）极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）和转向轮廓线上的点。和转向轮廓线上的点。3 3、求一般点、求一般点 用表面取点法或辅助平面法求一般点。用表面取点法或辅助平面法求一般点。4 4、整理图线、整理图线 擦除被贯掉部分的投影，判别相贯线的可见性，光滑连擦除被贯掉部分的投影，判别相贯线的可见性，光滑连接相贯线。接相贯线。三）相贯线的可见性三）相贯线的可见性 相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯线可见，用实线绘制。线可见，用实线绘制。相贯线处于两个不可见的或一个可见、一个相贯线处于两个不可见的或一个可见、一个不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，
18、用虚线不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，用虚线绘制。绘制。基本知识基本知识【例题例题1 1】求轴线正交的两圆柱的相贯线。求轴线正交的两圆柱的相贯线。y 作图步骤：作图步骤：1 1、求相贯线上的特殊点、求相贯线上的特殊点A A、B B、C C、D;D;2 2、求作相贯线上适当数量的一般点（求作相贯线上适当数量的一般点（E E、F F、G G、H H四点四点前后左右对称，以方便作图）；前后左右对称，以方便作图）；abcdd ba a b cd c yefgh 可以看出，轴线正交的两圆可以看出，轴线正交的两圆柱的相贯线的正面投影类似于一柱的相贯线的正面投影类似于一段圆弧曲线，且突向于直径较大段圆弧
19、曲线，且突向于直径较大的圆柱体的轴线。的圆柱体的轴线。3 3、光滑连接各点，、光滑连接各点，即得相贯线得正面投即得相贯线得正面投影（前半部分与后半影（前半部分与后半部分重合在一起）；部分重合在一起）；4 4、整理图形。、整理图形。yyPW1PV15yy5 PV2PW23PV3PW371112 22573 37 解题步骤解题步骤1 1 求出相贯线上求出相贯线上的特殊点的特殊点、（、点点为最右点）；为最右点）；2 2 求出若干个一求出若干个一般 点般 点 、；3 3 光滑且顺次地光滑且顺次地连接各点，作出连接各点，作出相贯线，并且判相贯线，并且判别可见性别可见性,46153,46153可见，可见，
20、15 3 7 2可见可见；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。444686868【例题例题3 3】求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。【例题例题4 4】求圆柱与半球的相贯线。求圆柱与半球的相贯线。11 13 3777 3 55解题步骤解题步骤1 1 求出相贯线上求出相贯线上的特殊点的特殊点 、；2 2 求出若干个一求出若干个一般点般点 、；3 3 光滑且顺次地光滑且顺次地连接各点，作出连接各点，作出相贯线，并且判相贯线，并且判别可见性别可见性,32187,32187可见，可见，1122 3 43 4 55可见；可见；4 4 整理轮廓线整理轮廓线yy4 6 5462 8 6 4 288 2【例题例题5 5】求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3PV1yy55343543112122yy4 解题步骤解题步骤1 1分析分析 相贯相贯线的三个投影均线的三个投影均未知，可利用辅未知，可利用辅助平面法求共有助平面法求共有点；点；2 2求出相贯线求出相贯线上特殊点上特殊点、；4 4光滑且顺次光滑且顺次地连接各点，作地连接各点，作出相贯线，并且出相贯线，并且判别可见性；判别可见性；5 5整理轮廓素整理轮廓素线。线。3 3求出若干个求出若干个一般点一般点、；PW2 PV2
