1、1【多元函数微分学多元函数微分学】习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、典型例题分析二、典型例题分析2一、主要内容一、主要内容31、区域、区域(1)邻域邻域),(0 PU|0 PPP.)()(|),(2020 yyxxyx(2)区域区域 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.(3)聚点聚点.(4)n 维空间维空间.42、多元函数概念、多元函数概念(1)二元函数二元函数.(2)当当 n 2 时时,n 元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.3、多元函数的极限及求法、多元函数的极限及求法注意注意:定义中定义中 P P0 的方式是任意的的方式是任意的.4、多元函数的连续性、多元函
2、数的连续性(1)最大值和最小值定理最大值和最小值定理;(2)介值定理介值定理.5、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质56、偏导数概念及求法、偏导数概念及求法7、高阶偏导数及求法、高阶偏导数及求法二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.8、全微分概念及求法、全微分概念及求法9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系、多元函数连续、偏导存在、可微的关系6函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在710、复合函数求导法则、复合函数求导法则(1)复合函数的复合函数的中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形;(2)复合函数的复合
3、函数的中间变量均为多元函数的情形中间变量均为多元函数的情形;(3)复合函数的复合函数的中间变量既有一元函数中间变量既有一元函数,又有多元又有多元函数的情形函数的情形.11、全微分形式不变性、全微分形式不变性(1)(,)0;F x y 12、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则(2)(,)0;F x y z (,)0(3).(,)0F x y u vG x y u v 813、多元函数的极值与最值、多元函数的极值与最值(1)定义定义及求法及求法(2)条件极值及求法条件极值及求法.9二、典型例题分析二、典型例题分析10 解题思路解题思路 (1)利用多元初等函数的连续性求二元利用多元初等函数的连续性求
4、二元函数的极限函数的极限(如例如例 1);(3)利用夹逼定理求二元函数的极限利用夹逼定理求二元函数的极限(如例如例 3);题型题型 1 求二元函数的极限求二元函数的极限 (2)利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为求一元函数极限的问题求一元函数极限的问题(如例如例 2);(4)判定二元函数的极限不存在判定二元函数的极限不存在(如例如例 4).11例例 1 求极限求极限2222(,)(0,0)lim.11x yxyxy 解解2222(,)(0,0)lim11x yxyxy 22222222(,)(0,0)()(11)lim(11)(11)x yxyxyx
5、yxy 22(,)(0,0)lim(11)x yxy2.12例例 2 求极限求极限22223(,)(0,0)222sinlim.()x yxyxyxy 解解22,xyt令令(,)(0,0)0,x yt则则22223(,)(0,0)222sinlim()x yxyxyxy 30sinlimtttt 201coslim3ttt 22012lim3ttt 1.6 1322(,)(,)lim.x yxyxxyy|,|222xyyx|02222xyyxyxyxyxyx|xyyx|xyyx ,|1|1yx (,)(,)11lim()0,|x yxy 而而22(,)(,)lim0.x yxyxxyy 解解例
6、例 3 求极限求极限 14例例 4 判定极限判定极限 是否存在是否存在.(,)(0,0)ln(1)limtanx yxyxy 解解(,)(0,0)ln(1)limtanx yyxxyxy 20ln(1)limtanxxxx 20limtanxxxx 202lim1secxxx 202limtanxxx 202limxxx,(,)(0,0)ln(1)limtanx yyxxyxy 不存在不存在.15题型题型 2 求多元函数的偏导数与全微分求多元函数的偏导数与全微分 (4)利用利用多元复合函数的求导法则求函数的全导数多元复合函数的求导法则求函数的全导数或偏导数或偏导数(如例如例 6 11);(5)
7、用用隐函数的求导公式隐函数的求导公式求求偏导数偏导数(如例如例 12 14).解题思路解题思路 (1)已知二元函数的偏导数已知二元函数的偏导数,求二元函求二元函数数(如例如例 1);(3)利用利用全微分的概念求函数的全微分全微分的概念求函数的全微分(如例如例 4 5);(2)利用偏导数的概念求函数的偏导数利用偏导数的概念求函数的偏导数(如例如例 2 3);16例例 1 设设 z(x,y)满足满足 求求 z(x,y).1sin1,(1,)sinzyxxyzyy 解解两边对两边对 x 积分积分,得得1(,)sinln 1(),z x yxyxyyy 代入题设条件代入题设条件,得得,sin)(1ln
8、1sinyyyyy ,1ln1sin2)(yyyy .11ln1sin)2(),(xyyyyxyxz 其中其中 (y)为待定函数为待定函数.17例例 2 设设 求求 .e,xyz 222,zzxx y 解解,e1yxyxz )e1(22yxyxxz ,e12yxy)e1(2yxyyyxz yxyxyxyee132 .e3yxyyx 18例例 3 设设 求求 .20(,)ed,xytf x yt 222222xffyfyxx yxy 解解,e22yxyxf ,e22yxxyf ,e222322yxxyxf ,e222322yxyxyf )e(222yxyyyxf ,e2e222222yxyxyx
9、 19)e2(223yxxyyx )e22(e222222yxyxyx )e2(223yxyxxy .e222yx 222222xffyfyxx yxy 20例例 4 求函数求函数 的全微分的全微分.arctanxyzxy 解解2211()()1()1()zxyxyxyxxyxy 22,yxy 2211()()(1)()1()zxyxyxyyxyxy 22,xxy dddzzzxyxy2222dd.yxxyxyxy 21 例例 5 设设 z=z(x,y)是由方程是由方程 所确定的函数所确定的函数,其中其中 具有二阶导数且具有二阶导数且 ,22()xyzxyz ux 1 (1)求求 dz;(2)
10、记记 ,求求 .1(,)()zzu x yxyxy解解(1)2 d2 dd()(ddd),x xy yzxyzxyz 22 ddd.11xyzxy由所给方程的两边求全微分由所给方程的两边求全微分,得得22(2)2,1zxx 2,1zyy 1(,)()zzu x yxyxy122()11xyxy2,1 22(1)(1)zuxx 222(1)1(1)x 32(12).(1)x 23解解 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu )3(.0dd)2(,0dddd)1(,ddddxzhhxzgxyggxyffxuzxzyxyx例例 6 设函数设函数 u(x)由方程组由方程组 所确定所确定,0,0
11、zhyg.ddxu且且 试求试求方程组各方程两边对方程组各方程两边对 x 求导求导,得得24,ddzxhhxz ,ddyxzyxzgghghgxy .ddzyxzyyxyxhghgfggffxu 由由(3)得得代入代入(2)得得代入代入(1)得得25 例例 7 设设 u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,又函数又函数 y=y(x)及及 z=z(x)分别由下列两式确定分别由下列两式确定:2e xyxy.ddxu解解由由 e xy -xy=2 两边对两边对 x 求导求导,得得,0)dd()dd(e xyxyxyxyxyd.dyyxx ,dsine0 zxxttt和和求求260s
12、inedx zxttt sin()de(1),dxxzzxzx ,)sin()(e1ddzxzxxzx xzzfxyyfxfxudddddd .)sin()(e1 zfzxzxyfxyxfx 由由 两边对两边对 x 求导求导,得得27解解3(,),yzx f xyx)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 例例 8 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求222,.zzzyyx y 28xyzyxz 223421111222122224()2()yyx fxfyfxfxfyfxx)
13、(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 29函数函数 都可微都可微,求求例例 9 设设 其中其中,.uuxz(,),(,),(,),uf x y zyx ttx z,f 解法解法 1由多元复合函数的求导法则由多元复合函数的求导法则,得得xyffxuyx )(xtfftxyx )(xtxyxff ,xtyxyxfff zyftyfzu ztyfztf .zztyff 30解法解法 2由全微分形式的不变性由全微分形式的不变性,得得dddd,xyzufxfyfzddd,xtyxtddd,xztxzdd(dd)dxyxtzufxfxtfzdd(dd)dxyxtxzzfxfx
14、xzfz ()d()d,xyxytxytzzfffxffz于是于是,xtyxyxfffxu .zztyffzu 31 例例 10 设设 z=f(u),方程方程 确定确定 u 是是 x,y 的函数的函数,其中其中 f(u),(u)可微可微,连续连续,且且 ,求求 .yzxPxzyP )()()(),(utP 1)(u xyttPuud)()(解解由方程由方程 z=f(u)可得可得,)(xuufxz .)(yuufyz ,d)()(xyttPuu),()(xPxuuxu ),()(yPyuuyu 32(),1()uP xxu ,)(1)(uyPyu ()()zzP yP xxy()()()()()
15、()1()1()P xP yP y fuP x fuuu 0.即即33例例 11 设函数设函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且满足且满足22221,ffuv221(,),(),2g x yf xyxy2222.ggxy 解解,gffyxxuv ,gffxyyuv22222222()()gfffffy yxx yxxuu vvv uv 22222222,ffffyxyxuu vvv 又又求求3422222222()()gfffffx xyy xyyuu vvv uv 22222222,ffffxxyyuu vvv 2222ggxy22222222()()ffxyxyuv22
16、2222()()ffxyuv22.xy35例例 12 设函数设函数 z=z(x,y)由方程由方程 所确所确ee2exyzz,.zzxy定定,试求试求解法解法 1利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.(,)ee2e,xyzzF x y z 令令则则1e,xzxFz 1e,yzyFz 22ee,xyzzzxyFzz xzFzxF e,eexzxyzzzxy yzFzyF e.eeyzxyzzzxy 36解法解法 2 方程两边分别对方程两边分别对 x,y 求导求导,得得22ee()0,xyzzzzxyzxzzx 22e()e0,xyzzzzyxzyzyz 解得解得e,eexzxyzzzzxxy e.
17、eeyzxyzzzzyxy 37解法解法 3由所给方程的两边求全微分由所给方程的两边求全微分,得得e d()e d()0,xyzzxyzz即即22ddddee0,xyzzz xx zz yy zzz解得解得eeddd.eeeexyzzxyxyzzzzzzzxyxyxye,eexzxyzzzzxxy e.eeyzxyzzzzyxy 38 例例 13 试证由方程试证由方程 所确定的所确定的函数函数 z=z(x,y)满足满足0),(xzyyzxF.xyzyzyxzx 证明证明(,)(,),zzG x y zF xyyx122,xzGFFx,212FFyzGy ,1121FxFyGz zxGGxz ,
18、1121122FxFyFFxz 令令则则392121211zFFxxFFyx 1221211zFFyyFFyx zzxyxy211211FxFyFyzFxz 212111FxFyFyFx .xyz zyGGyz ,1121212FxFyFFyz 40 例例 14 设函数设函数 z=z(x,y)由方程由方程 所确定所确定,证明证明222()zxyzyfy222()22.zzxyzxyxzxy证明证明222(,)(),zF x y zxyzyfy2,xFx 22()()()yzzzFyfyfyyy 2()(),zzzyffyyy 令令则则4112()zzFzyfyy 2(),zzfy xzFzxF
19、 2,()2xzfzy yzFzyF 22()()2()zzyyfzfyyzyzyfy 222(),2()zxyzzfyzyzyfy 42222()2zzxyzxyxy2222222()2()2()zxy yzxxy xyzzfyzyzfy 22()2()zxyzzfyzyzfy 2.xz 43题型题型 3 多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题 解题思路解题思路 (1)利用函数极值的定义讨论函数的利用函数极值的定义讨论函数的极值极值(如例如例 1);(2)求函数的无条件极值求函数的无条件极值(如例如例 2 3);(3)利用拉格朗日乘数法求条件极值利用拉格朗日乘数法求条件极值(如例如
20、例 4 7).44 例例 1 设函数设函数 f(x,y)在点在点 O(0,0)及其邻域内连续及其邻域内连续,且且讨论讨论 f(x,y)在点在点 O(0,0)是否有极值是否有极值,若有若有,是极大值是极大值还是极小值？还是极小值？,0cossin1)0,0(),(lim22)0,0(),(Ayyxxfyxfyx解解221sincosxxyy ,0sin43)sin21(22 yyx22sinsinxxyy45存存在点在点 O(0,0)的某个邻域内的某个邻域内,使得在该邻域内有使得在该邻域内有,0)0,0(),(fyxf),0,0(),(fyxf 故函数故函数 f (x,y)在点在点 O(0,0)
21、处有极大值处有极大值.,0cossin1)0,0(),(lim22)0,0(),(Ayyxxfyxfyx且且即即46 例例 2 证明函数证明函数 有无穷有无穷多个极大值多个极大值,但无极小值但无极小值.(,)(1e)coseyyf x yxy证明证明(,)(1e)sin0(,)e(cos1)0yxyyfx yxfx yxy 由由 得得,(1)1(0,1,2,).kxkyk (,)(1e)cos,yxxfx yx (,)e sin,yxyfx yx 其二阶偏导数为其二阶偏导数为4720,A (2,0)(0,1,2,),mm 在在驻驻点点处处 有有1,C 0,B (,)e(cos2),yyyfx
22、yxy 220,ACB函数函数 f(x,y)取得极大值取得极大值;(21),2)(0,1,2,),mm而而在在驻驻点点处处 有有21e,A 0,B 2e,C 224ee0,ACB 函数函数 f(x,y)无极值无极值,故故 f(x,y)有无穷多个极大值有无穷多个极大值,但无极小值但无极小值.48 例例 3 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售售,售价分别为售价分别为 p1 和和 p2,销售量分别为销售量分别为 q1 和和 q2,需求需求函数分别为函数分别为 和和 ,总成本总成本函数为函数为 .试问试问:厂家如何确定两个厂家如何确定两个市场的售价市场的售价,才
23、能使得获得的总利润最大才能使得获得的总利润最大?最大利润最大利润为多少为多少?112.024pq 2205.010pq )(403521qqC 解解总收入函数与总利润函数分别为总收入函数与总利润函数分别为2211qpqpR ,05.0102.024222211pppp CRL ,13951205.02.032222211 pppp49由函数取得极值的必要条件得由函数取得极值的必要条件得 01.01204.0322211ppLppL解方程组得唯一驻点解方程组得唯一驻点(80,120).由问题的实际意义知由问题的实际意义知,当当 p1=80,p2=120 时时,厂家厂家所所获得的总利润最大获得的总
24、利润最大,其最大总利润为其最大总利润为.605120,8021 ppL5022uxyz 2221xyz222(,)22(1),F x y zxyzxyz2221202202201xyzFxFyFzxyz 解解122(,),333 例例 4 求函数求函数 在附加条件在附加条件下的极值下的极值作拉格朗日函数作拉格朗日函数则由则由解得驻点为解得驻点为51122(,)3.333u 当当 时时,函数取得最大值函数取得最大值 u=3,从而也是极大值从而也是极大值;122,333xyz 当当 时时,函数取得最小值函数取得最小值 u=3,从而也是极小值从而也是极小值.122,333xyz 所给函数在闭球面上连
25、续且不为常数所给函数在闭球面上连续且不为常数,必取得最大值与最小值且二者不相等必取得最大值与最小值且二者不相等.又条件极值点只有两个又条件极值点只有两个,52 例例 5 求函数求函数 在约束条件在约束条件和和 下的最大值和最小值下的最大值和最小值.222uxyz 22zxy4xyz 22222121(,)()F x y zxyzxyz 解解 作拉格朗日函数作拉格朗日函数2(4),xyz 1212122222022020040 xyzFxxFyyFzxyzxyz 则由则由解得解得228xyz 或或11,2xyz 53 该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不
26、为常数常数,该函数必取得最大值与最小值且二者不相等该函数必取得最大值与最小值且二者不相等,即可能极值点为即可能极值点为(-2,-2,8),(1,1,2).222max(2)(2)8u 72,222min112u6.54 例例 6 当当 x 0,y 0,z 0 时时,求函数求函数 u=ln x+2ln y+3ln z 在球面在球面 上的最大值上的最大值,并并证明对任意的正实数证明对任意的正实数 a,b,c,不等式不等式成立成立.632)6(108cbacab 22226rzyx 解解zyxzyxFln3ln2ln),(),6(2222rzyx 由函数取得极值的必要条件由函数取得极值的必要条件,得
27、得设设55,060230220212222 rzyxzzFyyFxxFzyx ).3,2,(rrr解得驻点为解得驻点为)3ln(3)2ln(2lnmaxrrru ),36ln(6r),36ln(ln3ln2ln 6rzyx 即即56,36 632rzxy,)()36(622642rzyx,)6(108 6222642zyxzyx ,2ax 令令,2by ,2cz .)6(108 632cbacab 则得则得57 例例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告商品的广告.根据统计资料根据统计资料,销售收入销售收入 R(万元万元)与电台与电台广告费
28、用广告费用 x(万元万元)及报纸广告费用及报纸广告费用 y(万元万元)之间的关之间的关系有如下的经验公式系有如下的经验公式:(1)在广告费用不限的情况下在广告费用不限的情况下,求最优广告策略求最优广告策略;(2)若提供的广告费用为若提供的广告费用为 1.5 万元万元,求相应的最优求相应的最优广告策略广告策略.102832141522yxxyyxR 58解解(1)(yxRL .102831131522yxxyyx 利润函数为利润函数为解方程组解方程组(,)13840(,)318200 xyLx yyxLx yxy 求得驻点为求得驻点为(0.75,1.25).根据题意可知根据题意可知,该问题的该问
29、题的最优广告策略最优广告策略一定存在一定存在,又又(0.75,1.25)是函数的唯一驻点是函数的唯一驻点,最优广告策略是用最优广告策略是用 0.75 万元作电台广告万元作电台广告,用用 0.75万元作报纸广告时万元作报纸广告时.59(2)若广告费用为若广告费用为 1.5万元万元,则该问题可归结为求则该问题可归结为求 利润函数利润函数 221028311315yxxyyxL 在附加条件在附加条件 x+y=1.5 下的最大值下的最大值.作拉格朗日函数作拉格朗日函数221028311315),(yxxyyxyxL ),5.1(yx 解方程组解方程组(,)13840(,)3182001.50 xyLx yyxLx yxyxy 60求得驻点为求得驻点为(0,1.5).根据题意可知根据题意可知,该问题的最优广告策略一定存在该问题的最优广告策略一定存在,又又(0,1.5)是函数的唯一可能的极值点是函数的唯一可能的极值点,最优广告策略将广告费用最优广告策略将广告费用 1.5 万元全部用于报万元全部用于报纸广告纸广告.
