1、第5章 频域分析法 5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系5.6 闭环系统频率特性5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系15.4 用频率特性分析系统稳定性1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量 21 控制系统的稳定判据 n闭环系统稳定条件闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。n一阶系统一阶系统 特征方程式:特征根:令 则矢量()0D s
2、spsp sj()D jjp31 控制系统的稳定判据 n特征根是一个负实根 当 由0增加到时 n特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到时结论：结论：一阶系统是稳定的，则 由0时，矢量 将逆时针方向旋转/2。图5.32 一个正实根()2Arg D j()2Arg D j()D j41 控制系统的稳定判据 n 二阶系统 特征方程式:特征根:矢量 0)(2)(21222pspsssbasssDnn21,2(1)nnpj 122212()()()|(1)(1)()()sjnnnnD jspspjjjjD jDj 51 控制系统的稳定判据 n特征根在左半平面特征根在左半平面 当 由0
3、增加到时 ，n特征根在右半平面特征根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到时 图5.33 共轭复数根在由半平面102022()22Arg D j()22Arg D j 61 控制系统的稳定判据 n 阶系统 特征方程式:矢量 (1)如果 个根都在复平面的左半平面 当 由0增加到时，n0.)(111nnnasasassDn12()()()()nD jjpjpjpn()2Arg D jn71 控制系统的稳定判据(2)如果一个根在右半平面，个根在左半平面 当 由0增加到时，n系统稳定的条件系统稳定的条件转化为：当 由0时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不
4、稳定的。当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。(1)n ()(1)(2)222Arg D jnn()D j()2Arg D jn+()D j()Arg D jn82 应用幅相特性判断系统稳定性 闭环系统闭环系统如图示开环传递函数 图5.35 闭环系统闭环传递函数 闭环系统的特征多项式 1()()()G sG s H s1121()()()()HHK N sK NsD sDs)()(sDsKN)()()()()()()()(1)()(1111sDsNsKNsDsDsNKsHsGsGsBBH)()()(sKNsDsDB92 应用幅相特性判断系统稳定性
5、辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数 有如下特征：有如下特征：1）其零点为闭环传递函数的极点；2）其极点为开环传递函数的极点；3）其零点和极点的个数是相同的；4）和开环传递函数 只差常数1。控制系统稳定的充要条件变为：控制系统稳定的充要条件变为：辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。)(1)()(1)()()(sGsDsKNsDsDsFB()()1()()BDjF jG jD j()F s()F s()G s()F s102 应用幅相特性判断系统稳定性n分分3 3种情况讨论种情况讨论 n(1)(1)开环系统是稳定的情况开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都
6、在S左半平面，而当 由 到 时，矢量的相角变化量为 如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时，矢量的相角变化量为矢量 的相角变化为 ()0D s n+()D j()Arg D jn()0BDs n()BArg Djn+()BDj()F j()1()()()0BArg F jArgG jArg DjArg D jnn 112 应用幅相特性判断系统稳定性 图5.36 的相角变化 (a)系统稳定 (b)系统不稳定n奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）稳定判据稳定判据(奈氏稳定判据奈氏稳定判据)当 由 到 时，矢量 的相角变化量为0，则开环稳
7、定的系统，闭环后也是稳的。+()1()F jG j 122 应用幅相特性判断系统稳定性 因为 和 两个矢量之间只相差常数1，如果把 平面坐标原点右移1个单位，那么这同一曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。图5.37 和 曲线()1()F jG j()F j()G j()F j()G j()G j()F j132 应用幅相特性判断系统稳定性n推论 1：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件：当 由 变到 时，开环频率特性在复数平面的轨迹 不包围 这一点。+()G j(1,0)j142 应用幅相特性判断系统稳定性n(2
8、)(2)开环系统是不稳定的情况开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个根在S右半平面，个根在S左半平面，则开环系统是不稳定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为 若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在S右半平面，个根在S左半平面，则 由 变到 时，矢量 的相角变化量为 +()D jn+PnP（）()Arg DjP(n-P)（）n-P(2)Z()nZ()BDj()()()(2)BArg DjnZZnZ152 应用幅相特性判断系统稳定性 矢量 的相角变化量为式中 代表矢量 的相角变化圈数。即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈；或用 的轨迹说明，
9、开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。()()1()()BDjFjGjDj()()()()22BArg F jArg DjArg D jPZN N()F j()F j()F jN()G j()G j()G j(1,0)jNPZ162 应用幅相特性判断系统稳定性n推论 2：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有 个根在S右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：由 变到 时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。实际应用判据实际应用判据 若开环传递函数在S右半平面上
10、有 个极点，则当 由 0变到+，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。+()G j(1,0)jPNPP()G j(1,0)j/2P172 应用幅相特性判断系统稳定性n例例5.4 5.4 一个闭环系统如图示，其开环传递函数为 这是一个不稳定的惯性环节，开环特征方程式在右半平面有一个根 。闭环传递函数为 由于 ，闭环特征方程式的根在S左半平面，所以闭环是稳定的。开环频率特性如图，当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时，矢量逆时针围绕 点转一圈。即 ，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。+()G j(1,0)j(),11KG sKT
11、s1P 1)(KTsKs1K NP182 应用幅相特性判断系统稳定性n(3)(3)开环系统开环系统有积分环节有积分环节的情况的情况 系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点）例如开环系统传递函数为其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续，可作如下处理：令 ，当 由 变到 时，角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理 12()(1)(1)KG ss TsT s)1)(1()(21jTjTjKjG0jse 0022192 应用幅相特性判断系统稳定性 所以在 由 时，幅相频率特性以为半径，相角由0度旋转到 ，如图5.40(a)所示。如果在原点处有重根 为重根数目。在 由 时，幅相特性以为半径，转
12、过 ，得到了连续变化的轨迹，如图5.40虚线所示。图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (a)有一个积分环节 002()NKG ssN()jNNKG se 002NN 202 应用幅相特性判断系统稳定性 用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c)中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (b)有二个积分环节 (c)有三个积分环节(1,0)j213 应用对数频率特性判断系统稳定性 n在波德图上应用奈氏稳定判据在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性正穿越正穿越：在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。负穿越
13、负穿越：在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a)幅相频率特性 (b)对应的对数频率特性()G j(,1)()()G j(,1)()223 应用对数频率特性判断系统稳定性 n注意：注意：如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越正穿越，即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越负穿越，即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。奈氏稳定判据用正负穿越表述如下：奈氏稳定判据用正负穿越表述如下：如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面，当 由0变到+时，在复平面上正穿越与负穿越次数之差等于零，则闭环系统是稳定的，否
14、则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，当 由0变到+时，在复平面上正穿越和负穿越之差为 ，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。()G j(1,0)j(,1)()G j(1,0)j(,1)()G jP()G j/2P23n幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系 3 应用对数频率特性判断系统稳定性243 应用对数频率特性判断系统稳定性 n奈氏稳定判据用于奈氏稳定判据用于对数频率特性对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面，即 ，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为
15、0时，闭环系统是稳定的；否则闭环系统是不稳定的。如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭环系统是不稳定的。/2P0P()0LP()0L254 奈氏稳定判据应用举例 例例5.55.5 系统开环传递函数为其极点全部位于S左半平面，。（1 1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性如图5.42（a）。由于 不包围 点，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。图5.42 例5.5的稳定判定 0,)1)(1()(21KsTsTKsG0P(
16、)G j(1,0)jK264 奈氏稳定判据应用举例（2 2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.42（b）。由于在 dB的频段内，二阶系统对数相频特性不会穿越 线，即对数相频特性与 线正穿越和负穿越次数之差总为0，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。图5.42 例5.5的稳定判定 K()0L274 奈氏稳定判据应用举例 例例5.65.6 系统开环传递函数为没有极点位于位于S右半平面，。（1 1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式其中在
17、 时，在 时，。0P 0,)1)(1()(21KsTsTsKsG()()()G jRjI2121 222242222242212121212()(1)(),()1()1()K TTKTTRITTT TTTT T012(0)(),()RK TTI 211TT1 212()(),()0()K TTRITT284 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图5.43（a）。由图看出，值较大时，当 由-变到+时，顺时针包围 两圈，。故表明闭环系统在S右半平面有两个极点，系统是不稳定的。如果减小 值，则当 ，系统达到稳定边界。当 时，闭环 图5.43 例5.6的稳定判定系统是稳定的。()G j(1
18、,0)jK2N 2ZPNK121 2TTKTT()1R 121 2TTKTT0N 294 奈氏稳定判据应用举例（2 2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.43（b）。值较大时，在 dB的频段内，对数相频特性负穿越 线1次，闭环系统不稳定。如果减小 值，对数幅频特性 下移，幅值穿越频率 左移减小，使在 dB的频段内，对数相频特性不穿越 线，则闭环系统稳定。图5.43 例5.6的稳定判定 K()0LK)(Lc()0L304 奈氏稳定判据应用举例 例例5.75.7 系统开环传递函数为没有极点位于位于S右半平面，。应用开
19、环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为其中相频特性为 0P()()()G jRjI221(1)()(1)K T sG ss T s21 2212222211(1)()(),()(1)(1)KTTK TTRITT 12()180arctanarctanTT 314 奈氏稳定判据应用举例 n分几种情况讨论分几种情况讨论（1）幅相频率特性如图5.44(a)示。当 由-变到+时，顺时针包围 点两圈：即闭环传递函数有两个极点位于S右半平面，闭环系统不稳定。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图()G j(1,0)j2ZPN2N 12arctanar
20、ctanTT12TT324 奈氏稳定判据应用举例（2）幅相频率特性如图5.44(b)示。当 由-变到+时，不包围 点：闭环系统稳定。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图()G j(1,0)j12TT12arctanarctanTT0N 0ZPN334 奈氏稳定判据应用举例（3）幅相频率特性如图5.44(c)示。当 由-变到+时，正好通过 点。闭环系统处于临界稳定状态。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图()G j(1,0)j12TT()180 ()180 344 奈氏稳定判据应用举例 例例5.85.8 系统开环传递函数为在S右半平面有一个极点，。系统开环频率特性为其中相频特性为 当 时，当
21、 时，当 时，()()()G jRjI21(1)()(1)K T sG ss T s1P 2121 2222211()(1)(),()1(1)K TTK TTRITT 12()90(180arctan)arctanTT 0(0)270 12(0)(),(0)RK TTI()90 211TT2(),()0RKTI 354 奈氏稳定判据应用举例 幅相频率特性绘于图5.45。当 时闭环系统是稳定的；当 时闭环系统是不稳定的。图5.44 例5.7幅相频率特性示意图21KT 1N 0ZPN21KT 1N 2ZPN36 5 频率域中描述系统的稳定裕量 如果开环系统传递函数没有极点位于S右半平面，那么闭环系统稳定的充要条件是：开环系统幅相频率特性 不包围 点；或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性经过 点。即满足：式中：称为幅值穿越频率；称为相位穿越频率。()G j(1,0)j(1,0)j()G j|()|1,()180ccjjG j 且cj37 5 频率域中描述系统的稳定裕量 n相位裕量相位裕量n增益裕量增益裕量 dB 图5.46 稳定裕量()()180cc 11|()|jGMG j120lg20lgGM 38 The End!39
