1、线段和最小问题的思考-从“将军饮马”模型说起 线段线段和最小或运动时间最短问题往往是和最小或运动时间最短问题往往是“将军饮马将军饮马”型或变式型的问题，解决这类问题需要建立相应的几何模型或变式型的问题，解决这类问题需要建立相应的几何模型，并运用模型寻求解题思路，锻炼学生发现、归纳、提型，并运用模型寻求解题思路，锻炼学生发现、归纳、提炼、运用模型的能力炼、运用模型的能力，培养，培养学生数学核心素养学生数学核心素养.如如图，当点图，当点A、B在直线在直线l同侧时，在同侧时，在l上找一点上找一点P，使，使PA+PB最小最小.【“将军饮马将军饮马”模型模型】“将军饮马将军饮马”模型中蕴含转化思想：解决
2、线段和最小问题，充分地运模型中蕴含转化思想：解决线段和最小问题，充分地运用轴对称的性质，将其中一条线段关于某直线对称到该直线的另一侧，将用轴对称的性质，将其中一条线段关于某直线对称到该直线的另一侧，将同侧的两条线段变为异侧的两条线段，从而将线段的和转化为两点之间线同侧的两条线段变为异侧的两条线段，从而将线段的和转化为两点之间线段最短的问题，即化段最短的问题，即化“折折”为为“直直”，这是解决此类问题的通法，这是解决此类问题的通法如如图，当点图，当点A、B在直线在直线l同侧时，在同侧时，在l上找一点上找一点P，使，使PA+PB最小最小.【“将军饮马将军饮马”模型模型】“将军饮马将军饮马”模型模型
3、中存在两个定点，一个动点，一条定直线，动点在中存在两个定点，一个动点，一条定直线，动点在定直线上运动，将问题回归到定点到定点的定直线上运动，将问题回归到定点到定点的“两点之间线段最短两点之间线段最短”上来上来例例1 如如图，正方形图，正方形ABCD的边长为的边长为2，点，点E为为CD的中点，点的中点，点P为对角线为对角线BD上的一个动点，连接上的一个动点，连接PC、PE，则，则PC+PE的最小值为的最小值为 【“将军饮马将军饮马”模型应用模型应用】解析解析：此题将：此题将“将军饮马将军饮马”放在正方形的背景中，根据放在正方形的背景中，根据对角线所在的直线为对角线所在的直线为正方形的对称轴，找到
4、点正方形的对称轴，找到点C C的对称点的对称点A A，连，连PAPA，则，则PA=PCPA=PC，将同侧的两条线段，将同侧的两条线段PCPC、PEPE转化成了异侧的两条线段转化成了异侧的两条线段PAPA、PEPE，利用两点之间线段最短，利用两点之间线段最短，PA+PEPA+PE的最小值的最小值即为定点即为定点A A到定点到定点E E的距离（线段的距离（线段AEAE的长度），再利用勾股定理求得的长度），再利用勾股定理求得结果结果【“将军饮马将军饮马”模型应用模型应用】BH解析：此解析：此题的不同在于有两个点是动点，但相题的不同在于有两个点是动点，但相同的是有一条定直线同的是有一条定直线ADAD（
5、角平分线所在的直（角平分线所在的直线），这条直线也具备对称轴的属性线），这条直线也具备对称轴的属性很很容易容易作出作出B B点关于点关于ADAD的对称点的对称点BB，再连接，再连接 BMBM，原，原问题就转化为求问题就转化为求BM+MNBM+MN的最小值引导学生观的最小值引导学生观察，点察，点BB为定点，直线为定点，直线ABAB为定直线为定直线，根据根据垂垂线段最短，最小值即为垂线段的长度线段最短，最小值即为垂线段的长度【“将军饮马将军饮马”模型应用模型应用】BH 本题中存一个定点，两个动点，两个动点本题中存一个定点，两个动点，两个动点都在定直线上运动，通过轴对称，引导学生找都在定直线上运动，
6、通过轴对称，引导学生找到定点到定点BB，定直线，定直线ABAB，形成几何模型，体验转，形成几何模型，体验转化的数学思想化的数学思想.【“将军饮马将军饮马”模型应用归纳模型应用归纳】将将定直线同侧的两条线段定直线同侧的两条线段通过轴对称变换转通过轴对称变换转到异到异侧侧，从而将，从而将“折线段折线段”化化为为“直线段直线段”，最终将，最终将问题问题回归到回归到“两点之间线段最短两点之间线段最短”或或“垂线段最短垂线段最短”的的数数学学本质上来本质上来【“胡不归胡不归”模型模型】有有一则历史故事：说的是一个身一则历史故事：说的是一个身在在A地当学徒的小伙子，当地当学徒的小伙子，当他得悉在家乡他得悉
7、在家乡B地的年老父亲地的年老父亲病危的消息后，病危的消息后，便立即向掌柜请假便立即向掌柜请假赶回。如图，直线赶回。如图，直线 l 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是沙砾是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是沙砾地带，为了急切回家，小伙子选择了全是沙砾地的直线路径，他地带，为了急切回家，小伙子选择了全是沙砾地的直线路径，他认为走近路必定省时但当认为走近路必定省时但当他气喘吁吁地来到父亲他气喘吁吁地来到父亲的床前时，的床前时，老老人人刚刚刚刚去世去世小伙子不觉失声痛哭。有人告诉小伙子，老人在弥小伙子不觉失声痛哭。有人告诉小伙子，老人在弥留之际，还在不断喃喃念道留之际，还在不断喃喃念道“胡胡不归？胡不归
8、？不归？胡不归？”并深为怜惜地并深为怜惜地反问道：反问道：“你为何不先坐个马车，沿驿道上走一程呢？你为何不先坐个马车，沿驿道上走一程呢？”路线路线1：A B路线路线2：A C B（点（点C应在何处选取？）应在何处选取？）【“胡不归胡不归”模型模型】不难不难看出，这个问题的本质上是一个看出，这个问题的本质上是一个最短距离最短距离问题问题 但因为在两条路但因为在两条路线上的速度线上的速度不同不同，故而想到借助第三条路线，将其转化为，故而想到借助第三条路线，将其转化为匀速运动匀速运动路线路线【“胡不归胡不归”模型模型】可见可见，小伙子沿路线，小伙子沿路线 A AC C1 1B B 走，所花走，所花的
9、时间的时间就等于他就等于他“以以 b b米米/秒秒匀速沿路线匀速沿路线 D D1 1C C1 1B B 走走所所花花的的时间时间”由由“垂线段最短垂线段最短”可知，可知，作作BDBD2 2AM AM 交交直线直线l l交于点交于点C C2 2 ，于是，小，于是，小伙子选择伙子选择在点在点C C2 2处处折折往点往点 B B，才能早到达，才能早到达点点B B通过构造直角三角形，将两条线段转化到一条定直线的异通过构造直角三角形，将两条线段转化到一条定直线的异侧侧，将，将“变速运动变速运动”转化成转化成“匀速运动匀速运动”是解决是解决“胡不归胡不归”问题的关键问题的关键.最后也将问题化归到最后也将问
10、题化归到“垂线段最短垂线段最短”上来上来.【“胡不归胡不归”模型模型】例例3 如如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边(岸边看成是直线岸边看成是直线AC)的的A点处发现海中的点处发现海中的B点处有人求救，便立即派一名救生员前去营点处有人求救，便立即派一名救生员前去营救已知点救已知点B到岸边的最短距离为到岸边的最短距离为300米米(即即BC的长的长)，救生员在岸上，救生员在岸上跑的速度跑的速度6米米/秒，在水中游泳的速度秒，在水中游泳的速度 2 米米/秒，秒，BAC45若该若该名救生员应先沿岸边跑到点名救生员应先沿岸边跑到点D处，再跳入海中游向点处，再跳入海中游向
11、点B，则点，则点D在什在什么位置时能最快到达点么位置时能最快到达点B进行营救？进行营救？EMHD1作用：路线作用：路线A AD DB B变速运动转化成变速运动转化成E ED DB B匀速运动匀速运动.【“胡不归胡不归”模型应用模型应用】例例4 如如图，矩形图，矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，COD关于关于CD的对称图形为的对称图形为CED(1)求证：四边形求证：四边形OCED是菱形是菱形.2017年广州中考题 求求sin EAD 的值的值F(由北师大版九上由北师大版九上P27第第11题改编题改编)【“胡不归胡不归”模型应用模型应用】若若点点P为线段为线段AE上一动上一
12、动点点(不不与点与点A重合重合)，连接连接OP，一动点，一动点Q从从点点O出发，以出发，以1cm/s的速度沿线段的速度沿线段OP匀速运动到点匀速运动到点P，再以，再以1.5cm/s的速度沿线段的速度沿线段PA匀速运动到点匀速运动到点A，到达点，到达点A后停止运动当点后停止运动当点Q沿沿上述路线运动到点上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求所需要的时间最短时，求AP的长和点的长和点Q走完全走完全程所需的时间程所需的时间PHH1P1作用：点作用：点Q Q的变速运动的变速运动O OP PA A转化成匀速运转化成匀速运动动O OP PH.H.(1)若若点点D的横坐标为的横坐标为5，求抛物线的函数表达
13、式，求抛物线的函数表达式;【“胡不归胡不归”模型应用模型应用】2014年成都中考题（有删减）【“胡不归胡不归”模型应用模型应用】(2)在在(1)的条件下，设的条件下，设F为线段为线段BD上一点上一点(不含端点不含端点)，连结，连结AF，一动，一动点点M从点从点A出发，沿线段出发，沿线段AF以每秒以每秒1个单位的速度运动到个单位的速度运动到F，再沿线，再沿线段段FD以每秒以每秒2个单位的速度运动到个单位的速度运动到D后停止，当点后停止，当点F的坐标是多少时，的坐标是多少时，点点M在整个运动过程中用时最少在整个运动过程中用时最少?FHH1作用：点作用：点M M的变速运动的变速运动A AF FD D
14、转化成匀速运转化成匀速运动动A AF FH.H.E “将军饮马将军饮马”、“胡不归胡不归”、“制桥选址制桥选址”是数学历史名是数学历史名题，是各国灿烂文化的结晶，数学名题有的是数学大师的伟大数学题，是各国灿烂文化的结晶，数学名题有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。通过思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。通过数学名题，我们可以学习和欣赏数学的别致、独到的构思、新颖的数学名题，我们可以学习和欣赏数学的别致、独到的构思、新颖的方法、漂亮的结论，启迪我们的思维，提高解题能力。数学文化现方法、漂亮的结论，启迪我们的思维，提高解题能力。数学文化现
15、在越来越受到大家的重视，在越来越受到大家的重视，20172017年高考考纲正式加入数学文化的内年高考考纲正式加入数学文化的内容。中考数学试题中更是有很多题是根据数学名题改编或者简化或容。中考数学试题中更是有很多题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用，希望引起大家对数学名题的关注和研究者直接引用，希望引起大家对数学名题的关注和研究.谢谢聆听！(2017年广州）年广州）如如图，矩形图，矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O，COD关关于于CD的对称图形为的对称图形为CED(1)求证：四边形求证：四边形OCED是菱形是菱形.求求sin EAD 的值的值若若点点P为线段为线段AE上
16、一动上一动点点(不不与点与点A重合重合)，连接连接OP，一动点，一动点Q从点从点O出发，出发，以以1cm/s的速度沿线段的速度沿线段OP匀速运动到点匀速运动到点P，再以，再以1.5cm/s的速度沿线段的速度沿线段PA匀速匀速运动到点运动到点A，到达点，到达点A后停止运动当点后停止运动当点Q沿上述路线运动到点沿上述路线运动到点A所需要的时所需要的时间最短时，求间最短时，求AP的长和点的长和点Q走完全程所需的时间走完全程所需的时间(1)若若点点D的横坐标为的横坐标为5，求抛物线的函数表达式，求抛物线的函数表达式;(2)在在(1)的条件下，设的条件下，设F为线段为线段BD上一点上一点(不含端点不含端点)，连结，连结AF，一动点，一动点M从点从点A出发，沿线段出发，沿线段AF以每秒以每秒1个单位的速度运动到个单位的速度运动到F，再沿线段，再沿线段FD以每秒以每秒2个单位的个单位的速度运动到速度运动到D后停止，当点后停止，当点F的坐标是多少时，点的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少在整个运动过程中用时最少?
