1、1读书患不多，思义患读书患不多，思义患不明。不明。患足己不学，既学患患足己不学，既学患不行。不行。21.3 1.3 概率的定义及其性质概率的定义及其性质 事件的频率事件的频率 概率的公理化定义概率的公理化定义 概率的性质概率的性质3研究随机现象的统计规律性的数学研究随机现象的统计规律性的数学学科。学科。什么是统计规律什么是统计规律性性?统计规律性是指在大量试验中呈现出的统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律。数量规律。一个随机事件在一次试验中发生的可能一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小性大小的数量指标的数量指标刻画刻画称为该事件的概称为该事件的概率。率。什么是概率什么是概率?如何定义
2、概率如何定义概率?4A正面朝正面朝上上例：例：“抛硬币抛硬币”试验，试验，将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛 次，次，n记记次试验次试验中中 AnnA发生的次发生的次数数 AnnfAn 01nf A 1nf 若若 是两两不相容是两两不相容事件事件,12,mA AA则则 11mmiinniifAfA频率：频率：频数：频数：频率的性质：频率的性质：频率有没有稳定频率有没有稳定性？性？5试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 72 23 31 5 1 2 41 5 1 2 4Hnf50 n2222252521212525242418182727Hn500 n251
3、2512492492562562472472512512622622582580.40.40.60.60.20.21.01.00.20.20.40.40.80.80.440.440.500.500.420.420.480.480.360.360.540.54f0.5020.5020.4980.4980.5120.5120.4940.4940.5240.5240.5160.5160.500.500.5020.502例：例：将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次,各做各做 7 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动较波动较小
4、小波动较波动较大大波动最波动最小小随随 n 的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性60.50050.500512012120122400024000皮皮 尔尔 逊逊0.50160.5016601960191200012000皮皮 尔尔 逊逊0.50690.50692048204840484048蒲蒲 丰丰0.51810.51811061106120482048德德摩根摩根实验者实验者nHn nf H的的增增大大n nf H127例：例：高尔顿高尔顿(Galton)(Galton)板试板试验，试验模型如下所示验，试验模型如下所示:自上端放入一小球，任其自由下自上端放入一小球，任其自
5、由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则其最后所呈现的曲线，如果放入大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。几乎总是一样的。8单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示9由上述两例可知，频率具有下列由上述两例
6、可知，频率具有下列特点：特点：随机波动性随机波动性对相同或不同的试验次数，对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；件发生的可能性的大小；频率稳定性频率稳定性随着试验次数的无限增大，随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。该常数来度量事件发生的可能性的大小。10我们称这个稳定值我们称这个稳定值 p 为随机为随机事件事件 A 的概率。的概率。nfA
7、pn当试验次数当试验次数 很大时很大时,事件事件 的频率的频率 接近接近n nfAA一个稳定值一个稳定值 p ，即有即有概率的统计学定义概率的统计学定义由于频率的取值是由于频率的取值是“随机的随机的”，那么极限那么极限 是什么意思值得研是什么意思值得研究究（第五章讨论该问（第五章讨论该问题）。题）。nfApn11 当试验次数当试验次数 n 相当大时，可以用频率相当大时，可以用频率作为概率的近似值：作为概率的近似值：)()(AfAPn 事件频率的稳定性通常也称作相应事事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的件发生的统计规律性统计规律性。前苏联数学家科尔莫戈罗夫在前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933
8、1933年年将频率的三条性质演绎为三条公理，由此将频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的可得度量事件发生可能性大小的概率的公概率的公理化定义。理化定义。12在第五章将证明贝努里大数定在第五章将证明贝努里大数定理理:1limpnnPAn从理论上保证了利用频率稳定值从理论上保证了利用频率稳定值 量度事量度事件件 发生的发生的 可能性大小可能性大小(概率概率)的可行性的可行性.pA()()nf Apn当试验次数当试验次数 很大时很大时,事件事件 的频率的频率 接近接近一个常数，一个常数，n nfAA即有即有13概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理1 1 非负性：非负性：公
9、理公理2 2 规范规范性：性：0P A 1P 公理公理3 3 可列可加性：对两两不相容的事件可列可加性：对两两不相容的事件列列 ，1kkA11kkkkPAP A定义：定义：设设 是随机试是随机试验，验，E称为事件称为事件 都赋予一个实都赋予一个实数数 ，P A 是其样本空是其样本空间，间，对对 的的EA如果集合函数如果集合函数 满足下列三条满足下列三条公理：公理：P 每一个事件每一个事件 ，A的概率，的概率，有有14概率的性质概率的性质性质性质1 1：0P 证明：证明：设设kA 1,2,3,k 则则1kkA且且,ijAA,1,2,3ij i j 1kkPPA 由概率的可列可加性得由概率的可列可
10、加性得1kkP A 1kP 0P 0.P 15概率的性质概率的性质证明：证明：设设kA 1,2,3,knnn 则则11nkkkkAA且且,ijAA,1,2,3ij i j11nkkkkPAPA由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得1kkP A若若性质性质2 2：（有限可加性）（有限可加性）12,nA AA两两互不相容两两互不相容事件，则有事件，则有11nnkkkkPAP A10nkkP A1nkkP A16概率的性质概率的性质证明：证明：由由 知，知，ABBAB A且且AB A P BP AB A由有限可加性得由有限可加性得 P AP B A P B AP BP A0设设性质性质3 3：,A
11、 B是两个事件，是两个事件，若若 ，AB则则 ，P BP A且有且有 .P B AP BP A从而从而 P BP A故故17概率的性质概率的性质证明：证明：由由B A B AB且且ABBP B AP B AB由性质由性质3 3可得可得 P BP AB设设性质性质4 4：,A B是任意两个事件，是任意两个事件，则有则有.P B AP BP ABBAB AAB18概率的性质概率的性质证明：证明：由于由于A 1P AP 故由性质故由性质3 3，对任意事件对任意事件 ，性质性质5 5：A有有 1.P A 证明：证明：因因A A 1 PP A A 故故对任意事件对任意事件 ，性质性质6 6：A有有 1.
12、P AP A 且且AA P AP A从而从而 1.P AP A 19概率的性质概率的性质证明：证明：因因A B且且AB ABP A B故有故有P AB AB对于任意两个事件对于任意两个事件 ，性质性质7 7：,A B有有 .P A BP AP BP ABBAB ABABAB AB P AP B AB P AP BP AB事件解释为事件解释为区域区域概率解释为区域概率解释为区域面积面积20S3A2A1A321AAA13A A32AA21AA挖挖挖挖挖挖补补对于任意三个事件对于任意三个事件 ，推广推广1 1：123,A A A有有123P AAA 312P AP AP A12P AA23P A A
13、1 3P AA123P AA A21对于任意多个事件对于任意多个事件 ，推广推广2 2：12,nA AA有有12nP AAA 1niiP A1iji j nP AA 1ijki j k nP AA A 1ijkli j k l nP AA A A 1121nnP AAA 全全加加减减二二加加三三减减四四挖补规律：加奇挖补规律：加奇减偶减偶22解：解：因因P BAP B A设设练习题：练习题：11,32P AP B求在下列三种情况下求在下列三种情况下的值？的值？P BA 设设A与与互斥；互斥；B;AB1.8P AB P B AB P BP AB12P ABBAAB23练习题：练习题：设设 为三事
14、件，为三事件，且且 0.25,P AP BP C0,0.125,P ABP BCP AC,A B C生的概率。生的概率。求求 至少有一至少有一个发个发,A B C解：解：由题知所求为由题知所求为P A B C P AP BP CP ABP BCP ACP ABC因因,ABCAB故故P ABCP AB000P ABC0.62524 AP A BP B BP A BP B CP B AP B DP ABP B练习题：练习题：设设 为随机事件，且为随机事件，且 ，则对任，则对任意随机意随机事件事件 ，必有（，必有（）A 1P A B分析：分析：因因AA B故故 P AP A B11 P AP BP AB从而从而1 P A B进而进而 P BP AB25小小 结结1.1.概率的定义概率的定义2.2.概率的性质概率的性质三条公理三条公理7 7 条性质条性质统计学定义统计学定义公理化定义公理化定义26课本课本24P5三、作作 业业作业题：作业题：设设 ，若，若 与与 互不相容，则互不相容，则A 0.4,0.7P AP A BB?P B
