1、2 2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数一、泰勒级数由第六章由第六章3中中的泰勒定理知的泰勒定理知,若函数若函数f在点在点x0 的某邻域内存在直至的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数阶的连续导数,则则200000()()()()()()2!fxf xf xfxxxxx其中其中()nRx为为Lagrange型余项型余项(1)10()()(),(2)(1)!nnnfRxxxn()00()()(),(1)!nnn
2、fxxxRxn()nRx0()nxx由于余项由于余项是关于是关于 的高阶无穷小的高阶无穷小,因此因此 在点在点 0 x附近附近 f 可用可用(1)式右边的多项式来近似代替式右边的多项式来近似代替,设函数设函数 f 在在 0 xx处存在任意阶导数处存在任意阶导数,则则 由函数由函数 f 可得到一个幂级数可得到一个幂级数 200000()()()()()2!fxf xfxxxxx()00()(),(3)!nnfxxxn 其中其中 在在x与与x0之间之间,称称(1)式为式为 f 在点在点0 x的泰勒公式的泰勒公式.通常称通常称(3)式为式为 f 在在 0 xx处的处的泰勒级数泰勒级数.对于级对于级数
3、数(3)是否能在点是否能在点 0 x附近确切地表达附近确切地表达 f,或者说级数或者说级数(3)0 x在点在点 附近的和函数是否就是附近的和函数是否就是 f 本身本身,这就是本节这就是本节 所要着重讨论的问题所要着重讨论的问题.例例1 由于函数由于函数21e,0,()0,0 xxf xx在在0 x 处的任意阶导数都等于处的任意阶导数都等于0(见第六章见第六章4 第第 二段末尾二段末尾),即即 ()(0)0,1,2,nfn因此因此 f 在在 0 x 的泰勒级数为的泰勒级数为 20000.2!nxxxn(,)()0S x 显然它在显然它在 上收敛上收敛,且其和函数且其和函数.由由 0 x()()f
4、 xS x此看到此看到,对一切对一切 都有都有.上例说明上例说明,具有任意阶导数的函数具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内哪怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢其泰勒级数才能收敛于它本身呢?定理定理14.11 设设 f 在点在点 0 x具有任意阶导数具有任意阶导数,那么那么 f 在在 区间区间 00(,)xr xr上等于它的泰勒级数的和函数的上等于它的泰勒级数的和函数的 0|xxrx充分条件是充分条件是:对一切满足不等式对一切满足不等式 的的,有有 lim()0,nnRx
5、()nRx0 x这里这里 是是f 在点在点 泰勒公式的余项泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出泰勒定理推出.如果如果 f 能在点能在点 0 x的某邻域上等于其泰勒级数的和函的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数数,则称函数则称函数 f 在点在点0 x的这一邻域内可以展开成泰的这一邻域内可以展开成泰勒级数勒级数,并称等式并称等式200000()()()()()()2!fxf xf xfxxxxx的右边为的右边为 f 在在 0 xx处的泰勒展开式处的泰勒展开式,或幂级数展或幂级数展 开式开式.由级数的逐项求导性质可得由级数的逐项求导性质可得:0nnna
6、 x(,)R R若若 f 为幂级数为幂级数在收敛区间在收敛区间 上的和上的和函函0nnna x(,)R R数数,则则 就是就是 f 在在 上的泰勒展开式上的泰勒展开式,()00()()(4)!nnfxxxn即幂级数展开式是惟一的即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上在实际应用上,主要讨论函数在主要讨论函数在 00 x 处的展开式处的展开式,这时这时(3)式就变成式就变成()2(0)(0)(0)(0),1!2!nnffffxxxn称为麦克劳林级数称为麦克劳林级数.从定理从定理14.11知道知道,余项对确定函数能否展开为幂级余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的数是极为重要的,下面我们重新写出
7、当下面我们重新写出当 00 x 时的时的 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便以便于后面的讨论于后面的讨论.它们分别是它们分别是(1)01()()()d,!xnnnRxftxttn(1)11()(),0,(1)!nnnRxfxxn在与之间在与之间(1)11()()(1),01.!nnnnRxfxxn 二、初等函数的幂级数展开式例例2 求求k次多项式函数次多项式函数2012()kkf xcc xc xc x的幂级数展开式的幂级数展开式.解解 由于由于()!,(0)0,nnn cnkfnklim()0,nnRx总总有有因因而而()2(0)(0)()(0
8、)(0)2!kkfff xffxxxk即多项式函数的幂级数展开式就是它本身即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例例3 求函数求函数 f(x)=ex 的幂级数展开式的幂级数展开式.解解()()()e,(0)1(1,2,),nxnfxfnf由由于于因因此此1e()(01).(1)!xnnRxxn 的的拉拉格格朗朗日日余余项项为为显见显见 2012,kkcc xc xc x|1e|()|.(1)!xnnRxxn对任何实数对任何实数 x,都有都有|1elim|0,(1)!xnnxnnnRxlim()0.因因而而14.11由由定定理理得得到到2111e1,(,).1!2!xnxxxxn ()0n ()
9、3n ()2n exy x11 O22462 y例例4()sin,f xx对对于于正正弦弦函函数数有有()()sin.1,2,.2nnfxxn11sin+(1)|2()0,(1)!(1)!nnnnxRxxnn()sinf xx(,)所以所以在在上可以展开为麦克劳上可以展开为麦克劳 林级数林级数:().,nfRxn 现现在在考考察察的的拉拉格格朗朗日日型型余余项项因因为为时时35211sin(1).3!5!(21)!nnxxxxxn 0123456-1-0.500.51xysin(x)n=1n=2n=3n=4n=5y=sin x同样可证同样可证(或用逐项求导或用逐项求导),在在(,)上有上有24
10、2cos1(1).2!4!(2)!nnxxxxn 例例5 ()ln(1)f xx函函数数的的各各阶阶导导数数是是()1(1)!()(1),(1)nnnnfxx()1(0)(1)(1)!,nnfn 所以所以ln(1)x的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是2341(1).(5)234nnxxxxxn 用比式判别法容易求得级数用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径的收敛半径1R ,且且 1x 1x 当当时收敛时收敛,时发散时发散,故级数故级数(5)的收敛域的收敛域(1,1(1,1 是是.下面讨论在下面讨论在上它的余项的上它的余项的极限极限.当当01x 时时,对拉格朗日型余项对拉格朗日型余项,有有 11
11、1!|()|(1)(1)!(1)nnnnnRxxn 1(1)10().1 11nnxnnn 当当10 x 时时,因因拉格朗日型余项不易估计拉格朗日型余项不易估计,故故改改用柯西型余项用柯西型余项.此时有此时有 111!|()|(1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx 111|,01.11nnxxx 110,11,01.1xxx 因因故故即即1|()0().1|nnxRxnx 所所以以(1,1 ln(1)x这就证得在这就证得在上上 的幂级数展开式就是的幂级数展开式就是 1x ()lnf xx(5).将将(5)式中式中 x 换成换成,就得到函数就得到函数 1x 在在处的泰勒展开式处的泰勒展开式:
12、21(1)(1)ln(1)(1),2nnxxxxn 其收敛域为其收敛域为(0,2.例例6讨论二项式函数讨论二项式函数()(1)f xx 的展开式的展开式.解解 当当 为正整数时为正整数时,由二项式定理直接展开由二项式定理直接展开,就得就得 到到 f 的展开式的展开式,这已在前面例这已在前面例2中讨论过中讨论过.下面讨论下面讨论 不等于正整数时的情形不等于正整数时的情形,这时这时()()(1)(1)(1),1,2,nnfxnxn ()(0)(1)(1),1,2,nfnn 于是于是()f x 的麦克劳林级数是的麦克劳林级数是2(1)12!xx 1R (1,1)运用比式法运用比式法,可得可得(6)的
13、收敛半径的收敛半径.在在内内(1)(1).(6)!nnxn 考察它的柯西型余项考察它的柯西型余项 11(1)()1()(1),!1nnnnRxxxnx 01.由比式判别法由比式判别法,10(1)()|1,!nnnxxn 级数当时收敛 故有级数当时收敛 故有1(1)()lim0.!nnnxn 11,11,01,1xxx 又有且从而有又有且从而有11.1nx 111|1,0(1)(1|)2.xxx 再再当当时时 有有于于 11(1);xn 是是当当时时是是与与无无关关的的有有界界量量 当当1,|1,x时时 也也有有同同样样结结论论.综综上上所所述述 当当时时lim()0.nnRx所以在所以在(1,
14、1)()(1)f xx 上上的的展展开开式式为为2(1)(1)12!xxx 论论如下如下:1,(1,1);当当时时 收收敛敛域域为为 10,(1,1;当当时时 收收敛敛域域为为0,1,1.当当时时 收收敛敛域域为为(1)(1)(7)!nnxn 对于收敛区间端点的情形对于收敛区间端点的情形,与与 的取值有关的取值有关,其结其结(7)1 当当式式中中时时就就得得到到211(1),(1,1).(8)1nnxxxxx 12 当时得到当时得到23111 31 3 51,(1,1.(9)22 42 4 61xxxxx 一般来说一般来说,只有比较简单的函数只有比较简单的函数,其幂级数展开式能其幂级数展开式能
15、直接从定义出发直接从定义出发,并根据定理并根据定理14.11求得求得.更多的情更多的情况是从已知的展开式出发况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数间接地求得函数的幂级数展开式的幂级数展开式.注注 求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数 各项的系数各项的系数,根据展开式的惟一性根据展开式的惟一性,不管用什么方不管用什么方 法得到的系数都是一样的法得到的系数都是一样的.这就是间接展开的根据这就是间接展开的根据.2x2x 例例7 以以与与分别代入分别代入(8)与
16、与(9)式式,可得可得22211(1),(1,1),(10)1nnxxx 242111 31,(1,1).(11)22 41xxx对于对于(10)、(11)分别逐项求积可得函数分别逐项求积可得函数arctanx与与 arcsin x的展开式的展开式:201arctand1xxttxxx3535 nnxn21(1),1,1,21yO0n1n4narctan()yxx-11-2-112201arcsind1xxtt35711 31 3 5,1,1.2 32 452 4 67xxxx 由此可见由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式熟练掌握某些初等函数的展开式,对求对求 其他一些函数的幂级数展开式是非
17、常方便和有用的其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,特别是例特别是例3 例例7 的结果的结果,对于今后用间接方法求幂对于今后用间接方法求幂 级数展开十分方便级数展开十分方便.解解 利用利用 11ln(1)(1)nnnxxn,得得1(1)ln(1)(1)nnxxxxn111nnnnxxnn 221nnnnxxxnn 2(1,1).(1nnxxxn n ，）(1)ln(1)1xxx 在在1x 处连续处连续,在在处无定义处无定义,(1)ln(1)xx 0 x 例例8 求函数求函数 在在处的幂级数展开处的幂级数展开 式式.2(1nnxn n ）1,1 而级数而级数 的收敛域为的收敛域为,所以所
18、以2(1)ln(1)1,1).(1nnxxxxxn n ，）1,1 注注 严格地说严格地说,上式中的上式中的幂级数在幂级数在 上有和函数上有和函数,(1)ln(1)xx 1,1)而而 只是它在只是它在上的和函数上的和函数.又因为又因为 1lim(1)ln(1)0 xxx,所以所以2(1)ln(1),1,1),(10,1.nnxxxxxn nx ）用类似方法可得用类似方法可得2111ln2,(1,1)121nnxxxxn .(13)大家一定非常熟悉三角函数表和对数表大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表但这些表 是怎样制作出来的呢是怎样制作出来的呢?ln20.0001.例例9 计算计算 的
19、近似值的近似值,精确到精确到 11ln(1)(1)nnnxxn 1x 解解 可以在展开式可以在展开式 中令中令,得得 11(1)ln2nnn .这是一个交错级数这是一个交错级数,故有故有 1|()|1nRxn .为了误差小于为了误差小于0.0001,就必须计算就必须计算 级数前级数前10000 项的和项的和,收敛得太慢收敛得太慢.为此在为此在(13)式中式中 121xx 13x 令令,代入代入(13)式式,有有32111111ln22.33 321 3nn 估计余项估计余项:212311110221 323 3nnnRnn21242111(21)333nn 21212211,1(21)34(2
20、1)313nnnn4n 471100.00014 9 378732R，取取,就有就有 因此因此 3571111111ln2233 35 37 32(0.333330.021350.000820.00007)0.6931.最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函 数数,这是幂级数特有的功能这是幂级数特有的功能.例例10 用间接方法求非初等函数用间接方法求非初等函数20()edxtF xt的幂级数展开式的幂级数展开式.解解 以以 2x 代替代替 ex 的展开式中的的展开式中的 x,得得 2242(1)e1,.1!2!nnxxxxxn ()F x(,)
21、再逐项求积再逐项求积,就得到就得到 在在上的展开式上的展开式:235011()ed1!32!5xtxxF xtxnnxnn21(1).!21F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于示于 下图下图:-2-112xy0n1n5n3nO()yF x-1-0.50.51复习思考题 0nnna x (,)R R()f x1.设幂级数设幂级数在在的和函数为的和函数为,问问()f x0 x 在在处的幂级数展开式是什么处的幂级数展开式是什么?()f x(,)R R 2.设函数设函数在在上的幂级数展开式为上的幂级数展开式为()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxnxR xR 若上式右边的幂级数在若上式右边的幂级数在(或或)收敛收敛,能否能否 xR xR 得出上式在得出上式在(或或)成立成立?(结合例结合例8进行讨进行讨 论论)
