1、推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、区域区域1.邻域邻域点集,),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半
2、径,也可写成.)(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),(),U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为
3、 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意任意给定的,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区
4、域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动 目录 上页 下页 返回 结束。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无3.n 维空间维空间n 元有序数组)
5、,(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRRnnkxxxxkn,2,1,R),(21一个点点,当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O.的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn机动 目录 上页 下页 返回 结束),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.
6、,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappS机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr二：二：二元函数的定义二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函
7、数类似地可定义三元及三元以上函数xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 三、多元函数的极限三、多元函数的极限
