1、1l 用用定积分定积分解决实际问题，应先明确解决实际问题，应先明确 两个问题两个问题：第一，定积分能解决哪类问题？第一，定积分能解决哪类问题？(共性共性)第二，用定积分解决这类问题方法的关第二，用定积分解决这类问题方法的关键是什么？键是什么？2一、微元法一、微元法第一个问题第一个问题：用定积分所解决问题的用定积分所解决问题的共性共性：2.这个在这个在a,b上分布的上分布的整体量等于其所有整体量等于其所有1.都是求在都是求在a,b非均匀分布的一个整体量，非均匀分布的一个整体量，如：面积、体积、曲线弧长；作功、引如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；力、总成本、总利润等等；3
2、子区间局部量的总和子区间局部量的总和(可和可和)，具体地讲：，具体地讲：)()()(aFbFdxxfba )(1,1xFnkxxkk )()()(kkkxoxxFxF 因因)()(xFddxxf babaxdFdxxf)()(亦即亦即)(1xFnkk 记作记作设设F(x)可微可微4第二个问题第二个问题：用定积分解决问题的用定积分解决问题的关键关键 在找出整体量的微元在找出整体量的微元：).(xFd微元法解决问题的步骤微元法解决问题的步骤1.写出实际问题整体改变量的微元表达式：写出实际问题整体改变量的微元表达式：)()()()(xFxfdxxfxFd 通常通常2.用定积分求出整体改变量：用定积分
3、求出整体改变量：.)()()()(babadxxfxdFaFbF5二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用1.1.平面图形的面积（平面图形的面积（Area）l用微元法求面积用微元法求面积 dxxgxfAd)()(baAdA badxxgxf)()(6例例 1 求由求由和和xy21 xy 82所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)思考思考:求面积前需要做那些准备工作求面积前需要做那些准备工作?841dA2dA7解解从图中可以明显看出所求面积分为两部从图中可以明显看出所求面积分为两部,21RR 和和两块面积的微元分别为：两块面积的微元分别为：分分:dxxgxfdA)()(1 dxxgxfdA)
4、()(2 dxxx)8(21 dxxx)8(8 8 8482dxx84232)8(3241 xx 3128163164dxxxA82148 4823)8(322x 8034 36 9l 用微元法求面积用微元法求面积 dyygyfAd)()(dcAdA dcdyygyf)()(dA求面积前需要做的准备工作有求面积前需要做的准备工作有:10(1)最好能作出草图最好能作出草图,弄清边界曲线的方程弄清边界曲线的方程;(2)根据所选方法确定积分变量及总量微元根据所选方法确定积分变量及总量微元;(3)确定积分区间确定积分区间,为此常需要求出边界曲线为此常需要求出边界曲线 交点的坐标交点的坐标.(如图如图)
5、11例例 2 再再求由求由和和xy21 xy 82所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)42)0,8(12 解解 dxygyfdA)()(dyyyA28242 4223318 yyy 163643243816dyyy2)8(2 36 那种方法好那种方法好？13-1-0.50.51-1-0.50.51ydx tytx33sincos例例3 求星形线所围面积，求星形线所围面积，它的参数方程为：它的参数方程为：)20(sincos33 ttytx)1(3232 yx直角坐标方程直角坐标方程解解 由对称性只需求出由对称性只需求出(1/4)面积即可。面积即可。ydxdA )cos(sin33tdt
6、104ydxA 0233cossin4 tdt 0223)sin(cos3sin4 tdttt 2024)sin1(sin12 tdtt2246135241312 83 例例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线用微元法推导由极坐标给出的曲线C：)()(rr)0(),cos1(aar 线线l用微元法先推导用微元法先推导 极坐标系下求面积极坐标系下求面积 的表达式的表达式or d)(rdA)(rr d所围的面积所围的面积,并求心脏并求心脏所围图形的面积所围图形的面积.16)()(21半径半径弧长弧长 dA)()(21 rdr drdAA)(212 解解 心脏线的对称心脏线的对称 性是明显的，因性是明
7、显的，因 此此1234-2-112)cos1(2 y17 drA)(21202 da 022)cos1(da 0222)2cos2(tdta 2/042cos24 2/t令令2223224138aa 例例5求双纽线：求双纽线：2sin42 所围封闭所围封闭图形的面积。图形的面积。18解解(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过 分析求出面积？分析求出面积？)drdAA)(212 分析分析使用公式：使用公式：解这个问题的解这个问题的难点难点在确定积分限。在确定积分限。,02sin42 ,2 X对对于于,又又是是周周期期函函数数注意到注意到 每两个零点曲线封闭一次
8、每两个零点曲线封闭一次.变化过程中，变化过程中，19，或或 32220 ，或或 2320 由于周期性的变化由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重你会发现封闭图形将重对对称称，因因为为即即又又关关于于)4(xy复出现在第一、三象限复出现在第一、三象限,且图形关于原点对且图形关于原点对称，称，故有故有进而得进而得20面积，面积，就得到就得到上积分上积分至至因此只要在因此只要在41,40 dA240214 全面积全面积 402sin42 d)4(2sin ,2cos)22sin(04 2cos4 见图见图4 21-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.50.511.5 2sin42 作 业作 业 P.216-习题习题3.4(A)-N.1(单数除去单数除去(7)
